专题1.10 整式的乘除（全章挑战综合压轴题分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.10 整式的乘除（全章挑战综合压轴题分类专题） 【考点目录】 第一部分 综合篇 【知识点1】幂的运算 【考点1】科学记数法+零指数+负指数...........................................................................................................2 【考点2】幂的运算中的新定义......................................................................................................................2 【考点3】幂的运算中的规律..........................................................................................................................2 【考点4】幂的综合运算.................................................................................................................................3 【知识点2】整式的乘除法 【考点5】单项式乘以单项式.........................................................................................................................3 【考点6】单项式乘以多项式........................................................................................................................4 【考点7】多项式乘以多项式运算.................................................................................................................4 【考点8】多项式乘以多项式不含某项问题.................................................................................................5 【考点9】单项式除以单项式........................................................................................................................5 【考点10】多项式除以单项式......................................................................................................................5 【知识点3】乘法公式 【考点11】平方差公式的运算与化简求值...................................................................................................5 【考点12】完全平方公式的运算与化简求值...............................................................................................6 【考点13】平方差公式与完全平方公式综合运算........................................................................................6 【考点14】平方差公式与完全平方公式综合化简求值................................................................................6 第二部分 压轴篇 【知识点4】幂的运算 【考点15】幂的运算综合拓展......................................................................................................................7 【知识点5】整式的乘除法 【考点16】乘法公式运算化简求值...............................................................................................................7 【考点17】平方差公式与完全平方公式与几何面积探究.............................................................................8 【考点18】整体乘除法运算规律探究.........................................................................................................10 【题型展示与解析】 第一部分 综合篇 【知识点1】幂的运算 【考点1】科学记数法+零指数+负指数 1．（2024·北京西城·模拟预测）微粒子是指具有极小质量和体积的物质粒子，可以分为原子、分子、离子等．世纪年代，美国物理学家默里·盖尔曼和·茨威格各自独立提出了中子、质子这一类粒子是由更基本的单元——夸克组成的，夸克的半径大约为米，将化成科学记数法为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）把下列各数代入中，等式成立的有（   ），①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①④⑤ 3．（2024·山东日照·二模）根据，可以推出，由此得出，即．要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【考点2】幂的运算中的新定义 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考法定义一种新的运算：若，则有，那么的值是（　　） A． B．5 C． D． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【考点3】幂的运算中的规律 1．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）观察下列单项式：按此规律，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）观察等式：，已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 3．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，…，按此规律，为的中线，若的面积为1，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【考点4】幂的综合运算 1．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）数学课上，老师找了5名同学各做了一道数学计算题，其中作对的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（18-19六年级下·山东·期中）在①；②；③；④中，计算结果是的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2022七年级上·上海·专题练习）已知，用含x，y的代数式表示为 ； 4．（2021·湖南永州·中考真题）若x，y均为实数，，，则 ； ． 【知识点2】整式的乘除法 【考点5】单项式乘以单项式 1.（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值为（   ） A．6 B．10 C．9 D．7 2.（24-25七年级上·上海·期中）计算： 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值：，其中． 【考点6】单项式乘以多项式 1.（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 2．（2023·山东德州·模拟预测）为求的值，小明发现从第二个加数起每个加数都是前一个加数的3倍，于是设，则，因此，所以，得出答案后，小明想：若把3换成则 ． 3.（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， （1）求的值． （2）求的值． 【考点7】多项式乘以多项式运算 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）若，则 ． 【考点8】多项式乘以多项式不含某项问题 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 2．（22-23八年级上·四川眉山·期中）若乘积中不含项和项，则、的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京·期中）若 的积中不含、x项，则 【考点9】单项式除以单项式 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值，其中，． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果，那么 ． 【考点10】多项式除以单项式 2．