精品解析：内蒙古呼和浩特市旗县四校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

呼和浩特市旗县四校联考 2024—2025学年第一学期高二年级期末考试数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，已知点，，则（ ） A. B. C. D. 4 2. 若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　） A. B. C. D. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 5. 为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（ ） A. 18 B. 150 C. 36 D. 54 6. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. 或 C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9. 已知向量，，，则（     ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 向量共面 10. 甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（ ） A. 若甲和乙相邻，共有种排法 B. 若甲不排第一个共有种排法 C. 若甲与丙不相邻，共有种排法 D. 若甲在乙的前面，共有种排法 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线C围成的图形的周长是 C. 曲线C上的任意两点间的距离最大值是 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数_______． 13. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答） 14. 已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为__________. 四、解答题（共77分．第15题13分，第16、17题每题各15分，第18、19题每题各17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设，已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 已知圆及直线.直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线的一般式方程. 17. 已知点是双曲线上任意一点． （1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）已知点，求的最小值． 18. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为BC的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面AEF的夹角的余弦值． 19. 定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市旗县四校联考 2024—2025学年第一学期高二年级期末考试数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，已知点，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出向量坐标，再利用向量模的坐标表示得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 2. 若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义进行求解. 【详解】由椭圆方程可知，解得. 又椭圆上一点M到两焦点的距离和为， 所以M到另一个焦点的距离为. 故选：B 3. 如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解. 【详解】， ， ， ， 故选：A. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可求解. 【详解】直线与直线平行， 故，解得， 故选：C 5. 为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（ ） A. 18 B. 150 C. 36 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论，进而即得． 【详解】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人， 分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况， 根据题意两位女教师分派到同一个地方，分派方案可分为两种情况： 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法； 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法； 故共有：36种分派方法， 故选：． 6. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可． 【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 所以 设向量与的夹角为， 则， 所以直线和夹角的余弦值为， 故选：C． 7. 设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到线距离公式列出关于a，b，c的齐次式求解. 【详解】∵直线的方程为，化为一般式得， ∴原点到直线的距离为， ∴，即，将代入得：， ∴，得， 解得或， ∵， ∴（舍去）. 故选：D. 【点睛】本题考查离心率的计算，解答的关键在于根据题意条件列出关于，，的齐次式，然后解出离心率. 8. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线定义及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值. 【详解】设， 因为，所以， 过点分别作准线于点，， 由抛物线定义可知， 由梯形中位线可知， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 故， 故，的最小值为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9. 已知向量，，，则（     ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，， 在上的投影向量为，B正确； 对于C，，与不垂直，C错误； 对于D，，共面，D正确. 故选：ABD. 10. 甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（ ） A. 若甲和乙相邻，共有种排法 B. 若甲不排第一个共有种排法 C. 若甲与丙不相邻，共有种排法 D. 若甲在乙的前面，共有种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项. 【详解】甲、乙、丙等人排成一列， 对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序， 共有种排法，A对； 对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排， 共有种，B错； 对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排， 然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空， 所以，共有种排法，C对； 对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面， 然后将其余个人全排，共有种排法，D对. 故选：ACD. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线C围成的图形的周长是 C. 曲线C上的任意两点间的距离最大值是 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数_______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出的值. 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直， 即，解得：. 故答案为：10 13. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 所以的展开式中，含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 14. 已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】点轨迹为以为圆心1为半径的圆，的最小值为. 【详解】设，，点为线段的中点，有，得， 在圆上，满足圆的方程，则有，化简得点轨迹方程为， 点轨迹为以为圆心，1为半径的圆，如图所示， ，所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（共77分．第15题13分，第16、17题每题各15分，第18、19题每题各17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设，已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对二项式及其展开式赋值即可得解. （2）由二项式系数和为即可求解. （3）先通过展开式的通项公式得到关于是奇数次方的项的系数为负，是偶数次方的项的系数为正，接着赋值求得，进而去绝对值符号后即可得解. 【小问1详解】 因为 所以令，则有，即. 【小问2详解】 因为的展开式中所有项的二项式系数之和为1024， 所以有， 所以. 【小问3详解】 由（2）可得， 其展开式的通项公式为， 所以是奇数次方的项的系数为负，是偶数次方的项的系数为正， 又当时，， 所以. 16. 已知圆及直线.直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线的一般式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心到直线的距离，结合垂径定理可得解； （2）易知点在圆外，当切线斜率存在时，设切线方程为，根据直线与圆相切，可得，又当斜率不存在时，直线与圆相切成立. 【小问1详解】 由已知圆， 即圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为， 解得或（舍）； 【小问2详解】 由（1）得， 则圆，圆心，半径， 则点在圆外， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 此时，解得， 则直线方程为，即； 当切线斜率不存在时，直线方程为，此时满足直线与圆相切， 综上所述，切线方程为或. 17. 已知点是双曲线上任意一点． （1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）已知点，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可化简求解. （2）根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为，由在双曲线上，得， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 因此点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为， 而，所以，即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. 【小问2详解】 由（1）知，，则，解得或， 因此， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 18. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为BC的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面AEF的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可； （2）建立坐标系，求出两个平面的法向量即可求得两平面所成二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：取的中点O，连接,， ∵，，∴且， ∵，，∴，且, ∴四边形是平行四边形，∴， ∵，平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 因为，，两两垂直， 故以为原点，,,分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系， 各点坐标如下：，，，， ，，， 设平面的法向量为，由，， 有，取，，， 可得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由，， 有，取，，， 可得平面的一个法向量为， 有，，， 可得， 故平面与平面AEF的夹角的余弦值为． 19. 定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：是椭圆上的两个动点且，设，则. 直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论. 若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有. ∴，，且， 由，解得. 若直线的斜率都存在，设，则. 由，得，有；同理，得. 于是，. 由，可得. 因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上. ∴该定圆的方程为圆. 【解析】 【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程； （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求； （3）设，则，讨论有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可证结论，并写出定圆方程. 【详解】（1）由椭圆，知. 根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆. （2）设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设. 由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得. ∴，则，而. ∴，即. 综上，恒有. （3）略 【点睛】关键点点睛：研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $