精品解析： 湖北省宜昌市五峰土家族自治县2024-2025学年九年级上学期期末阶段性学业水平诊断数学试题

2024年秋五峰阶段性学业水平诊断九年级数学试题 满分：120分 考试时间：120分钟 考生注意：闭卷考试，试题共24小题；请将解答填写在答题卡上指定的位置，否则答案无效． 一、选择题（下列各小题都给出了四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项的字母代号涂填在答题卡上指定的位置．本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）． A B. C. D. 5. 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A. 点P B. 点O C. 点M D. 点N 6. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 9. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落上，此时等于（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：（将解答结果写在答题卡上指定的位置，本大题共5小题，每小题3分，计15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__． 12. 已知的半径为6，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是_________． 13. 如图，，直线a、b与分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则______． 14. 如图，点M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为点A，若的面积为6，则k的值为______． 15. 唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为________． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分．） 16. 解方程：． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕原点O逆时针旋转后的． 18. 如图，红红同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高． 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生，2名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 20. 如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． （2）当的长度为时，求弹簧秤的示数． （3）嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 21. 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE． （1）求证：∠BED=∠C； （2）若OA=5，AD=8，求AC的长． 22. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 23. 【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由． （2）【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，． ①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，当点与点重合时，求的长． 24. 如图1，抛物线的图象经过． （1）求值以及抛物线顶点坐标； （2）当时，求的最大值和最小值； （3）如图2，将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新抛物线，点为抛物线与的交点，设点到轴的距离为，直接写出关的函数关系式，及当随的增大而减小时，的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋五峰阶段性学业水平诊断九年级数学试题 满分：120分 考试时间：120分钟 考生注意：闭卷考试，试题共24小题；请将解答填写在答题卡上指定的位置，否则答案无效． 一、选择题（下列各小题都给出了四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项的字母代号涂填在答题卡上指定的位置．本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的概念．找到图形的对称中心，使图形绕着对称中心旋转后能够与原图形完全重合的即是中心对称图形． 【详解】解：A 、绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形； B、绕着圆心旋转能与原图形完全重合，是中心对称图形； C、绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形； D、绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形； 故选：B． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程的方法，即可解题． 【详解】解： 或， 解得，． 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得出顶点坐标为，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， 故选：D． 4. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，先利用待定系数法求出k的值，进而得到在反比例函数图象的点的横纵坐标的乘积为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式， ∴在反比例函数上的点的横纵坐标的乘积为， ∴四个选项中只有D选项中的点在反比例函数图象上， 故选：D． 5. 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A. 点P B. 点O C. 点M D. 点N 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上． 解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上， 因为点P在直线MN上， 所以点P为位似中心． 故选A． 考点：位似变换． 6. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解． 【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1， ∴灰色区域的面积为, ∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 7. 如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取一点，连接，利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，如图， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 9. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； 由图象可知，当时，，故正确； 所以正确的序号是，共5个． 故选：D 二、填空题：（将解答结果写在答题卡上指定的位置，本大题共5小题，每小题3分，计15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是：， 故答案为：． 12. 已知的半径为6，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系的判断，掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 若半径为r，点到圆心的距离为d，根据当时，点在圆外，据此即可求解． 【详解】解：∵的半径为6，点P在外， ∴点到圆心的距离d的取值范围是． 故答案为：． 13. 如图，，直线a、b与分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得继而得到，代入计算即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案：． 14. 如图，点M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为点A，若的面积为6，则k的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，根据值的几何意义，得到的面积等于，进行求解即可． 【详解】解： ∵反比例函数过第一象限， ∴， 由题意，得：的面积为， ∴； 故答案为：12． 15. 唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】解：设半径为，则， ， ， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子半径为， 故答案为：． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分．） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕原点O逆时针旋转后的． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了网格作图．熟练掌握关于原点中心对称变换性质，旋转变换性质，是解题关键． （1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【小问1详解】 关于原点对称的点为，描出各点，首尾顺次连接，即得．． 【小问2详解】 绕原点O逆时针旋转后的点，描出各点，首尾顺次连接，即得． 18. 如图，红红同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，则由即可求解,本题主要考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生，2名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）40人，补全图形见解析 （2）480人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． （1）用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图； （2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用，，，表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可. 【小问1详解】 解：由①可知，A档有8人；本次调查人数是：（人）； ∴C档人数是：（人）， 补充完整图2如图： 【小问2详解】 （人） 答：全校B档的人数为480人， 【小问3详解】 用，表示2名来自八年级的学生，，表示2名来自九年级的学生， 所有的等可能的结果数有12个，抽到的2名学生来自不同年级的结果数有8个， ∴抽到的2名学生来自不同年级的概率． 20. 如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 48 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． （2）当的长度为时，求弹簧秤的示数． （3）嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】（1）反比例函数， （2）弹簧秤的示数为 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【小问1详解】 解：反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，． 答：弹簧秤的示数为4N． 【小问3详解】 解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 21. 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE． （1）求证：∠BED=∠C； （2）若OA=5，AD=8，求AC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AC=． 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得到∠C=∠2．由圆周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C； （2）连接BD．由直径直径对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得BD===6，由△OAC∽△BDA得OA：BD=AC：DA，从而求得AC的值． 【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径， ∴AB⊥AC． 则∠1+∠2=90°， 又∵OC⊥AD， ∴∠1+∠C=90°， ∴∠C=∠2， 而∠BED=∠2， ∴∠BED=∠C； （2）解：连接BD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD===6， ∴△OAC∽△BDA， ∴OA：BD=AC：DA， 即5：6=AC：8， ∴AC=． 【点睛】考查切线的性质, 余角和补角, 勾股定理, 圆周角定理, 相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角、圆心角与弧的关系的相关知识是解决此类问题的关键. 22. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）70元 （3）80元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，一元二次方程，二次函数的综合，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． （1）根据每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件的数量关系列式求解即可； （2）运用销售量乘以每件的利润，由此列式即可求解； （3）设每月总利润为w，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵依题意，得：， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵依题意得：， 即， 解得：， ∵， ∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元； 【小问3详解】 解：设每月总利润为w，依题意得， ， ∵，此图象开口向下， ∴当时，w有最大值为4500元， ∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 23. 【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由． （2）【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，． ①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，当点与点重合时，求的长． 【答案】（1）没有变化．理由见解析 （2）①．理由见解析；② 【解析】 【分析】(1)在和中,利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论； (2)①过点作于点，于点，利用相似三角形的性质证明即可；②利用①中结论，求出，可得结论． 【小问1详解】 没有变化 理由如下：在正方形和正方形中， ，，， ，， ， 在和中， ，，， ， ， ， 正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一 ； 【小问2详解】 如图3中，过点作于点，于点 四边形是正方形， ， ，， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图4中， ， ，，， ，， ， ， ， . 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题 24. 如图1，抛物线的图象经过． （1）求的值以及抛物线顶点坐标； （2）当时，求的最大值和最小值； （3）如图2，将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线，点为抛物线与的交点，设点到轴的距离为，直接写出关的函数关系式，及当随的增大而减小时，的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，的最大值为，的最小值 （3），当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象平移的规律及性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可二次函数解析式，根据顶点坐标公式即可求解； （2）根据二次函数图象的增减小，分别求出顶点坐标，当时的函数值，当时的函数值进行分析即可求解； （3）根据二次函数图形的平移规律得到新函数的解析式，再分类讨论：当时，；当时，；由此即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的图象经过， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为：， ∴， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为，图象开口向下， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当，随的增大而增大，当，随的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴当时，的最大值为，的最小值； 【小问3详解】 解：将抛物线向右平移个单位（），再向上平移个单位得到新的抛物线， ∴， 当时，，整理得，， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当时，，， 当时，，， 综上所述，，当时，随的增大而减小 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$