（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，则括号内应填的多项式是 ． 【知识点3】乘法公式 【考点11】平方差公式的运算与化简求值 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： （1）； （2）． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）先化简再求值：，其中，． 【考点12】完全平方公式的运算与化简求值 1．（2023·四川达州·模拟预测）已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 2．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： （1）的值； （2）的值． 3．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知，求下列各式的值． （1） （2） 【考点13】平方差公式与完全平方公式综合运算 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【考点14】平方差公式与完全平方公式综合化简求值 1．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）已知，则的值为 ． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简．再求值：的值，其中，且． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）先化简，再求值：，其中． 第二部分 压轴篇 【考点15】幂的运算综合拓展 1．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）下列命题中正确的有（    ） ①为奇数时，一定有等式； ②无论为何值，等式都成立； ③三个等式，，都成立； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 3．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． （1）根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【考点16】乘法公式运算化简求值 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 2．（23-24八年级上·四川内江·期中）阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： （1）的值； （2）的值． 3．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题 （1）已知，求的值 （2）计算：（写计算过程） （3）设a，b，c，d都是正整数，并且，，求的值． 【考点17】平方差公式与完全平方公式与几何面积探究 1．（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； （2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______； （3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； （4）如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 2．（21-22七年级上·江苏南京·期末） 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现． （1）填表：【数的角度】 a b a＋b a－b a2－b2 2 1 3 1 3 3 －2 1 5 （2）【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ． （3）【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ． （4）【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·开学考试）【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．    【考点18】整体乘除法运算规律探究 1．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律： （1）； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； （2）根据上述规律求的值； （3）根据上述规律：的值为______． 2．（19-20七年级下·四川成都·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．    （1）填出展开式中共有________项，第三项是________． （2）直接写出的展开式． （3）推断多项式（为正整数）的展开式的各项系数之和． （4）利用上面的规律计算： ． 3．（20-21七年级上·四川遂宁·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．    （1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　． （2）的展开式共有______项，系数和为_______． （3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． （4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.10 整式的乘除（全章挑战综合压轴题分类专题） 【考点目录】 第一部分 综合篇 【知识点1】幂的运算 【考点1】科学记数法+零指数+负指数............................................................................................................2 【考点2】幂的运算中的新定义.......................................................................................................................3 【考点3】幂的运算中的规律...........................................................................................................................5 【考点4】幂的综合运算..................................................................................................................................7 【知识点2】整式的乘除法 【考点5】单项式乘以单项式...........................................................................................................................9 【考点6】单项式乘以多项式.........................................................................................................................10 【考点7】多项式乘以多项式运算..................................................................................................................12 【考点8】多项式乘以多项式不含某项问题...................................................................................................13 【考点9】单项式除以单项式.........................................................................................................................15 【考点10】多项式除以单项式.......................................................................................................................16 【知识点3】乘法公式 【考点11】平方差公式的运算与化简求值....................................................................................................17 【考点12】完全平方公式的运算与化简求值................................................................................................18 【考点13】平方差公式与完全平方公式综合运算........................................................................................20 【考点14】平方差公式与完全平方公式综合化简求值.................................................................................22 第二部分 压轴篇 【知识点4】幂的运算 【考点15】幂的运算综合拓展......................................................................................................................23 【知识点5】整式的乘除法 【考点16】乘法公式运算化简求值...............................................................................................................27 【考点17】平方差公式与完全平方公式与几何面积探究.............................................................................31 【考点18】整体乘除法运算规律探究...........................................................................................................36 【题型展示与解析】 第一部分 综合篇 【知识点1】幂的运算 【考点1】科学记数法+零指数+负指数 1．（2024·北京西城·模拟预测）微粒子是指具有极小质量和体积的物质粒子，可以分为原子、分子、离子等．世纪年代，美国物理学家默里·盖尔曼和·茨威格各自独立提出了中子、质子这一类粒子是由更基本的单元——夸克组成的，夸克的半径大约为米，将化成科学记数法为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定即可； 解： 故选：B 2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）把下列各数代入中，等式成立的有（   ），①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】分（n是正整数），（n是偶数），计算即可． 解：当（n是正整数）时，， 解得， 故①正确； 当（n是偶数）时，， 解得， 此时，符合题意， 故④正确； 当时，， 解得， 此时，符合题意， 故⑤正确； 故选D． 【点拨】本题考查了幂运算，零指数幂的运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 3．（2024·山东日照·二模）根据，可以推出，由此得出，即．要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了幂、零次幂的条件，掌握幂的底数不等于零、零次幂的底数不等于零成为解题的关键． 由幂的底数不等于零、零次幂的底数不等于零列不等式计算即可． 解：∵有意义， ∴且，即且． 故答案为：且． 【考点2】幂的运算中的新定义 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考法定义一种新的运算：若，则有，那么的值是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，但其计算中容易出现符号错误，根据题意列出算式，求解即可． 解： ． 故选B． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 【考点3】幂的运算中的规律 1．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）观察下列单项式：按此规律，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各单项式的系数和字母因数的规律，即可求解． 本题主要考查了单项式规律题，解题的关键是：找到各单项式的系数和字母因数的规律． 解：各单项式的系数为，，，，，， 第个单项式系数为， 各单项式字母因数为，，，，，， 第个单项式字母因数为， 第个单项式为， 故选：A． 2．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）观察等式：，已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律计算是解题的关键． 通过观察所给的式子，发现第n个等式为，再由，将已知条件代入即可求解． 解： ∴第n个等式为， ， ∴ ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，…，按此规律，为的中线，若的面积为1，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的中线，找规律，根据三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分进行解答即可得；理解题意，根据三角形的中线找出规律是解题的关键． 解：∵为的中线，的面积为1， ∴， ∵为的中线，， ∴， ∵为的中线，， ∴， … 按此规律，为的中线，则的面积为：， 故选：D． 【考点4】幂的综合运算 1．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）数学课上，老师找了5名同学各做了一道数学计算题，其中作对的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】直接利用积的乘方运算法则以、整式的混合运算法则实数的运算法则分别化简，再进行判断，得出答案． 解：①、，故①计算错误； ②、，故②计算正确； ③、，故③计算错误； ④、，故④计算错误； ⑤、，故⑤计算正确； 正确的共2个， 故选：A． 【点拨】本题考查整式的混合运算及实数的运算，掌握运算法则是解题关键． 2．（18-19六年级下·山东·期中）在①；②；③；④中，计算结果是的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据同底数幂的运算法则求解①；利用负整数指数幂的运算法则、同底数幂的运算法则求解②；利用幂的乘方的运算法则、同底数幂的运算法则求解③；利用幂的乘方的运算法则求解④． 解：①，此项不符合题意； ②，此项符合题意； ③，此项不符合题意； ④，此项符合题意， 综上所述，符合题意的有②④共2个． 故选：B． 【点拨】本题考查了同底数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则．理解相关运算法则是解答关键． 3．（2022七年级上·上海·专题练习）已知，用含x，y的代数式表示为 ； 【答案】 【分析】根据有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方法则即可得． 解：， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 4．（2021·湖南永州·中考真题）若x，y均为实数，，，则 ； ． 【答案】 2021 1 【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可． 解：∵， ∴，， ， 故答案为：2021； ∵， 即， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键． 【知识点2】整式的乘除法 【考点5】单项式乘以单项式 1.（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值为（   ） A．6 B．10 C．9 D．7 【答案】B 【分析】本题考查同底数的乘法、解一元一次方程，代数式求值，先根据同底数的乘法法则可得，求得，再代入求值即可． 解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 2.（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，单项式乘单项式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则；根据相关运算法则计算各项，再合并同类项，即可解题． 解： ． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 解： ， 当时，原式． 【考点6】单项式乘以多项式 1.（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 解：，，， ， 的值与x的取值无关， ， ， 当时，， 故选：B． 2．（2023·山东德州·模拟预测）为求的值，小明发现从第二个加数起每个加数都是前一个加数的3倍，于是设，则，因此，所以，得出答案后，小明想：若把3换成则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算； 设，则，两式相减得出，然后求出S即可． 解：设， 则， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3.（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可； 本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． 解：（1）解：； （2）解： ， ， ， ， ． 【考点7】多项式乘以多项式运算 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 解： ， 当时，原式． 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为含、的形式，再整体代入计算即可． 本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则． 解：； 把，，代入原式得，； 故选：D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是掌握多项式乘多项式的法则． 根据多项式乘多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出、的值，从而得到的值． 解：， ，， ，， ， 故答案为：． 【考点8】多项式乘以多项式不含某项问题 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 解：（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 2．（22-23八年级上·四川眉山·期中）若乘积中不含项和项，则、的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，问题的关键是注意各项符号的处理． 把式子展开，找到所有和项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 解：， ， ， 展开式中不含项和项， ， ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·北京·期中）若 的积中不含、x项，则 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据乘积中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 解： ， ∵的积中不含项， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【考点9】单项式除以单项式 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算化简求值，正确的计算是解题的关键．先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式，然后合并同类项，最后将代入化简结果进行计算即可求解． 解： ； 当，时，原式． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方等知识，根据法则计算后即可得到答案． 解：A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式，积的乘方，代入求值，先根据积的乘方运算除数，然后根据单项式除以单项式法则得到，，求出a，b的值，然后代入解题即可． 解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【考点10】多项式除以单项式 2．（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方和同底数幂的乘除法可以解答本题． 解： ． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式除以单项式．用多项式的每一项除以单项式即可得到答案． 解： 故选：C 3．（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，则括号内应填的多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式．熟练掌握单项式乘多项式是解题的关键． 根据括号内应填的多项式为，计算求解即可． 解：由题意知，括号内应填的多项式为：， 故答案为：． 【知识点3】乘法公式 【考点11】平方差公式的运算与化简求值 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 解： ． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方差公式． （1）利用平方差公式进行计算，然后合并同类项即可； （2）利用平方差公式计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘多项式展开化简，再代入求值即可． 解： ， 当，时，原式． 【考点12】完全平方公式的运算与化简求值 1．（2023·四川达州·模拟预测）已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）23；（2）21 【分析】本题主要考查完全平方公式． （1）根据完全平方公式得，将代入即可得解； （2）根据完全平方公式得，将代入即可得解． 解：（1）解：，， ∴ ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）26；（2）36 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 解：（1）解：，， ； （2）解：，， ． 3．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形公式的运用，掌握公式形式是解题关键． （1）根据，整体代入，即可求解； （2）根据，，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴原式； （2）解：∵，， ∴， ∴， ． 【考点13】平方差公式与完全平方公式综合运算 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式除以单项式、积的乘方和幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，运用相关知识求出各行苦瓜结果后再进行判断即可． 解：A. ，原选项计算错误，故不符合题意； B. ，原选项计算错误，故不符合题意； C. ，原选项计算错误，故不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D. 2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】题目主要考查利用完全平方公式及平方差公式计算，熟练掌握两个公式是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可；（2）-（5）根据平方差公式求解即可。 解：（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． 【考点14】平方差公式与完全平方公式综合化简求值 1．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质．先把等式的左边利用完全平方公式进行运算，再根据非负数的性质求出x、y的值，再代入计算． 解：， ， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简．再求值：的值，其中，且． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键，题目是一道中档题目，难度适中． 先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 解： ， ， ， ， ， ， ， 则原式． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．首先利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再合并同类项，代值计算，即可求解． 解： ， 当时， 原式 ． 第二部分 压轴篇 【考点15】幂的运算综合拓展 1．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）下列命题中正确的有（    ） ①为奇数时，一定有等式； ②无论为何值，等式都成立； ③三个等式，，都成立； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据乘方、幂的乘方、积的乘方等知识逐个判断即可解答． 解：①当为奇数时，一定有等式，故①正确； ②当为奇数时，等式成立，故②错误； ③，，都成立，故③正确； ④若，，由则，即，解得，故④错误． 正确的共有2个． 故选B． 【点拨】本题主要考查了乘方、幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 2．（22-23八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）4，64；（2）；（3）①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 解：（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点拨】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 3．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】． （1）根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】（1）3，0，；（2）①证明见详解；②【，】 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 解：（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，16】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 【考点16】乘法公式运算化简求值 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）中括号内先根据完全平方公式与平方差公式展开，合并同类项，再做中括号外的除法，最后代入数据求值即可； （2）将拆分项变形，整体代入，再变形整体代入化简即可． 解：（1）原式 ， 将，代入， 则原式． （2）， 原式 ． 【点拨】本题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，合并同类项，多项式除以单项式，折分项，整体代入求值，是解题的关键． 2．（23-24八年级上·四川内江·期中）阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用． （1）先将整理得，再仿照阅读内容求出的值，最后再根据完全平方公式求出的值即可； （2）先求出的倒数得，再将（1）中所求得的的值整体代入即可． 熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 解：（1） ， 整理得：， ， ； （2）的倒数为， ， ． 