辽宁省本溪市高级中学2024-2025学年高三下学期开学适应性考试数学试题

参考答案 题号 2 4 5 6 8 9 10 答案 D B 9 B 0 B B ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1.D 【详解】A={x2-3x+2<0={x1<x<2},又AsB,B={xx<a;, 所以a≥2， 2.B 【详解】因为抛物线方程y=一x2化为标准形式为x2=4y, 4 所以p=2,则焦点坐标为(0,1). 3.A 【详解】根据题意，AB=(-l,cosa),BC-(2,0),CD=(2,2sina), 则BD=BC+CD=(4,2sina),若A,B,D三点共线，则AB∥BD, 则有4cosa=-2sina,变形可得tana=-2. 4.B 【详解】由题设知a,a。=a,4=aag=a,a,=a,4。,而aa。+a,4,=6,则aa6=a,a,=3 则log3a,+loga2+…+log,ano=log(a,a2…ao)=log,3=5. 5.D 【详解】令P+2=125,则+3=F+2+1 √2+2 Vπ2+2 而函数y=1+在2，+o)上单调递增， x2+3 所以当1=√互，即x=0时， x2+2 取得最小值3巨 2 6.B 【详解】当杯子盛满水时，该杯子中水的高度为hcm,则杯子的容积为 正h32+3x6+6)=21h=252m,可得h=12, 所以该杯子的高度为12+1=13cm. 答案第1页，共11页 7.C 【】因为+ 的二项式系数之和为32，则2=32，解得n=5, 所以二项式为。 因为+ 展开式各项系数和为243， 令x=1,代入可得(a+1)=243=3, 解得a=2, 所以项武为 则该二项式展开式的通项为=C(2广()-2：C，re012345到， 令5-3r=2,解得r=1, 则展开式中x2的系数为24.C,=16×5=80 8.B 【详解】~f行-为奇函数，f行--（子 即f(x-1)=-f(-x-1),两边求导得f(x-)=f(-x-). 则g(x-1)=g(-x-I),可知g(x)关于直线x=-1对称， 又g(2x+1)为奇函数，所以g(2x+1)+g(-2x+1)=0, 即g(x+1)+g(-x+1)=0,可知g(x)关于直线(1,0)对称， 令x=1,可得g2)+g0)=0,即g2)=-g0)= 由g(x-1)=g(-x-1),可得g(x)=g(-x-2), 由g(x+1)+g(-x+1)=0,可得g(x)+g(-x+2)=0,即g(x)=-g(-x+2), 可得g(-x-2)=-g(-x+2),即g(x+4)=-g(x), 答案第2页，共11页 令x=0,可得8()=-80)= 令x=2,可得g(6)=-82)= 且g(x+8)=-g(x+4)=-[-g(x)]=g(x),可知8为g(x)的周期. 可知88+2)-g8+4=88+6-88+8)-2keZ. 所以2e0=0+2s+69+103+4+79=号 9.ACD 【详解】对A,由图可知，∫(x)的最小正周期T=π=石 2则@=2，A正确： 对B,由图象可知号时，函数无意义，故行p-子+：太e乙， 2 由0<p<元，得p=天，即f)=4an2x- 6 r-6B错误： 对C,f(0)=- 45 ,C正确： 对D,由/ 7π (石引-0，则/)的图象关于点径0对称。 =4an66 由图象对称变换可得函数y=/(的图象关于直线x=任对称，D正确。 12 10.ACD 【详解】A选项： a2m1=2an+1 a2m=2a2m-1 →a2m1=4a2m--1, 12 所以{04司是等比数列，公比为4，首项为号 04=包+.4=2-刂，所以选项A正确： B选项：a2=1=a,所以选项B错误： C选项：n为奇数时， 821所41 1=33 a d d2 1-4 D选项：n为偶数时，G=-3m+161-i6_-4n-2-r_(a-2 30m+1 2" 2”22 答案第3页，共11页 22m 22m2 22 11.ABD 【详解】台塔下底面6条棱，上底面3条棱，6条侧棱，共15条棱，故A正确： 台塔表面有1个正六边形，3个正方形，4个正三角形，由所有棱长均为1， 连接CI,因为ACEF且AC=EF,又EFIH且.EF=HⅢ，所以ACHI且AC=H, 所以四边形AC为平行四边形，所以AHCI, AH文平面BIDC,CIc平面BIDC,所以AH∥平面BIDC,故B正确： G D 上底面正三角形ABC在下底面正六边形DEFGHI内的投影为△A'B'C, 则O点是正六边形DEFGHI的中心，也是△A'B'C的中心， G △AB'C和△ODE都是正三角形， 0 D H H C是aODE的中心， 由棱长为1，则EC=5 所以台塔的高CC=√EC-EC 故C错误： 设上底面正三角形A8C的外接圆圆心为Q,则半径行=5 3 下底面正六边形DEFGHI的外接圆圆心为O,则半径5=1， 答案第4页，共11页 设台塔的外接球半径为R,OO,=a, r-r5 解得a=0, 4 所以R=乃=1，台塔的外接球体积V=R'=,故D正确。 12.-16 【详解】回归直线y=2x-9经过(，)， 且490之 2 n 代入回归方程得： v=1+mx2-9=n-8, n 2 即∑y=u-8n=u-42-16y 所以当n=4时， 立y的最小值为-16。 故答案为：-16. 13. 【详解】设A(0,b),B(0,-b),P(x,y), 由题意知P-2,可得Pal=2PA,即、P+U+b=2F+0-b, PAI 整理得+心-学=宁，可得圆心为@学，半径，兰 所以。