精品解析：云南省红河州、文山州2024-2025学年高二上学期期末统一检测数学试题

2024—2025学年秋季学期红河州､文山州期末统一检测 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､学校､班级､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数解析式代入计算可得，再由交集计算可得结果. 【详解】由已知得，所以. 故选：C. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设且，应用复数模长的求法及已知列方程求虚部. 【详解】设且，则， 由，则，解得. 故选：B 4. 双曲线与双曲线的（ ） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】判断是双曲线曲线，先分别求解两双曲线的焦距、实轴长、虚轴长、离心率，再判断选项即可． 【详解】的实轴的长为，虚半轴的长为4， 因为，所以曲线是双曲线， 实轴的长为，虚轴的长为， 显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确； 双曲线与双曲线的离心率分别为：和，不相等，所以C不正确． 双曲线与双曲线的焦距都为8，焦距相等，所以D正确； 故选：D． 5. 设直线与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求得的高，利用圆的几何性质求得的底边长，进而可求的面积. 【详解】由题意，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则， 由此，. 故选：B. 6. 已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D 7. 对三维空间中不共线的三点和任一点，点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数组，使且.现已知四点共面，为空间中任意一点，且满足，其中，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中四点共面的充要条件可得，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】由题意知，即， 因为四点共面，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 8. 中国古代雕刻艺术中“鬼工球”工艺精妙绝伦，其层层嵌套的结构展现了极高的技艺水准.在现代数学与雕刻艺术的融合探索中，有雕刻师以棱长为6的正方体玉石为材料进行创意雕刻.在正方体内部雕琢出一个可以任意转动的球，在该球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）.假设雕刻过程不计各层厚度与材料损失，那么最内层正四面体的棱长最长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可求得棱长． 【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大， 则该球半径，如图所示： 设为正四面体的外接球球心，则， 平面，为底面等边的中心， 设正四面体的棱长为，则， ， 在中，， 即， 解得，即. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面直角坐标系中三个点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. 在上的投影向量为 C. D. 若四边形为平行四边形，则点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的模相等，即可判断A；根据投影向量的定义，即可判断B；根据中点坐标公式，平面向量数量积的定义即可判断C；根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合相等向量的定义，即可判断D. 【详解】由题意，，，， 则，即为等边三角形，则是锐角三角形，故A正确； 因为在上的投影向量为，故B正确； 对于C选项：因为点为线段中点，所以， 所以，又，所以，故C错误； 对于D选项：设，则， 若四边形为平行四边形，则，即， 即，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知幂函数，则（ ） A. B. 的定义域为 C. 为非奇非偶函数 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据幂函数得，进而确定其定义域、奇偶性、区间单调性，并应用单调性解不等式判断各项正误. 【详解】对于A：由题意，解得，正确； 对于B：的定义域为，正确； 对于C：，所以函数为偶函数，错误； 对于D：为偶函数且在单调递增， 由得，解得或，错误； 故选：AB 11. 已知点，动点到的距离和它到直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为： B. 曲线上存在点，使得 C. D. 若为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由两点间距离公式代入计算，即可判断A，假设存在，代入计算，即可判断B，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式代入计算，即可判断C，结合椭圆方程与斜率公式代入计算，即可判断D. 【详解】对于A选项：设，由动点到的距离和它到直线的距离的比是常数， 得，化简得曲线的方程为：，故A正确； 对于B选项：假设存在，则， 而的最小值为，与假设矛盾，所以假设不成立， 即不存在点，使得，故B错误； 对于C选项：设联立方程组， 化简得：，由根与系数的关系，， 所以，故C错误； 对于D选项：由题知关于原点对称，设，则， 设， 因为点是曲线上的点， 所以，， 由，得 ，故D正确； 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的高为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式求得半径，再利用圆锥的几何性质求高即可. 【详解】由题意知：，解得， 所以该圆锥的高. 故答案为：. 13. 已知双曲线与直线有唯一的公共点.请写出一个符合题目条件的值__________. 【答案】（答案不唯一，，中写出一个即可） 【解析】 【分析】根据条件，分和两种情形讨论，联立直线与双曲线方程，利用直线与双曲线的判断方法，即可求解. 【详解】易知双曲线C的渐近线方程为：， 当直线与渐近线平行，即斜率时，此时直线方程为或， 由，消得到，所以与只有一个交点， 由，消得到，所以与只有一个交点， 故满足题意， 当直线与渐近线不平行，联立方程组，消并化简得 ， 由题意知，解得. 综上所述，或时，直线与双曲线C有唯一的公共点. 故答案为：（答案不唯一，，中任取一个即可） 14. 函数的部分图象如图所示.若时，方程恰好有三个实根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合正弦函数的图象性质求出解析式，再借助对称性求得答案. 【详解】观察图象知，图象过点，则，即，而，则， 于是，又图象过点，结合图象趋势，得，解得， 因此，由，得的图象对称轴， 当时，，结合图象知，关于对称，关于对称， 所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织了高二年级的1000名学生参加奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求该样本的第75百分位数； （2）该校计划从参加本次奥运知识能力测试成绩优秀（80分及以上）的学生中，采用按成绩等比例分层随机抽样的方法，从中抽取6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学进行交流，求这2名同学分数在各一人的概率. 【答案】（1）82.5. （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据频率估计第75百分位数所在区间，再根据百分位数的定义计算即可； （2）先根据比例确定这6人中有几人位于区间，有几人位于区间，再根据古典概型计算概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 所以第75百分位数落在第5组，设为， 则，解得. 