专题18.2 三角形的中位线【八大题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）

专题18.2 三角形的中位线【八大题型】 【人教版】 【题型1 利用三角形的中位线求长度】 1 【题型2 利用三角形的中位线求角度】 4 【题型3 利用三角形的中位线求面积】 7 【题型4 利用三角形的中位线求最值】 11 【题型5 利用三角形的中位线进行证明】 16 【题型6 中点四边形】 22 【题型7 三角形中位线的实际应用】 25 【题型8 构造三角形的中位线】 31 知识点：三角形的中位线 中位线 △ABC中，点D是AB中点，点E是AC中点，则DE∥BC且 DE=BC 【题型1 利用三角形的中位线求长度】 【例1】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质，平行四边形的判定和性质，先证明，且，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，分别交、于点、，且是边长为6的等边三角形，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，先根据垂直平分线得到，，然后根据等边三角形得到，即可得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级·河南驻马店·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级·江西宜春·阶段练习）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，构造中位线．如图，连接，是的中位线，则，，，，在中，由勾股定理求的值，由矩形的性质可得，根据，求解的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∵，， ，， 在中，由勾股定理得， ∴， ， 故答案为：2． 【题型2 利用三角形的中位线求角度】 【例2】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2-1】23-24八年级·甘肃定西·期中）如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质与判定，平行线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质以及三角形中位线的性质，可得，根据两直线平行内错角相等即可求得． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线与相交于点O， ， E是边的中点， ∴，而， 故选B 【变式2-2】（23-24八年级·陕西安康·期末）如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形中位线定理等知识，由等边对等角的性质，得到，进而得到，根据三角形中位线定理，可得，，从而推出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 点D、E分别是边、的中点， 是的中位线， ，， ， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，在等边中，高，相交于点，连接，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键． 由三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，每一个内角为，再由分别为高，利用三线合一得到分别为的中点，为角平分线，求出的度数，即为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理得到与平行，利用两直线平行内错角相等可得出的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴分别为的中点，为的平分线， ∴为的中位线， ∴， ∴． 故选：D． 【题型3 利用三角形的中位线求面积】 【例3】（23-24八年级·广东中山·期中）的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出． 先由勾股定理的逆定理判定，再根据中位线定理判定四边形是矩形且求出的长，最后根据直角三角形的面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示．不妨设中，，点分别是的中点．    ∵， ∴是直角三角形． ∴． ∵点分别是的中点． ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是矩形．则， ∵DE、DF分别是△ABC的中位线， ∴， 于是在中，． 故选：B． 【变式3-1】（2022·四川宜宾·模拟预测）厨房角柜的台面是三角形（如图所示），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．易证明此图中分割的四个三角形的面积都相等．所以黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是． 【详解】解：如图， ∵D、E、F分别是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形的中位线定理可以证明三角形被它的三条中位线分成的四个三角形全等． 【变式3-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是 ． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，则是的中位线，有．进一步求得和，即可判定四边形是平行四边形，那么，．连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小，此时的点记为点，结合正方形的性质求得即可求得面积． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵点是边的中点， 是的中位线， ． 在正方形中，， ， ， ∴ ∴四边形是平行四边形， ， ． 连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小． 将此时的点记为点，由正方形的对称性可知． ∴． 又， 则的面积为． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系的应用和勾股定理，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质和找到最小值． 【题型4 利用三角形的中位线求最值】 【例4】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线，理解当时，最短，即此时最小；当点F与点C重合时，最长，即此时最大是解题关键．连接，由G，H分别为的中点，结合三角形中位线定理可知．最后根据当时，最短，即此时最小；当点F与点C重合时，最长，即此时最大解答即可． 【详解】解：如图，连接． ∵G，H分别为的中点， ∴． 当时，最短，即此时最小，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 当点F与点C重合时，最长，即此时最大，如图，过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 故答案为：，． 【变式4-1】（23-24八年级·山西吕梁·阶段练习）如图，M是直线在第二象限部分上的一个动点，连接，将顺时针旋转得到线段，N是x轴正半轴上一个动点，P为的中点，Q为的中点，连接．下列同学关于的说法中，正确的是 ． 小兰：为定值，长度为2． 小虎：为定值，长度为4． 小天：有最小值，最小值为2． 小灿：有最大值，最大值为4． 【答案】小天 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线，根据三角形的中位线的判定及性质得，当轴，令点，则，根据旋转的性质及得，进而可得，，故点，则此时有最小值，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设直线与x轴交于点H，过点作轴于点G， ，Q分别是和的中点， 是的中位线， ∴． 当轴，即点N在点G处时， 令点，则． 由旋转的性质得：，， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， 故点，即点在直线上， 有最小值，最小值为4， 此时也有最小值，最小值为2， 即小天的说法正确， 故答案为：小天． 【变式4-2】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取、的中点、，连接、，则可得，，因此转而求的最小值；过作，且，连接、，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，取、的中点、，连接、，则，为的中位线， ∴， ∴， 在等边三角形中，，为的中点， ∴，， ，，， ∴， ，， ， ； 过作，且，连接、，则， ， ， ， 当点在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得：， 的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在． 【变式4-3】（24-25八年级·山东济南·期中）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点的运动轨迹． 如图，取中点，连接交于，连接，由中位线定理可得即为点的运动轨迹，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解； 【详解】解：如图，取中点，连接交于，连接， 四边形是矩形， ，， ∵矩形中，点是中点，点是中点， ，四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 点是的中点， 又是的中点， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值， ， 的最小值为； 故答案为： 【题型5 利用三角形的中位线进行证明】 【例5】（24-25八年级·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 中，，、 分别为 、 的中点，、 分别是 、 的中点．求证： (1)； (2)四边形 是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等腰梯形的性质得出，，再由是的中点，根据即可证明； （2）先由（1）得出，再由已知条件证出，、是的中位线，即可证出，得出四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是等腰梯形， ，， 是的中点， ， 在和中， ， （）； （2）解：由（1）得：， ， 、分别是线段、的中点， ，， ， 又是的中点， 、是的中位线， ，， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的判定；熟练掌握等腰梯形的性质，菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式5-1】（24-25八年级·福建三明·期中）如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接． (1)求证：平分； (2)取中点P，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线性质，得到；根据等腰三角形的性质，得到，等量代换得到即可． （2）如图，过点B作，证明，后证明，得到，继而得到是中位线得证． 【详解】（1）证明：∵矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴平分． （2）证明：如图，过点B作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，点P为的中点， ∴是中位线， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级·山东青岛·期中）如图，点、、分别是、、的中点，连接、、、．    (1)求证：、互相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)①②（或①③），见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握正方形的判断，三角形中位线定理是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，再证四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）可以选①②（或①③），根据平行四边形的性质与判定、矩形的判定定理、三角形中位线的性质及正方形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：证明：、、分别为、、的中点， ，， 四边形为平行四边形． 、互相平分； （2）方法1：选①②平分， 证明：四边形为平行四边形，， 是矩形 平分， ， ， ， ， ， 矩形为正方形． 方法2：选①；③； 证明：四边形为平行四边形， 是矩形 ， 点是的中点， 矩形为正方形． 故答案为：①②（或①③） 【变式5-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在和中，，，．点、、分别为、、的中点，绕点在平面内自由旋转． (1)求证：； (2)求证：； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交延长线于，由已知条件证明，得出，，再由三角形的中位线得到， （2）由得到，从而得出三角形是等腰直角三角形； （3）绕点在平面内自由旋转时，边最小为和的直角边之差，最大为两直角边之和；进而可求得面积的最大值． 【详解】（1）解：连接并延长交延长线于， 在和中，，，， 和都是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ，， 点、、分别为、、的中点， ， ， ， （2），， ， ， ∵，， ，即 （3）由（1）可得，又，即三角形是等腰直角三角形， 当绕点在平面内自由旋转时，， ， 的面积最大值为：． 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定，三角形的中位线定理，解题的关键是通过添加辅助线得出三角形是等腰直角三角形． 【题型6 中点四边形】 【例6】（24-25八年级·山西·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故选：C． 【变式6-1】（24-25八年级·全国·期中）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质定理，中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的性质是解题的关键． 