PB的最大面积为5XD3’醉得6=3，即r 3 3 设Qxy),M(:),则N(-,-y), 则手+至=l,可得听.3a-,同理了=3a- 3 03 则kow=二=中名则-二兰 3a2-x)3a2-x) x-x x+x2 a2 02 一=3 x-x x2- 答案第5页，共11页 整理得。2=1，所以双曲线的方程为x_上 =1 3 14.1,2, 【详解】绳子1的判断：当拉伸绳子1的两个端头时，由于绳子自身的缠绕方式，在拉伸过 程中会形成一个结，可以想象将两个端头慢慢拉开，绳子中间的缠绕部分会收紧形成结： 绳子2的判断：同样，对于绳子2，其缠绕方式使得在拉伸两个端头时，中间部分会因为绳 子的交义缠绕而形成一个结： 绳子3的判断：绳子3在拉伸两个端头时，绳子可以顺利地被拉直，不会出现打结的情况， 因为其缠绕方式并没有形成闭环式的交叉： 绳子4的判断：绳子4拉伸时也能顺利拉直，不会形成结，其交叉部分在拉伸过程中会自然 解开； 根据对每根绳子拉伸过程的想象和判断，会打结的绳子是1、2、 15.(1)k=1 (2)答案见解析 【详解】(1)因为函数f(x)=ln(1-x)+n(1+x), 所以函数定义域为(-1,1)，且函数∫(x)存在一条对称轴，故对称轴为x=0,-2分 所以f(x)=f(-x), --1分 即ln(1-x)+kn(1+x)=ln(1+x)+kn(1-x), 所以1-k)h(-x+(k-）h1+x)=0,故(1-)h-=0, 1+x --1分 当且仅当1-k=0时上式恒成立，故k=1. --1分 a题r古- -2分 当k<0时，有(k+1)-(k-1)=2>0且(k+1)(-1)-(k-1)=-2k>0, 所以'()<0，故f(x)的单调减区间为(-1,1)： -2分 当0时，令re)-0x品l-名-0， k+1 且当时.()>0，当时， ()<0, 所以f(x)的单调增区间为 单调或区间为品小： -2分 答案第6页，共11页 综上，当k<0时，f(x)的单调减区间为(-l,),无增区间； 当>0时，f(x)的单调递增区间为(-l, k-1 单调递减区间为（日 +1 2分 16.1.(0 (2)(i)E(X)=E(X)+5,i≥2：(ii)10 【详解】(1)解：由题意，前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错）， 20（对。40（对。所以甲前3次答题的得分之和为0分的概率为P=2x-子一4分 (2)解：(1D甲第1次答题得分20分，10分的概率分别为；，则E(X)=20×)+10×)=15, 2 2 甲第2次答题得分40分，20分，10分的概率分别为年42 111 则E0)=020x子10 =20, 甲第3次答题得分80分，40分，20,10嗯分的概率分别为。号号 8'8'4'2 则E(x)=80×+40×+20×+10x5=25, 5分 8 8 2 当i≥2时，因为甲第1-1次答题所得分数X,的数学期望为E(X), 所以第1次答对题所得分数为2正(X小，答错题所的分数为10分，其概率为， 所以E(X)=2E(X)小×+10x写X)+5, 可猜想：E(X)=E(X)+5,i≥2. -2分 (i)由(i)知数列{E(X)}是以15为首项，5为公差的等差数列， 根据等差数列的求和公式，可得∑E(X)=15n+-》x5=5n2+25n 2 2 当n=9时， 立E0X)-=315<320,当m=10时，立Ex)=375>320, 所以实数n的最小值为10. -4分 门.0话+3=r*均 (2)存在，12 【详解】（1)由题意设点P心，以.(x≠士2，由于k,=-三。 4 -2+2年整理得女上 故少.y。3 =1, 43 答案第7页，共11页 即「的轨迹方程为上+ 。=1,(x≠t2): .---4分 43 题意知直线AP,BP的斜率分别为，，且满足太红 设直线PA的方程为y=k(x+2),令x=1,则可得y=k(1+2),即C(1,k(t+2),-2分 直线PB:y=k(x-2),同理求得DL,k(t-2), 2分 又直线CH的方程为y-+2列=k-小， 令=0，得++2)号即： -2分 c而-+6-2列-+F- B+63-4_3-6+12, ----3分 16 16 当1=6时， 3-6+12取到最大值12， 16 即HC.HD存在最大值，最大值为12. -2分 18.) 4 (2)证明见解析 (3)存在，CP=2CC 【详解】(1)连接BO,由已知得AO⊥平面ABCD,BO⊥AC, D 答案第8页，共11页 又AOC平面AACC,所以平面AACC⊥平面ABCD, 所以二面角A-AC-B的大小为90°，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°， 所以∠BAC=30°，又AB=2,所以AO=√5， 在R1△440中，c0s∠AA0=40-5=1 4A252' 由三面角余弦定理可得cos∠AAB=cos∠A0cos∠BAC+sin∠AOsin∠BAC cos90° =cos∠440cos∠BAC='x5.5 5分 224 (2》依题意可得0<p≤受设平面BCD内任一条直线为， 若1过A点时，记4C与1的夹角为9(0≤9≤号， 则cosp=cos∠4A0cosg,因为cosg∈[0，」， 所以cosD=cos∠A40cos码≤cos∠A40=cos3' 