故该样本的第75百分位数为82.5. 【小问2详解】 采用分层抽样从）和抽取6名同学， 因为， 所以应在成绩为的学生中抽取4人，记为； 在成绩为的学生中抽取2人，记为； 再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学的样本空间有如下： ，共15种； 其中在各一人的有： ，共8种； 由此，这2名同学分数在各一人的概率为. 16. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角和； （2）在边上取一点，使得，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求出角和边的值即解得或（舍去），所以. （2）继续用正弦定理，并判断角属于钝角还是锐角从而判断余弦角正负，再利用正弦角的和差公式求出从而求出. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ， 即， 所以， 由知，故，又， 所以. 由余弦定理得 即解得或（舍去），所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得所以， 在中，因为， 故为钝角，所以为锐角，因此. 又，所以， 又为锐角，所以， 所以. 17. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接， 因为，且，所以为正三角形， 因为为的中点，所以，且， 所以，则， 又，所以，所以，所以， 又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等先证明线线垂直，再利用线面垂直的判定可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数在区间上为增函数，在区间上为减函数. （1）求在上的最大值： （2）设，求在上的最大值： （3）将这3个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. 【答案】（1） （2）时，；时，；时， （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性可求最大值； （2）分情况讨论，结合函数单调性可得答案； （3）利用幂函数的单调性及的单调性可以求解答案. 【小问1详解】 函数的定义域为在区间上为增函数， 在区间上为减函数，根据函数最值的定义，最大值为 【小问2详解】 当，即时，在上单调递增， 故； 当时，在上单调递减，故； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以. 综上，时，；时，；时，. 【小问3详解】 结论： 证明如下：由于这三个都是正数，等价于证明. 因为幂函数在上为增函数，又，所以. 由题设可知在区间上为减函数，又，所以，变形为，故； 综上，，所以. 19. 已知直线与关于抛物线的准线对称，的焦点为. （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与交于两点，且，求直线的方程： （3）为上两点，且，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由与到的距离相等求得，从而可得到答案； （2）由，根据抛物线的定义求得，设出直线方程，联立直线和抛物线方程消去，结合韦达定理求出参数即可； （3）设直线的方程为：与抛物线方程联立，由结合韦达定理求出，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出求面积的最小值. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 由题意知与到的距离相等，即，解得. 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 设. 因为，根据抛物线的定义得，所以. 设直线，联立， 化简得，故. 由，解得，满足. 则直线的方程为. 【小问3详解】 因为焦点坐标为，则直线的斜率存在. 设直线的方程为：. 由可得， 则，即. 因为，所以， 即. 将代入上式， 化简得. 所以，且， 解得或. 设到直线的距离为，则. . 所以的面积. 因为或， 所以当时，的面积最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年秋季学期红河州､文山州期末统一检测 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､学校､班级､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线与双曲线的（ ） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 5. 设直线与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 4 6. 已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 对三维空间中不共线的三点和任一点，点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数组，使且.现已知四点共面，为空间中任意一点，且满足，其中，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 8. 中国古代雕刻艺术中“鬼工球”工艺精妙绝伦，其层层嵌套的结构展现了极高的技艺水准.在现代数学与雕刻艺术的融合探索中，有雕刻师以棱长为6的正方体玉石为材料进行创意雕刻.在正方体内部雕琢出一个可以任意转动的球，在该球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）.假设雕刻过程不计各层厚度与材料损失，那么最内层正四面体的棱长最长为（ ） A. B. 4 C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面直角坐标系中三个点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. 在上的投影向量为 C. D. 若四边形为平行四边形，则点的坐标为 10. 已知幂函数，则（ ） A. B. 的定义域为 C. 为非奇非偶函数 D. 不等式的解集为 11. 已知点，动点到的距离和它到直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为： B. 曲线上存在点，使得 C. D. 若为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的高为__________. 13. 已知双曲线与直线有唯一的公共点.请写出一个符合题目条件的值__________. 14. 函数的部分图象如图所示.若时，方程恰好有三个实根，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织了高二年级的1000名学生参加奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求该样本的第75百分位数； （2）该校计划从参加本次奥运知识能力测试成绩优秀（80分及以上）的学生中，采用按成绩等比例分层随机抽样的方法，从中抽取6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学进行交流，求这2名同学分数在各一人的概率. 16. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角和； （2）在边上取一点，使得，求的值. 17. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数在区间上为增函数，在区间上为减函数. （1）求在上的最大值： （2）设，求在上的最大值： （3）将这3个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. 19. 已知直线与关于抛物线的准线对称，的焦点为. （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与交于两点，且，求直线的方程： （3）为上两点，且，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $