2.1.1 余角和补角 课件-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第二章　相交线与平行线 2.1.1 余角和补角 学习目标 经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力。 1 2 了解相交线、平行线、对顶角、余角、补角及其性质，并能用这些性质解决实际问题。 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系. 观察思考 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系. 观察思考 观察思考 探究新知 现以球杆击打白球，让白球击打红球，红球经过反弹后，若要进入右下角球袋，现问：以什么的角度来击球会获得成功？ 请找出图中哪两个和是90°，那两个角和是180°？ 3 4 如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角(简称互补).可以说∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角.∠3与∠4互补. 补角的定义： 2 1 如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角(简称互余).可以说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.∠1与∠2互余. 余角的定义： 探究新知 规律总结 理解余角与补角需要注意三点： 1.余角或补角都是两个角的关系，并且是相互的. 2.互为余角、互为补角的两个角，只与它们的大小有关，与它们的位置无关. 3.互余的两个角必须是两个锐角，而互补的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角. ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 32° 45° 77° 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° 练习检测 9.图中给出的各角，哪些互为补角？ 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 练习检测 图1 N 2 D C O 1 3 4 A B 图2 如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2. 补角和余角的性质 三 探究新知 在图2中，问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 问题3：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 因为∠1= ∠2， ∠1+∠AOC=180°, ∠ 2+∠BOD=180°， 所以∠AOC=∠BOD. 同角(等角)的补角相等 N 2 D C O 1 3 4 A B 图2 探究二: 补角和余角的性质 因为∠1= ∠2， ∠ 1+∠3=90° , ∠ 2+∠4=90°， 所以 ∠ 3=∠4. 同角(等角)的余角相等 归纳总结：同角(等角)的补角相等，同角(等角)的余角相等. N 2 D C O 1 3 4 A B 图2 问题3：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 10.如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角有__________________. ∠BOC和 ∠AOD 练习检测 短池游泳 双 杠 归纳总结 余角 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角（或互余） 补角 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角（或互补） 余角、补角的性质 同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等 拓展延伸 3.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角为x度.则它的补角为（180-x)度，它的余角为（90-x)度. 根据题意得：180-x=4(90-x) 解得：X=60 即这个角为60度. 同一平面内两条直线的位置关系 相交线：若两条直线只有一个交点，我们称这两条直线为相交。简称：相交 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。简称：平行 练习：右图直线m和n的关系是 ，记作： ；a和b是 ，记作： ； a和n是 m n a b 平行 平行 相交 1 2 3 4 问题1：观察右图，∠1和∠3的位置有什么关系？大小有何关系？为什么？ 问题2：那么剪子在剪东西的过程中，∠1和∠3还保持相等吗？ ∠2和∠4呢？你有何结论？ 对顶角识别及性质总结 A B C D O 1.有公共顶点 2.两边互为反向延长线 2 1 3 4 ∠1与∠2是对顶角 对顶角的特征： ∠3与∠4是对顶角 ∠1=∠2 ∠3=∠4 对顶角的性质： 对顶角相等 那相等的角是对顶角吗 对顶角性质的几何证明 A B C D 2 1 3 4 已知：如图，直线AB,CD相交于点O，∠1和∠2是对顶角. 求证：∠1=∠2 O 证明： ∵∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°（平角定义） ∴∠1=180°-∠3 ∠2=180°-∠3 （等量代换） 那么 ∠1=∠2 例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 1 2 C 1 2 D D 1 2 A 1 2 B 典例精析 方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的， 只有两条直线相交时，才能构成对顶角． 例2 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠1＝40°， ∠BOC＝110°，求∠2的度数. 典例精析 所以∠2＝70°(等量代换)． 解：因为∠1＝40°,∠BOC＝110°(已知)， 所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°. 又因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)， 探究新知 现以球杆击打白球，让白球击打红球，红球经过反弹后，若要进入右下角球袋，现问：以什么的角度来击球会获得成功？ 请找出图中哪两个和是90°，那两个角和是180°？ 归纳总结 余角 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角（或互余） 补角 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角（或互补） 余角、补角的性质 同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等 1.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=900, 回答下列问题： （1）∠AOE的余角是 和 ；补角是 ； （2）∠AOC的余角是 ；补角是 和 ； 对顶角是 ； C A B D O E ∠AOC ∠BOE ∠AOE ∠BOC ∠BOD 当堂练习 ∠BOD ∠AOD 2.如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2=∠4, 请写出∠1与∠3之间的关系?并说明理由? O 当堂练习 证明：因为∠COD=∠EOD=90°（已知） 所以∠1+∠2=900，∠3+∠4=900. （等量代换） 又因为∠2=∠4（已知） 所以∠1=∠3（等角的余角相等） 3.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数. 拓展延伸 解：设这个角为x度.则它的补角为（180-x)度，它的余角为（90-x)度. 根据题意得：180-x=4(90-x) 解得：X=60 答：这个角为60度. 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等 对顶角性质：对顶角相等. 课堂小结 $$