3．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题 （1）已知，求的值 （2）计算：（写计算过程） （3）设a，b，c，d都是正整数，并且，，求的值． 【答案】（1）；（2）6；（3） 【分析】（1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）将原式变形为，然后依次进行运算即可； （3）根据已知条件得出，，根据，得出，根据a，b，c，d都是正整数，，得出，，求出，，根据，，，，得出，，根据，得出，求出，即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵a，b，c，d都是正整数， 又∵，， ∴，为正整数， ∴为正整数， ∵， ∴为正整数， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵a，b，c，d都是正整数， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，数字规律计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，准确计算． 【考点17】平方差公式与完全平方公式与几何面积探究 1．（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； （2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______； （3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； （4）如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）21；（4）36 【分析】（1）根据大正方形的边长为，而大正方形由两个边长为a，b的正方形和两个长为b，宽为a的长方形组成即可得出答案； （2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长方形的面积等于大正方形的面积即可得出答案； （3）由（2）得结论可得，然后将代入进行计算即可得出结论； （4）分别求出，，，再根据又得，然后由（1）可知：，从而得，再将进行计算即可得出答案． 解：（1）依题意得：； 故答案为：． （2）依题意得：； 故答案为：． （3）由（2）可知：， ∴， 即：， 又∵ ∴； （4） ． 当，时， 原式． 【点拨】此题主要考查了集合背景下的完全平方公式及其应用，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键． 2．（21-22七年级上·江苏南京·期末） 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现． （1）填表：【数的角度】 a b a＋b a－b a2－b2 2 1 3 1 3 3 －2 1 5 （2）【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ． （3）【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ． （4）【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1． 【答案】（1）5，；（2）；（3）；（4）1275 【分析】（1）a=3，b=-2时，; 时，a-b=． （2）小空1  大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，作差即可． 小空2   把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可． （3）根据第（2）小题发现的规律写出等量关系即可． （4）每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 解：（1） a b a＋b a－b a2－b2 2 1 3 1 3 3 －2 1 5 5 （2）小明的方法:大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，， ∴阴影部分的面积为a2-b2； 小红的方法：长方形的长为a+b，宽为a-b， ∴阴影部分的面积为（a+b）（a-b）． 故答案为： （3）a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是． （4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1 =（502－492）＋（482－472）＋（462－452 ）…＋（22－1） =（50+49） ×（50-49）+（48+47） ×（48-47）+（46+45） ×（46-45） …+（2+1） ×（2-1） =50+49+48+47+46+45+…+2+1 = =1275 【点拨】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·开学考试）【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．    【答案】（1）；（2）①7；②3；（3）30． 【分析】（1）根据完全平方公式的变形可得答案； （2）①设，，则，，由进行计算即可； ②设，，则，，由进行计算即可； （3）设，，由题意可得，，，由求出的值即可． 解：（1）， ∴， ∴， ∵， ， 答：； （2）①设，，则，， ， 故答案为：7； ②设，，则，， ， 故答案为：3； （3）设，， ，， ，， 即，， ， 即， ， 答：一块直角三角板的面积为30． 【点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键． 【考点18】整体乘除法运算规律探究 1．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律： （1）； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； （2）根据上述规律求的值； （3）根据上述规律：的值为______． 【答案】（1）（1）①，②，③，④，⑤，；（2）；（3）342 【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键． （1）根据结果的规律得出答案； （2）将写成，通过（1）规律即可求解； （3）由得当，，，将变形为，即可得到再进行计算即可求解． 解：（1）解：（1）由上式的规律可得，， ①故答案为：； 由题干中提供的等式的规律可得， ②； 故答案为：； ③， 故答案为：； ④ 故答案为：； ⑤， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴取，，， ． 2．（19-20七年级下·四川成都·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．    （1）填出展开式中共有________项，第三项是________． （2）直接写出的展开式． （3）推断多项式（为正整数）的展开式的各项系数之和． （4）利用上面的规律计算： ． 【答案】（1）5；；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）展开的项数等于字母a的不同指数的个数即4，3，2，1，0，根据杨辉三角形的规律确定各项的系数即可； （2）先计算的展开式，后将a,b的值特殊化计算即可； （3）猜想指数为0，为1，为2，为3的系数之和，透过枚举法猜想其中的规律； （4）逆向使用公式求解即可． 解：（1）由杨辉三角的系数规律可得， ， 展开式共有5项，第三项是． （2）， 当，时， 原式 ， ． （3）第一行各项系数和为，即的各项系数和为， 第二行各项系数和为，即的各项系数和为， 第三行各项系数和为，即的各项系数和为， 第三行各项系数和为，即的各项系数和为， … 由此可得的各项系数和为， ． （4）由杨辉三角可知， 原式 ． 【点拨】本题考查了杨辉三角形，二项式的展开，熟练掌握杨辉三角形的特点，灵活运用公式，活用一般与特殊的思想是解题的关键． 3．（20-21七年级上·四川遂宁·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．    （1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　． （2）的展开式共有______项，系数和为_______． （3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． （4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ． 【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）；（3）1；（4）三 【分析】（1）根据得出的系数规律，将原式展开即可； （2）直接根据得出的规律即可求解； （3）利用规律计算原式即可得到结果； （4）由8100，根据得出的规律即可求解． 解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）∵的展开式是按照a的指数从n到0进行降幂排列， ∴的展开式共有项，从规律可发现系数和为； （3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1； （4）8100 根据规律可知，除以7余数为1， ∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三． 【点拨】此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$