根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形各边、、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，， 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级·广东佛山·期中）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故不正确的选项是D， 故选：D． 【变式6-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，中，D、E分别是、的中点，、交于点O，F、G分别是、中点，连接，若，，则四边形的周长是 ． 【答案】13 【详解】本题考查三角形中位线定理、平行线定理、平行四边形的判定，根据三角形中位线定理和平行线定理可得，，，，证得四边形是平行四边形，即可求解． 解：∵D、E、F、G分别是、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴四边形的周长为， 故答案为：13． 【题型7 三角形中位线的实际应用】 【例7】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为 ，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则 ． 【答案】 6 【分析】利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得和的长；再先后求得，，，然后利用圆的面积公式即可求解. 【详解】解：作于点N，连接， ∵， ∴， ∵点A是线段的中点， ∴， ∵， ∴点B是的中点， ∴是的中位线， 在中，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 过点A和作的垂线，垂足分别为和， 由题意得，同理是的中位线， ∴， 同理， ∴， 故答案为：，6. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线上的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式7-1】（24-25八年级·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 【变式7-2】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，某游乐场游客中心位于处，其正南方向米处有海盗船游乐项目，在的正东方向米处有摩天轮游乐项目餐厅位于的中点；碰碰车游乐项目位于上，且恰好处于餐厅的正南方向小快从出发，经到匀速骑行游玩，曼曼同时从出发，沿南偏西方向匀速直线行走游玩．    (1)餐厅和碰碰车游乐项目相距多少米？ (2)已知小快的速度是曼曼速度的倍，小快在由到骑行的途中与曼曼相遇于处，那么相遇时曼曼行走了多少米？（结果精确到米，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】利用三角形的中位线定理求解即可； 设相遇时曼曼行走了米，则米，米，求出米，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，米，， 位于的中点，， 位于的中点， 是的中位线， 米． 答：餐厅和碰碰车游乐项目相距米； （2）解：设相遇时曼曼行走了米，则米，米， 由题意可知，， 由可知，是的中位线， ， ， ， 位于的中点， 米， 米， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 解得：， 不合题意，舍去， 答：相遇时曼曼行走了约米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、方向角以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【变式7-3】（23-24八年级·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 【题型8 构造三角形的中位线】 【例8】（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图，在中，平分交于点．若，是中点，，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点F，过点D作交于G，证，得出，证出，得出，，证明是的中位线，得出，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长、交于点F，过点D作交于G，如图所示： 则， ∵E是中点，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵ ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式8-1】（24-25八年级·山西长治·阶段练习）已知如图，正方形，，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则 ． 【答案】 【分析】并延长交于， 连接，根据正方形的性质得到根据全等三角形的性质得到根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论. 【详解】解： 连接并延长交于， 连接， ∵四边形是正方形， ， ∵分别是边的中点， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ∵点分别是的中点， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式8-2】（24-25八年级·四川成都·阶段练习）如图，在中，已知平分于点是的中点．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ，是的中点， 是的中位线， ， 故答案为：3． 【变式8-3】（24-25八年级·重庆·期中）已知中，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使点B落在点E的位置，交于F，连接．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】先求出，过点D作，，垂足分别为M、N，连接交于点G，可将所求的问题进行转化求，由折叠得是的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出，进而求出，由等腰三角形的性质，可得是三角形的中位线，得到等于的一半，求出，在根据勾股定理，求出，进而求出． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为M、N，连接交于点G，    ∵在中，，， ∴由勾股定理，得， ∵点D为斜边的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴由勾股定理，得， 由折叠得，垂直平分，， 在中，，， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在中，由三角形的面积公式得：， 即：， ∴， 在中， 由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的中位线以及勾股定理等知识，理解和掌握这些知识是解决问题的前提和关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18.2 三角形的中位线【八大题型】 【人教版】 【题型1 利用三角形的中位线求长度】 1 【题型2 利用三角形的中位线求角度】 2 【题型3 利用三角形的中位线求面积】 3 【题型4 利用三角形的中位线求最值】 4 【题型5 利用三角形的中位线进行证明】 5 【题型6 中点四边形】 6 【题型7 三角形中位线的实际应用】 7 【题型8 构造三角形的中位线】 9 知识点：三角形的中位线 中位线 △ABC中，点D是AB中点，点E是AC中点，则DE∥BC且 DE=BC 【题型1 利用三角形的中位线求长度】 【例1】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，分别交、于点、，且是边长为6的等边三角形，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【变式1-2】（24-25八年级·河南驻马店·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【变式1-3】（24-25八年级·江西宜春·阶段练习）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为 ． 【题型2 利用三角形的中位线求角度】 【例2】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】23-24八年级·甘肃定西·期中）如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级·陕西安康·期末）如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，在等边中，高，相交于点，连接，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【题型3 利用三角形的中位线求面积】 【例3】（23-24八年级·广东中山·期中）的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【变式3-1】（2022·四川宜宾·模拟预测）厨房角柜的台面是三角形（如图所示），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是 ． 【变式3-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【变式3-3】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是 ． 【题型4 利用三角形的中位线求最值】 【例4】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【变式4-1】（23-24八年级·山西吕梁·阶段练习）如图，M是直线在第二象限部分上的一个动点，连接，将顺时针旋转得到线段，N是x轴正半轴上一个动点，P为的中点，Q为的中点，连接．下列同学关于的说法中，正确的是 ． 小兰：为定值，长度为2． 小虎：为定值，长度为4． 小天：有最小值，最小值为2． 小灿：有最大值，最大值为4． 【变式4-2】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 【变式4-3】（24-25八年级·山东济南·期中）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是 ． 【题型5 利用三角形的中位线进行证明】 【例5】（24-25八年级·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 中，，、 分别为 、 的中点，、 分别是 、 的中点．求证： (1)； (2)四边形 是菱形． 【变式5-1】（24-25八年级·福建三明·期中）如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形，使点B落在边上的点E处，连接交于点H，连接． (1)求证：平分； (2)取中点P，连接，求证：． 【变式5-2】（24-25八年级·山东青岛·期中）如图，点、、分别是、、的中点，连接、、、．    (1)求证：、互相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③；请你从中选择两个条件（写序号）：使得四边形是正方形，并加以证明． 【变式5-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在和中，，，．点、、分别为、、的中点，绕点在平面内自由旋转． (1)求证：； (2)求证：； (3)求面积的最大值． 【题型6 中点四边形】 【例6】（24-25八年级·山西·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【变式6-1】（24-25八年级·全国·期中）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 【变式6-2】（24-25八年级·广东佛山·期中）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【变式6-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，中，D、E分别是、的中点，、交于点O，F、G分别是、中点，连接，若，，则四边形的周长是 ． 【题型7 三角形中位线的实际应用】 【例7】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为 ，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则 ． 【变式7-1】（24-25八年级·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【变式7-2】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，某游乐场游客中心位于处，其正南方向米处有海盗船游乐项目，在的正东方向米处有摩天轮游乐项目餐厅位于的中点；碰碰车游乐项目位于上，且恰好处于餐厅的正南方向小快从出发，经到匀速骑行游玩，曼曼同时从出发，沿南偏西方向匀速直线行走游玩．    (1)餐厅和碰碰车游乐项目相距多少米？ (2)已知小快的速度是曼曼速度的倍，小快在由到骑行的途中与曼曼相遇于处，那么相遇时曼曼行走了多少米？（结果精确到米，） 【变式7-3】（23-24八年级·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【题型8 构造三角形的中位线】 【例8】（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图，在中，平分交于点．若，是中点，，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级·山西长治·阶段练习）已知如图，正方形，，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则 ． 【变式8-2】（24-25八年级·四川成都·阶段练习）如图，在中，已知平分于点是的中点．若，，则 ． 【变式8-3】（24-25八年级·重庆·期中）已知中，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使点B落在点E的位置，交于F，连接．若，，则的长为 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$