又0<p≤5，所以臂5p 2 若I不过A点时，过A点作I使得，记AC与I的夹角为g(0≤%号)， 则cosp=cos∠A40cosg,因为cosg∈[0,1， 所以o0osp=0os∠440cos%,≤cos∠410=cos 又0<ps 3 综上可得≤p< 3 2 --5分 (3)以O为坐标原点，以OA,OB，OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 答案第9页，共11页 则(V3,0,0),B(0,10).10,0,3).C(-250,3D(0,-1,0),C(-5,0.0, 则C0=(N5,0,-3,设CP=CC=(50,-3),即P-25+52,0,3-3) 则BP=(-2W5+√5，-1,3-3 设万=(x八，)为平面ACD的法向量， 4C=(-25,0,0）,D4=(0,13), ∫i-4C=-25x=0 ,不妨设z=1,可得=(0，-3,1)， iDA=y+3=0 要使BPIM平面AC,D 则BPn=3+3-31=6-3元=0，则1=2， 即存在点P,在线段CC的延长线上，CP-2C1C 7分 【点睛】关键点点睛：利用空间向量法表示线面平行关系. 9.0x号 (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】(1)当a=3时，f(x)=-3x2+3x, 由题意知：x=-3x+3x,63=-3x+3x, 两式作差得：6-儿4-36+】=0，=名或+名一音 当=5时，与=-3+3，解得：=0或号，又0<<1，= 当+5号时，手5=3+3，解得：号 答案第10页，共11页试卷第 1页，共 6页 2025 届高三阶段测试 数 学 （本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题所给的 4个选项中，有 且只有一个选项是符合题目要求的） 1．已知集合  2 3 2 0 , { }A x x x B x x a     ∣ ∣ ，若 A B ，则实数 a的取值范围是（ ） A． 2a  B． 2a  C． 2a  D． 2a  2．抛物线 2 1 4 y x 的焦点坐标为（ ） A．  1,0 B．  0,1 C． 1 ,0 16       D． 10, 16       3．已知  1,cosAB    ，  2,0BC   ，  2, 2sinCD   ，若A，B，D三点共线，则 tan  （ ）A． 2 B． 1 2  C． 12 D．2 4．等比数列 na 的各项均为正数，且 5 6 4 7 6a a a a  ，则 3 1 3 2 3 10log log loga a a    （ ）． A． 53 B．5 C． 3log 15 D．30 5．已知 xR ，则 2 2 3 2 x x   的最小值为（ ）A．1 B． 2 C．2 D． 3 2 2 6．如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为 1cm，杯内的底部半径为 3cm，当杯子盛满水 时，杯子上端的水面直径为 12cm，且杯子的容积为 3252πcm ，则该杯子的高度为（ ） A．12cm B．13cmC．14cmD．15cm 7．．若 2 1 nax x      的展开式中二项式系数之和为 32，各项系数之和为 243，则展开式中 2x 的 系数是（ ）A．32 B．64 C．80 D．16 8．已知可导函数  f x 的定义域为 , 1 2 xf      R 为奇函数，设  g x 是  f x 的导函数，若 试卷第 2页，共 6页  2 1g x  为奇函数，且   10 2 g  ，则 10 1 (2 ) k kg k   （ ） A． 11 2 B． 11 2  C． 13 2 D． 13 2  二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，满分 18 分） 9．已知函数    4tan ( 0,0 π)f x x        的部分图象如图所示，则（ ） A． 2  B． π 3   C．  f x 的图象与 y轴的交点坐标为 4 30, 3        D．函数  y f x 的图象关于直线 7π 12 x  对称 10．已知数列 na 满足 1 1a  ，  *1 2 cosn na a n n   N， .则下列选项正确的是（ ） A． 2 1 1 3n a       是等比数列 B．数列 na 是单调递增数列 C．若 1 n n b a  ，则 1 3 5 2 1 2nb b b b      D．若 23 16 16 3 1n n n nc a      ，则 2 2 4 6 2 14n n nc c c c      11．约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体（包括 13种阿基米德多面体、无穷多种 侧棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其 中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔、平顶塔，是指在 两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多 面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔．如图是所有棱长均为 1的正三 角台塔 ABC DEFGHI ，则（ ） 试卷第 3页，共 6页 A．该台塔共有 15条棱 B． //AH 平面 BIDC C．该台塔高为 3 3 D．该台塔外接球的体积为 4 π 3 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分） 12．已知一组数据  , ii y （ 1, 2,3, ,i n  ）大致呈线性分布，其回归直线方程为  2 9y x  ， 则 1 n i i y   的最小值为＝ . 13．在平面上给定相异两点 A，B，设点 P在同一平面上且满足 | | | | PA PB  ，当 0  且 1  时， P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿 波罗尼斯圆.现有双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     ， 1 2,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A，B为 双曲线虚轴的上､下端点，动点 P满足 | | 2 | | PB PA  ， PAB 面积的最大值为 4.点 M，N在双曲 线上，且关于原点 O对称，Q是双曲线上一点，直线QM 和QN的斜率满足 3QM QNk k  ， 则双曲线方程是 ； . 14．如果拉伸两个端头，哪一根绳子会打结? . 试卷第 4页，共 6页 四、解答题 15．（满分 13分）已知函数      ln 1 ln 1 , 0f x x k x k     . (1)若函数  f x 存在一条对称轴，求 k的值； (2)求函数  f x 的单调区间. 16．（满分 15分）本溪高中为了丰富学生的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每 位参赛选手答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第 1次答题，答对得 20分，答错得 10分，从第 2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得 10分，选 手甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为 1 2 ，每次答题是否答对互不影响. (1)求甲前 3次答题的得分之和为 70分的概率． (2)记甲第 i次答题所得分数  *iX iN 的数学期望为  iE X ． （ⅰ）求  1E X ，  2E X ，  3E X ，并猜想当 2i  时，  iE X 与  1iE X  之间的关系式； （ⅱ）若   1 320 n i i E X   ，求 n的最小值． 试卷第 5页，共 6页 17．（满分 15分）已知  2,0A  ，  2,0B ， P为平面上的一个动点.设直线 ,AP BP的斜率分 别为 1k ， 2k ，且满足 1 2 3 4 k k   .记 P的轨迹为曲线Γ . (1)求Γ的轨迹方程； (2)直线 PA，PB分别交动直线 x t 于点 ,C D，过点C作 PB的垂线交 x轴于点H .HC HD   是 否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 18．（满分 17分）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维 空间中的三面角余弦定理：如图 1，由射线 PA，PB，PC构成的三面角 P ABC ，记 APC   ， BPC   ， APB   ，二面角 A PC B  的大小为，则 cos cos cos sin sin cos       . 如图 2，四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， ABCD□ 为菱形， 60BAD  ， 1 2 3AA  ， 2AB  ， 且 1A点在底面 ABCD内的射影为 AC的中点O . (1)求 1cos A AB 的值； (2)直线 1AA 与平面 ABCD内任意一条直线夹角为，证明： π π 3 2   ； (3)在直线 1CC 上是否存在点 P，使 //BP 平面 1 1AC D？若存在，求出点 P的位置；若不存在， 说明理由 试卷第 6页，共 6页 19．（满分 17分）模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测､种群数量变化 和天体运动等等.假设在一个模糊数学系统中，用 nx 来表示系统在第  n n N 个时刻的状态 值，且该系统下一时刻的状态 1nx  满足  1n nx f x  ， 10 1x  ，其中   2f x ax ax   . (1)当 3a  时，若满足对 n  N ，有  1n nx f x  ，求 nx ； (2)当 1a  时，判断 nx 中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项； 若不存在，说明理由. (3)若 1 1 2 x  ， 1a  ，记 2 2 1n n nT x x  ，证明： 1 2 3 1 6n T T T T     .