专题11.2 一元一次不等式（5大题型）-2024-2025学年七年级数学下册（人教版2024新教材）

专题11.2 一元一次不等式（5大题型） 题型一 一元一次不等式的定义 1．（2024秋•西湖区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•东阳市期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 3．（2024春•禹州市期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为　　 A．0 B． C． D．1 4．（2024春•雨花区校级月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为　　 A． B． C．1 D． 5．（2024春•泌阳县月考）写出一个关于的一元一次不等式：　　． 6．（2024春•阿荣旗期末）用不等式表示：的3倍与4的差是非负数　 　． 7．（2024•重庆开学）已知是关于的一元一次不等式，则　　． 8．（2023春•涪城区期末）下列不等式中，①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有 　　个． 9．（2023春•子洲县校级期中）已知是关于的一元一次不等式，求的值． 题型二 解一元一次不等式 10．（2024秋•嵊州市期末）不等式的解是　　 A． B． C． D． 11．（2024秋•碑林区校级期末）下列的值可以使不等式成立的是　　 A．2 B．1 C．0 D． 12．（2024秋•西湖区期末）不等式的解集表示在数轴上正确的是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如果不等式的解集为，则必须满足的条件是　　 A． B． C． D． 14．（2024秋•嘉兴期中）一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是　　 A． B． C． D． 15．（2024秋•雁塔区校级期末）若点在第二象限，则的取值范围是 　　． 16．（2024秋•北林区期末）不等式的解集为　　． 17．（2024秋•柯桥区期末）已知下列表格中的每组，的值分别是关于，的二元一次方程的解，则关于的不等式的解集为 　　． 0 1 0 1 2 3 18．（2024秋•越城区校级期末）已知关于的方程的解是不等式的一个解，则的取值范围是　　． 19．（2024秋•吴兴区期末）解不等式： （1）； （2）． 20．（2024秋•吴兴区期中）解下列不等式． （1）； （2）． 21．（2024秋•绍兴期中）解不等式并把解表示到数轴上： （1）； （2）． 22．（2024秋•余姚市期末）学习了“解一元一次不等式”后，小慧同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项，得： 合并同类项，得： 两边同时除以，得： 小慧的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 题型三 一元一次不等式的整数解 23．（2024春•通河县期末）不等式的正整数解有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24．（2024春•西峡县期末）不等式的负整数解有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（2024春•金台区校级期中）若关于的不等式的正整数解是1、2、3、4．则的取值范围为　　 A． B． C． D． 26．（2024秋•诸暨市期中）关于的不等式有且只有三个负整数解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 27．（2024•苍南县校级自主招生）已知正整数，，满足，，则的最小值为　　 A．141 B．153 C．160 D．174 28．（2024秋•西湖区期中）不等式的负整数解是 　　． 29．（2024秋•柯桥区期末）满足不等式的最小整数解是 　　． 30．（2024•青秀区校级开学）若的解集中的最小整数解为2，则的取值范围是　　． 31．（2024春•上犹县期末）已知点，其中是立方根等于它本身的数，为不等式的正整数解．则点的坐标为 　　． 32．（2024•内蒙古）对于实数，定义运算“※”为※，例如5※，则关于的不等式※有且只有一个正整数解时，的取值范围是 　　． 33．（2024•新城区校级二模）解不等式：，并求出最小整数解． 34．（2024春•赵县期末）已知关于的方程． （1）若该方程的解满足，求的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值． 35．（2024春•阜平县期末）解关于，的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． （1）求方程组的解； （2）求关于的不等式的最小整数解． 36．（2024春•虞城县期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． 37．（2024春•中山市期末）对于两个关于的不等式，若有且仅有两个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“双整”的．例如不等式和不等式只有1和2两个整数使得这两个不等式同时成立，所以不等式和不等式是“双整”的． （1）判断不等式和是否是“双整”的并说明理由； （2）若不等式和是“双整”的，求的最大值． 题型四 由实际问题抽象出一元一次不等式 38．（2024春•平山县月考）用不等式表示“减去2的差不大于0”为　　 A． B． C． D． 39．（2024春•呈贡区校级期末）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，下列符合题意的不等式为　　 A． B． C． D． 40．（2024春•花山区校级期中）政务区银泰百货商场促销，真真将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为元，真真妈妈根据信息列出了不等式，那么真真告诉妈妈的信息是　　 A．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不超过1200元 B．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不超过1200元 C．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不到1200元 D．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不到1200元 41．（2024秋•临平区期末）近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地 ，则满足的不等关系为　　 A． B． C． D． 42．（2024秋•柯桥区期末）某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对道题，根据题意，可列出关于的不等式为　　 A． B． C． D． 43．（2024秋•义乌市期末）某超市花费1000元购进蓝莓100千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价为每千克元，则下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 44．（2024•旌阳区模拟）太原地铁“一号线”正在进行修建，预计2024年年底通车试运营，标志色为梦想蓝．现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输残土不低于166吨．为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆．若购进载重量为8吨的卡车辆，则需要满足的不等式为　　 A． B． C． D． 45．（2024春•东城区期末）语句“的三分之一与的和是非负数”可以列不等式表示为 　　． 46．（2024春•交口县期末） 2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是元，则可列不等式 　　． 47．（2024•二道区校级模拟）某校规定期中考试成绩的和期末考试成绩的的和作为学生成绩总成绩．该校李红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末应考分，可列不等式为　 　． 48．（2024春•和平区校级期末）2022年卡塔尔世界杯正如火如荼地进行着，其小组赛赛制为：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某强队想要在小组赛中确保出线，就必须在3场中保持不败并且积分不少于7分，则该队至少胜多少场？设该队胜场，则列出的不等式为 　　． 题型五 一元一次不等式的应用 49．（2024春•营口期末）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润不能少于，则最多可打　　 A．7折 B．8.5折 C．8.8折 D．9折 50．（2024春•东方校级月考）某工程队计划在10天内修路，施工前2天修完后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路　　 A． B． C． D． 51．（2024春•龙华区校级期中）某批电子产品的进价为200元件，售价为350元件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价　　 A．120元 B．132.5元 C．140元 D．142.5元 52．（2024春•阳谷县期中）某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品　　 A．10件 B．11件 C．12件 D．13件 53．（2024春•怀宁县期末）5月27日，怀宁县举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，怀宁县将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是　　 A．16 B．17 C．18 D．19 54．（2024春•青羊区校级期中）某电器商场促销，海尔某型号冰箱的售价是2500元，进价是1800元，商场为保证利润率不低于，则海尔该型号冰箱最多降价 　　元． 55．（2023秋•洪江市期末）某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元台、2000元台． （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？ （2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？ 56．（2024春•涿州市期末）某户外鞋零售店采购员计划到鞋厂批发购进旅游鞋和登山鞋共100双，付款总额不得超过11800元，已知两种鞋的批发价和商场的零售价如表，请你解答下列问题： 品名 厂家批发价（元双） 商场零售价（元双） 旅游鞋 130 160 登山鞋 100 120 （1）该采购员最多可购进旅游鞋多少双？ （2）若该鞋店把100双鞋全部售出，为使鞋店的利润不低于2580元，采购员有哪几种采购方案，哪种方案鞋店盈利最多？ 57．（2024春•万州区月考）为了提高学生学习英语的兴趣，检测学生词汇掌握情况，万州区某中学举办了“英语词汇竞赛活动”，学校英语组准备给每个获奖学生颁发一种售价为30元个的奖品．由于需要的奖品数量较多，商家给出两种优惠方案，方案一：所有奖品按售价打8折；方案二：免费赠送10个奖品，其余奖品按售价打9折． （1）负责购买奖品的老师发现，按方案一购买奖品比按方案二购买奖品可以节约30元钱，求需要购买多少个奖品？ （2）购买的奖品数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算？ 58．（2024春•平罗县期末）每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息如下 ①快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其它； ②快餐总质量为400克； ③脂肪所占的百分比为； ④碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍．根据此信息，解答下列问题： （1）求这份快餐中所含脂肪质量； （2）若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； （3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 59．（2024春•玉溪期末）油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中，汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油．某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下： 油电混动汽车 普通汽车 购买价格（元 113800 98800 每百公里燃油成本（元 45 60 某家庭计划购入一辆上述品牌的汽车，估算用车成本只考虑车价和燃油成本． （1）若该家庭预计使用这一品牌的汽车行驶的总公里数为80000公里，估算选择普通汽车的用车成本； （2）要使油电混动汽车的用车成本不高于普通汽车的用车成本，预计行驶的公里数至少为多少公里？ 60．（2024春•路桥区期末）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力后的长度记为，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力的大小跟弹簧伸长的长度成正比，即，为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务 （1）①图3中弹簧伸长的长度　　；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度　　；（用含的式子表示） （2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度的最大值是． 任务 （3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务 （4）补全刻度设计方案．将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 　　． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.2 一元一次不等式（5大题型） 题型一 一元一次不等式的定义 1．（2024秋•西湖区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【解析】、，未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 、，不是不等式，故此选项不符合题意； 、，是一元一次不等式，故此选项符合题意； 、，不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选． 2．（2024秋•东阳市期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【解析】①原不等式是一元一次不等式，符合题意； ②，有2未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ③，是代数式，不是一元一次不等式，不符合题意； ④原不等式未知数的次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选． 3．（2024春•禹州市期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为　　 A．0 B． C． D．1 【答案】 【分析】利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【解析】是关于的一元一次不等式， 且， ． 故选． 4．（2024春•雨花区校级月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为　　 A． B． C．1 D． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，即可求解． 【解析】是关于的一元一次不等式， ， 解得：． 故选． 5．（2024春•泌阳县月考）写出一个关于的一元一次不等式：　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此即可作答． 【解析】依题意：关于的一元一次不等式：， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2024春•阿荣旗期末）用不等式表示：的3倍与4的差是非负数　　． 【答案】 【分析】先将的3倍与4的差表示为，非负数即大于等于0，再表示出来就可以． 【解析】非负数就是大于等于0的数， 故本题答案为： 7．（2024•重庆开学）已知是关于的一元一次不等式，则　3　． 【答案】3． 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【解析】是关于的一元一次不等式， ， ， 故答案为：3． 8．（2023春•涪城区期末）下列不等式中，①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有 　2　个． 【答案】2． 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【解析】①存在二次项，不符合题意； ②没有未知数，不符合题意； ③有两个未知数，所以都不是一元一次不等式，不符合题意； ④⑤是一元一次不等式． 所以一元一次不等式有④⑤共2个． 故答案为：2． 9．（2023春•子洲县校级期中）已知是关于的一元一次不等式，求的值． 【答案】． 【分析】根据一元一次不等式的定义得出且，再求出即可． 【解析】是关于的一元一次不等式， 且， 解得：或， 解得：， ． 题型二 解一元一次不等式 10．（2024秋•嵊州市期末）不等式的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先移项，再合并同类项即可． 【解析】， ， ． 故选． 11．（2024秋•碑林区校级期末）下列的值可以使不等式成立的是　　 A．2 B．1 C．0 D． 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解析】， ， ， ， 故可以使不等式成立的是2． 故选． 12．（2024秋•西湖区期末）不等式的解集表示在数轴上正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解析】， ， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 故选． 13．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如果不等式的解集为，则必须满足的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出的范围即可． 【解析】不等式的解集为， ， ， 故选． 14．（2024秋•嘉兴期中）一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤求解即可． 【解析】．不等式的解集为，不符合题意； ．不等式的解集为，符合题意； ．不等式的解集为，不符合题意； ．不等式的解集为，不符合题意； 故选． 15．（2024秋•雁塔区校级期末）若点在第二象限，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【解析】点在第二象限， ， ， ， 故答案为：． 16．（2024秋•北林区期末）不等式的解集为　　． 【答案】． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，对所给不等式进行求解即可． 【解析】， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（2024秋•柯桥区期末）已知下列表格中的每组，的值分别是关于，的二元一次方程的解，则关于的不等式的解集为 　　． 0 1 0 1 2 3 【答案】． 【分析】根据表格中的数据可知：当时，，当时，，然后即可写出不等式的解集． 【解析】由表格可知，当时，，当时，， 关于的不等式的解集为， 故答案为：． 18．（2024秋•越城区校级期末）已知关于的方程的解是不等式的一个解，则的取值范围是　　． 【答案】． 【分析】首先解方程求得的值，然后代入不等式即可求得的范围． 【解析】解方程，方程两边同时乘以3得， 解得：， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 19．（2024秋•吴兴区期末）解不等式： （1）； （2）． 【分析】（1）根据移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解一元一次不等式即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解一元一次不等式即可． 【解析】（1）移项，得， 、合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得． 20．（2024秋•吴兴区期中）解下列不等式． （1）； （2）． 【分析】（1）移项，合并同类项，未知数系数化为1，从而表示解集即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1． 【解析】（1）移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． （2）去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项系数化为1得，． 21．（2024秋•绍兴期中）解不等式并把解表示到数轴上： （1）； （2）． 【分析】（1）先去括号，再移项得到，然后合并同类项得到不等式的解集，最后在数轴上表示其解集； （2）先去分母，再移项、合并得到，然后把的系数化为1得到不等式的解集，最后在数轴上表示其解集． 【解析】（1）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解集在数轴上表示为： （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示为： 22．（2024秋•余姚市期末）学习了“解一元一次不等式”后，小慧同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项，得： 合并同类项，得： 两边同时除以，得： 小慧的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【分析】根据不等式的性质及解一元一次不等式的步骤，对所给不等式进行求解即可． 【解析】有错误； 由解题过程可知， 第一步去括号出现错误， 去括号时因为不等式两边都乘以6时，1未乘以6， 第五步出现错误， 因为不等式两边都乘或除以同一个负数时，不等号方向未改变， 正确解答过程如下： ， ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：． 把解表示在数轴上如图所示： 题型三 一元一次不等式的整数解 23．（2024春•通河县期末）不等式的正整数解有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】解不等式得出的范围，即可得答案． 【解析】， ， ， 则不等式的正整数解为1、2、3， 故选． 24．（2024春•西峡县期末）不等式的负整数解有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【解析】， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 不等式两边同除以得：， 不等式的负整数解有，，共3个，故正确． 故选． 25．（2024春•金台区校级期中）若关于的不等式的正整数解是1、2、3、4．则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】解得，再由题意可得，解这个不等式即可得出答案． 【解析】解得， 该不等式的正整数解为1、2、3、4， ， 解得． 故选． 26．（2024秋•诸暨市期中）关于的不等式有且只有三个负整数解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值． 【解析】， ， 关于的不等式有且只有三个负整数解， 的负整数解有：，，， ， 解得：， 故选． 27．（2024•苍南县校级自主招生）已知正整数，，满足，，则的最小值为　　 A．141 B．153 C．160 D．174 【答案】 【分析】根据，得到，，结合，，是正整数列不等式求解即可得到答案． 【解析】，， ，， ，，是正整数， ，，， 解得：， ，，是正整数， 当时是使，，都是正整数的最小值， 故选． 28．（2024秋•西湖区期中）不等式的负整数解是 　，　． 【答案】，． 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可． 【解析】不等式的解集是， 故不等式的负整数解为，． 故答案为：，． 29．（2024秋•柯桥区期末）满足不等式的最小整数解是 　7　． 【答案】7． 【分析】先求出不等式的解集，再求出整数解即可． 【解析】解不等式，得， 所以最小整数解是7． 故答案为：7． 30．（2024•青秀区校级开学）若的解集中的最小整数解为2，则的取值范围是　　． 【答案】． 【分析】根据最小整数解的意义即可得到的取值范围． 【解析】的解集中的最小整数解为2， ， 故答案为：． 31．（2024春•上犹县期末）已知点，其中是立方根等于它本身的数，为不等式的正整数解．则点的坐标为 　或　． 【答案】或． 【分析】根据题意求得，解不等式求得不等式的正整数解即可求得的值，从而求得点的坐标． 【解析】是立方根等于它本身的数， ， 解不等式得，， 为不等式的正整数解， ， 点的坐标为或． 故答案为：或． 32．（2024•内蒙古）对于实数，定义运算“※”为※，例如5※，则关于的不等式※有且只有一个正整数解时，的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据所给定义，得出关于的不等式，再根据此不等式只有一个正整数解，得出关于的不等式组，据此可解决问题． 【解析】由题知， ※， 所以， 解得． 因为此不等式有且只有一个正整数解， 所以， 解得． 故答案为：． 33．（2024•新城区校级二模）解不等式：，并求出最小整数解． 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再找出最小的整数即可． 【解析】， ， ， ， ， ， 最小整数解为8． 34．（2024春•赵县期末）已知关于的方程． （1）若该方程的解满足，求的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值． 【分析】（1）首先要解这个关于的方程，求出方程的解，根据方程的解满足，可以得到一个关于的不等式，就可以求出的范围； （2）首先解不等式求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得的值即可． 【解析】（1）解方程，得， 该方程的解满足， ， 解得； （2）解不等式， 去括号，得：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1得：． 则最小的整数解是4． 把代入得：， 解得：． 35．（2024春•阜平县期末）解关于，的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． （1）求方程组的解； （2）求关于的不等式的最小整数解． 【分析】（1）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得、的值 （2）根据方程组的解满足方程和，可得关于、的二元一次方程组，根据解方程组，可得、的值，代入一元一次不等式，解不等式即可得出最小整数解． 【解析】（1）方程组的解和方程组的解相同． ， 由②①得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）把 分别代入和，可得方程组 解得 即， ， 最小整数解为1． 36．（2024春•虞城县期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． 【分析】（1）根据关于的不等式，可得结论； （2）解方程组求出，构建不等式求解． 【解析】（1）， ， 解是负数， ， ； （2）， ②①得，， ， ， ， 的最大整数为． 37．（2024春•中山市期末）对于两个关于的不等式，若有且仅有两个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“双整”的．例如不等式和不等式只有1和2两个整数使得这两个不等式同时成立，所以不等式和不等式是“双整”的． （1）判断不等式和是否是“双整”的并说明理由； （2）若不等式和是“双整”的，求的最大值． 【分析】（1）解不等式得，再根据“双整”的定义即可； （2）根据题意得，再根据“双整”的定义得． 【解析】（1）不是，理由如下： 联立，，解不等式组得， 满足条件的整数有三个：1、2、3，所以这两个不等式不是“双整”的； （2）解不等式，得， 若和是“双整”的， ，则满足的整数有两个：2和3， 即， 故的最大值为9． 题型四 由实际问题抽象出一元一次不等式 38．（2024春•平山县月考）用不等式表示“减去2的差不大于0”为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“减去2的差不大于0”，进行列式得，即可作答． 【解析】减去2的差不大于0， ， 故选． 39．（2024春•呈贡区校级期末）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，下列符合题意的不等式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据每月存25元，则个月存元，与已存的60元之和大于等于480元即可． 【解析】由题意知，已存的60元与个月存的钱之和大于等于480元， 因此， 故选． 40．（2024春•花山区校级期中）政务区银泰百货商场促销，真真将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为元，真真妈妈根据信息列出了不等式，那么真真告诉妈妈的信息是　　 A．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不超过1200元 B．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不超过1200元 C．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不到1200元 D．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不到1200元 【答案】 【分析】根据，可以理解为买两件减150元，再打8折得出总价小于1200元． 【解析】由关系式可知： ， 由，得出两件商品减150元，以及由得出买两件打8折， 故可以理解为：买两件等值的商品可减150元，再打8折，最后不到1200元． 故选． 41．（2024秋•临平区期末）近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地 ，则满足的不等关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用工作总量工作效率工作时间，结合完成平整土地的任务所用时间不超过3小时，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【解析】依题意得：． 故选． 42．（2024秋•柯桥区期末）某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对道题，根据题意，可列出关于的不等式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用小辉的得分答对题目数答错或不答题目数，结合小辉的得分超过170分，可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【解析】根据题意得：． 故选． 43．（2024秋•义乌市期末）某超市花费1000元购进蓝莓100千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价为每千克元，则下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用销售收入销售单价销售数量，结合为避免亏本（即销售收入不下于进货总价），即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【解析】根据题意得：． 故选． 44．（2024•旌阳区模拟）太原地铁“一号线”正在进行修建，预计2024年年底通车试运营，标志色为梦想蓝．现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输残土不低于166吨．为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆．若购进载重量为8吨的卡车辆，则需要满足的不等式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出不等式，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解析】由题意可得， ， 故选． 45．（2024春•东城区期末）语句“的三分之一与的和是非负数”可以列不等式表示为 　　． 【答案】 【分析】先根据“的三分之一与的和”列代数式，再根据“非负数是大于等于0”列不等式即可得答案． 【解析】 “的三分之一与的和”表示为， “的三分之一与的和是非负数”可以表示为． 故答案为：． 46．（2024春•交口县期末） 2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能至少获利，设这批“国潮”年货礼盒每盒的标价是元，则可列不等式 　　． 【答案】． 【分析】利用销售利润售价进价，结合至少获利，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【解析】根据题意得：． 故答案为：． 47．（2024•二道区校级模拟）某校规定期中考试成绩的和期末考试成绩的的和作为学生成绩总成绩．该校李红同学期中数学考了85分，她希望自己学期总成绩不低于90分，她在期末考试中数学至少应得多少分？设她在期末应考分，可列不等式为　　． 【答案】 【分析】设她在期末应考分，则总成绩为：期中成绩期末成绩，根据总成绩不低于90分，列方程． 【解析】设她在期末应考分， 由题意得，． 故答案为：． 48．（2024春•和平区校级期末）2022年卡塔尔世界杯正如火如荼地进行着，其小组赛赛制为：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某强队想要在小组赛中确保出线，就必须在3场中保持不败并且积分不少于7分，则该队至少胜多少场？设该队胜场，则列出的不等式为 　　． 【答案】． 【分析】由该队胜场，可得出该队平场，利用积分胜的场数平的场数，结合积分不少于7分，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【解析】设该队胜场，则平场， 根据题意得：． 故答案为：． 题型五 一元一次不等式的应用 49．（2024春•营口期末）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润不能少于，则最多可打　　 A．7折 B．8.5折 C．8.8折 D．9折 【答案】 【分析】设该商品打折出售，利用利润售价进价，结合利润不能少于，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解析】设该商品打折出售， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为8.8， 即最多可打8.8折． 故选． 50．（2024春•东方校级月考）某工程队计划在10天内修路，施工前2天修完后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设以后几天内平均每天修路 ，利用工作总量工作效率工作时间，结合准备提前2天完成修路任务，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解析】设以后几天内平均每天修路 ， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为0.8， 即以后几天内平均每天至少要修路． 故选． 51．（2024春•龙华区校级期中）某批电子产品的进价为200元件，售价为350元件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价　　 A．120元 B．132.5元 C．140元 D．142.5元 【答案】 【分析】设这批电子产品降价元，根据题意得，求解即可得到答案． 【解析】设这批电子产品降价元． 根据题意得， ， 解得， 所以，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价140元． 故选． 52．（2024春•阳谷县期中）某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品　　 A．10件 B．11件 C．12件 D．13件 【答案】 【分析】设小颖可以购买件该商品，利用总价单价数量，结合总价不超过44元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【解析】设小颖可以购买件该商品， 依题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为12， 小颖最多可以购买该商品12件． 故选． 53．（2024春•怀宁县期末）5月27日，怀宁县举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，怀宁县将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是　　 A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】 【分析】设要得奖应选对道题，则不选或错选道题，根据“得分不低于80分才能得奖”即可列出不等式，求解后结合为整数即可解答． 【解析】设要得奖应选对道题， 根据题意得， 解得， 为整数， ， 要得奖至少应选对18道题． 故选． 54．（2024春•青羊区校级期中）某电器商场促销，海尔某型号冰箱的售价是2500元，进价是1800元，商场为保证利润率不低于，则海尔该型号冰箱最多降价 　610　元． 【答案】610 【分析】直接利用利润率利润进价，进而得出不等式求出答案． 【解析】设海尔该型号冰箱降价元，根据题意可得： ， 解得：， 答：海尔该型号冰箱最多降价610元． 故答案为：610． 55．（2023秋•洪江市期末）某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元台、2000元台． （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？ （2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？ 【分析】（1）设该公司购进甲型显示器台，则购进乙型显示器台，根据两种显示器的总价不超过77000元建立不等式，求出其解即可； （2）由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式与（1）的结论构成不等式组，求出其解即可． 【解析】（1）设该公司购进甲型显示器台，则购进乙型显示器台， 由题意，得： 解得：． 该公司至少购进甲型显示器23台． （2）依题意可列不等式：， 解得：． ． 为整数， ，24，25． 购买方案有： ①甲型显示器23台，乙型显示器27台； ②甲型显示器24台，乙型显示器26台； ③甲型显示器25台，乙型显示器25台． 56．（2024春•涿州市期末）某户外鞋零售店采购员计划到鞋厂批发购进旅游鞋和登山鞋共100双，付款总额不得超过11800元，已知两种鞋的批发价和商场的零售价如表，请你解答下列问题： 品名 厂家批发价（元双） 商场零售价（元双） 旅游鞋 130 160 登山鞋 100 120 （1）该采购员最多可购进旅游鞋多少双？ （2）若该鞋店把100双鞋全部售出，为使鞋店的利润不低于2580元，采购员有哪几种采购方案，哪种方案鞋店盈利最多？ 【分析】（1）设该采购员购进旅游鞋双，则购进登山鞋双，利用进货总价进货单价购进数量，结合进货总价不得超过11800元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （2）利用总利润每双旅游鞋的销售利润购进旅游鞋的数量每双登山鞋的销售利润购进登山鞋的数量，结合总利润不低于2580元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合且为正整数，可得出各采购方案，再求出选择各方案鞋店的总利润，比较后即可得出结论． 【解析】（1）设该采购员购进旅游鞋双，则购进登山鞋双， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为60． 答：该采购员最多可购进旅游鞋60双； （2）根据题意得：， 解得：， 又，且为正整数， 可以为58，59，60， 采购员共有3种采购方案， 方案1：购进旅游鞋58双，登山鞋42双； 方案2：购进旅游鞋59双，登山鞋41双； 方案3：购进旅游鞋60双，登山鞋40双． 选择方案1鞋店盈利（元； 选择方案2鞋店盈利（元； 选择方案3鞋店盈利（元． ， 方案3鞋店盈利最多． 答：采购员共有3种采购方案，方案1：购进旅游鞋58双，登山鞋42双；方案2：购进旅游鞋59双，登山鞋41双；方案3：购进旅游鞋60双，登山鞋40双，方案3鞋店盈利最多． 57．（2024春•万州区月考）为了提高学生学习英语的兴趣，检测学生词汇掌握情况，万州区某中学举办了“英语词汇竞赛活动”，学校英语组准备给每个获奖学生颁发一种售价为30元个的奖品．由于需要的奖品数量较多，商家给出两种优惠方案，方案一：所有奖品按售价打8折；方案二：免费赠送10个奖品，其余奖品按售价打9折． （1）负责购买奖品的老师发现，按方案一购买奖品比按方案二购买奖品可以节约30元钱，求需要购买多少个奖品？ （2）购买的奖品数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算？ 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【解析】（1）设需要购买个奖品， 由题意可得：， 解得， 答：需要购买100个奖品； （2）设购买奖品个， 由题意可得：， 解得， 答：当购买的奖品数量大于90时，按方案一购买比按方案二购买要划算． 58．（2024春•平罗县期末）每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息如下 ①快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其它； ②快餐总质量为400克； ③脂肪所占的百分比为； ④碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍．根据此信息，解答下列问题： （1）求这份快餐中所含脂肪质量； （2）若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； （3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 【分析】（1）快餐中所含脂肪质量快餐总质量脂肪所占百分比； （2）根据这份快餐总质量为400克，根据其百分含量求得碳水化合物的质量，易得蛋白质的质量； （3）根据这份快餐中脂肪所占百分比的和不高于，列出不等式求解即可． 【解析】（1）（克． 答：这份快餐中所含脂肪质量为20克； （2）由题意，碳水化合物占快餐总质量的， 碳水化合物质量是（克． 又碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍． 蛋白质质量为． 答：所含蛋白质质量为40克； （3）设所含蛋白质质量为克，则碳水化合物的质量为克， ， 所含碳水化合物质量的最大值为272克． 59．（2024春•玉溪期末）油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中，汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油．某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下： 油电混动汽车 普通汽车 购买价格（元 113800 98800 每百公里燃油成本（元 45 60 某家庭计划购入一辆上述品牌的汽车，估算用车成本只考虑车价和燃油成本． （1）若该家庭预计使用这一品牌的汽车行驶的总公里数为80000公里，估算选择普通汽车的用车成本； （2）要使油电混动汽车的用车成本不高于普通汽车的用车成本，预计行驶的公里数至少为多少公里？ 【分析】（1）利用选择普通汽车的用车成本车价每百公里燃油成本，即可估算出选择普通汽车的用车成本； （2）设预计行驶的公里数为公里，根据油电混动汽车的用车成本不高于普通汽车的用车成本，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解析】（1）根据题意得：（元． 答：选择普通汽车的用车成本为146800元； （2）设预计行驶的公里数为公里， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为100000． 答：要使油电混动汽车的用车成本不高于普通汽车的用车成本，行驶的公里数至少为100000公里． 60．（2024春•路桥区期末）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力后的长度记为，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力的大小跟弹簧伸长的长度成正比，即，为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务 （1）①图3中弹簧伸长的长度　　；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度　　；（用含的式子表示） （2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度的最大值是． 任务 （3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务 （4）补全刻度设计方案．将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 　　． 【分析】（1）①②根据弹簧伸长的长度求解即可； （2）根据拉力的大小跟弹簧伸长的长度成正比，即，得出，，结合，即可求解； （3）根据弹簧伸长的长度的最大值是，得出，然后利用不等式的性质求解即可； （4）用最大拉力除以弹簧最大伸长，再乘以0.1即可． 【解析】（1）①图3中弹簧伸长的长度， 故答案为：； ②图4中弹簧伸长的长度， 故答案为：； （2）拉力的大小跟弹簧伸长的长度成正比，即， ，， 又， ， ； （3）弹簧伸长的长度的最大值是， ， ，即， 该弹簧测力计的量程为； （4）， 弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加， 故答案为：0.12． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$