专题7.5 定义、命题、定理（3大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题7.5 定义、命题、定理（3大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 【要点提示】 （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 【要点提示】 （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 考点与题型目录 【考点一】命题 【题型1】命题的判断.........................................................2 【题型2】命题的题设和结论...................................................3 【题型3】命题的真假.........................................................4 【考点二】定理与证明 【题型4】已知证明过程填写理论依据...........................................5 【题型5】写出一个命题的已知、求证及证明过程.................................7 【题型6】根据给出的论断组命题并证明.........................................9 【考点三】反证法 【题型7】反证法中的假设....................................................11 【题型8】用反证法进行证明..................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】命题 【题型1】命题的判断 【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．根据命题的定义分别进行判断即可． 解：、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； 、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； 、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； 、在线段上取点C，使为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：． 【变式1】（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了命题与定理得知识，利用命题的定义逐项判断即可得出答案，解题的关键是掌握命题的定义． 解：①延长线段到点，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ②垂线段最短，是命题，符合题意； ③过点画直线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ④在中，若，则，是命题，符合题意； 综上所述，是命题的有②④， 故答案为：②④． 【变式2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③对顶角不相等；④内错角相等吗？⑤同角的余角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，据此逐个判断即可解答． 解：①全等三角形对应边相等，是命题； ②过一点画已知直线的平行线，不是命题； ③对顶角不相等，是命题；； ④内错角相等吗？不是命题； ⑤同角的余角相等，是命题； 综上，不是命题的是②④，共2个． 故选：B 【题型2】命题的题设和结论 【例2】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】本题考查了命题与定理．解题的关键是了解“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，从而得出答案． 解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 【变式1】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 【变式2】（22-23七年级下·甘肃金昌·期中）命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 【答案】B 【分析】根据命题的结果，改写成“如果┈那么┈”的形式的方法即可求解． 解：将命题“对顶角相等”改写为“如果┈那么┈”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， ∴命题的题设为“对顶角”， 故选：． 【点拨】本题主要考查命题的结构组成，命题的改写方法，掌握以上知识是解题的关键． 【题型3】命题的真假 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）判断命题“对于任何实数a，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中a的可以是 （填写一个符合条件的a的值）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 解：当时，， 说明命题“对于任何实数”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列选项中，能够说明“若是有理数，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握要说明一个命题的正确性，一般要推理、谁，而判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的除法以法则，逐项代入计算判定即可． 解：A、当时，， ∴说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项符合题意； B、当时，无意义， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； C、当时，， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； D、当时，， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·广西百色·期中）给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【分析】本题主要考查命题与定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理进行判断即可． 解：①垂线段最短，是真命题； ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题为假命题； ③互补的角不一定是邻补角，故本小题为假命题； ④同旁内角互补，两直线平行，故本小题为假命题． 故答案为：①． 【考点二】定理与证明 【题型4】已知证明过程填写理论依据 【例4】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【题型5】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【例5】（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．   （1）请写出所有的真命题； （2）请选择其中一个命题加以证明． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 解：（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 【变式】（22-23七年级下·吉林·阶段练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】答案见详解 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点拨】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题． 【题型6】根据给出的论断组命题并证明 【例6】（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见分析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 【变式1】（17-18七年级下·江苏南京·期中）证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】见分析 【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可． 解：已知：如图，直线中，，，    求证：． 证明：作直线的截线，交点分别为．    ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式2】（21-22八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见分析．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【点拨】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 【考点三】反证法 【题型7】反证法中的假设 【例7】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）选择用反证法证明“已知：在中，，求证： ，中至少有一个角不大于时，应先假设（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查反证法，记住反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．假设命题的结论不成立或假设命题的结论的反面成立，然后推出矛盾，说明假设错误，结论成立． 解：用反证法证明命题“，中至少有一个角不大于”时，应先假设，． 故选：D． 【变式】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设 ； 【答案】与相交 【分析】本题考查了用反证法证明命题．用反证法证明命题的第一步就是设原结论不成立，原结论是，则要设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 解：用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时， 应假设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 故答案为：直线与直线相交． 【题型8】用反证法证明命题 【例8】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【答案】，，不成立，必相交 【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可． 解：证明假设与不相交，则． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交不成立． 与必相交． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 解：已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 【变式2】（23-24八年级上·山西临汾·期末）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 【答案】；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设 【分析】根据反证法的证明步骤分析即可． 解：证明：假设 ∵， ∴， ∴， 这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾． ∴此假设不成立． ∴， 故答案为：；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设． 【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理，等边对等角及反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.5 定义、命题、定理（3大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 【要点提示】 （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 【要点提示】 （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 考点与题型目录 【考点一】命题 【题型1】命题的判断.........................................................2 【题型2】命题的题设和结论...................................................2 【题型3】命题的真假.........................................................2 【考点二】定理与证明 【题型4】已知证明过程填写理论依据...........................................3 【题型5】写出一个命题的已知、求证及证明过程.................................4 【题型6】根据给出的论断组命题并证明.........................................4 【考点三】反证法 【题型7】反证法中的假设.....................................................5 【题型8】用反证法进行证明...................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】命题 【题型1】命题的判断 【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【变式1】（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 【变式2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③对顶角不相等；④内错角相等吗？⑤同角的余角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】命题的题设和结论 【例2】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： 【变式1】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【变式2】（22-23七年级下·甘肃金昌·期中）命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 【题型3】命题的真假 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）判断命题“对于任何实数a，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中a的可以是 （填写一个符合条件的a的值）． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列选项中，能够说明“若是有理数，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广西百色·期中）给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【考点二】定理与证明 【题型4】已知证明过程填写理论依据 【例4】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【题型5】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【例5】（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．   （1）请写出所有的真命题； （2）请选择其中一个命题加以证明． 【变式】（22-23七年级下·吉林·阶段练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【题型6】根据给出的论断组命题并证明 【例6】（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【变式1】（17-18七年级下·江苏南京·期中）证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【变式2】（21-22八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【考点三】反证法 【题型7】反证法中的假设 【例7】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）选择用反证法证明“已知：在中，，求证： ，中至少有一个角不大于时，应先假设（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设 ； 【题型8】用反证法证明命题 【例8】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【变式2】（23-24八年级上·山西临汾·期末）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$