精品解析：海南省临高县新盈中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

临高县新盈中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　） A. （2，﹣3） B. （2，3） C. （﹣3，2） D. （3，2） 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=， 所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 =（1，），或（3，2） 故选D． 2. 已知空间中三个不同的点、、，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的加减运算逐项判断即可. 【详解】由平面向量的加法可知AC选项错误，由平面向量的减法可得，B对D错. 故选：B. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4. 已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（ ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径进行比较来确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆相切. 故选：A 5. 已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 6. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ）. A. B. C. 或 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线开口向左， 依题意，抛物线上的点与点间的距离为3， 所以，抛物线方程为， 令，得，解得， 故选：C 7. 已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】依题意，圆经过点，可设且，半径为， 则，解得，所以圆的方程为. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8. 过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，则， 所以，双曲线的右焦点坐标为， 由题意可知，直线的方程为，联立，解得， 可取、，故. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分． 9. 设a实数，直线，，则（ ） A. 恒过点 B. 若，则或 C. 若，则或0 D. 当时，不经过第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】对于直线方程，如果要找过定点的情况，可以对含参数的式子进行整理.两直线平行则，两直线垂直则.通过这些定理来判断每个选项的正确性. 【详解】将，代入方程左边得. 当时才等于，并不是对任意实数都成立，所以不恒过点. 故A错误. 对于直线和. 因为，根据两直线平行的判定条件， 则， 整理得，解得或. 当时，，，两直线平行； 当时，，，化简为，两直线平行，所以或. 故B正确. 因为，根据两直线垂直的判定条件，则， 整理得. 利用求根公式，所以C错误. 直线， 当时，，即. ，直线不经过第二象限. 当时，，，直线方程变形为， 则，，所以直线不经过第二象限，故D正确. 故选：BD 10. 已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 焦距为5 C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为4 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为， 所以A正确，B、C不正确； 又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点， 不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确. 故选：AD. 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量共面定义判断A，由共面向量定理判断B，由空间向量基本定理判断C，由向量夹角的范围判断D． 【详解】A选项，由于有两个向量共线，则三个向量一定共面，A正确； B选项，中，所以四点共面，B正确； 选项C，向量组是空间的一个基底，即不共面， 若共面，则存在实数，使得，所以，从而， 与向量组是空间的一个基底矛盾，所以不共面，C正确； 选项D，时，是钝角或，D错． 故选：ABC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程，直线斜率为且过点时，直线方程为，代入题中已知即可得出答案. 【详解】已知直线斜率为2且经过点， 由直线点斜式方程得直线的方程为：，即. 故答案为：. 13. 已知向量两两夹角为60°，且，则__________． 【答案】． 【解析】 【分析】由向量模长公式列出算式并计算出结果. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出. 【详解】抛物线的焦点为， 设A，B两点的坐标为和，由题意得直线的方程为， 将直线和抛物线联立，可得， 其中， 则，， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： （1）与直线平行； （2）与直线垂直. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）解方程组求出点的坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解即提. 【小问1详解】 由，解得，即点， 设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程. 【小问2详解】 由（1）知，点，设所求直线方程为， 则，解得， 所以所求方程为. 16. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案. （2）利用空间向量的数量积运算律计算即得. 【小问1详解】 在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点， ， 所以 . 【小问2详解】 正四面体的棱长为1，则， 所以. 17. 已知直线与椭圆相交于不同两点. （1）若，，求椭圆的焦距； （2）求的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）把，代入椭圆方程，由得到的椭圆标准方程求焦距. (2)直线与椭圆联立方程组，消去，得到关于x 的一元二次方程，由，化简得，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由已知得椭圆方程为，所以，， 故，所以焦距为2. 【小问2详解】 联立方程组，消去，得， 直线与椭圆相交于不同两点，所以， 化简得，因为，，所以， 所以的取值范围是. 18. 已知圆的方程为. （1）求过点，且与圆相切的直线的方程； （2）是圆上一动点，点的坐标为.若点为的中点，求动点的轨迹方程. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）考虑切线斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案. （2）设，根据中点坐标公式得到，代入圆方程化简得到答案. 【小问1详解】 当切线斜率不存在时，是圆的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离，解得，故切线方程为， 综上所述：切线方程为：或. 小问2详解】 设，则，即，点在圆上，则， 即. 19. 如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. （1）求的长度； （2）求点D到平面的距离. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，则，利用空间向量垂直的坐标表示列式求解即可； （2）先求出平面的法向量，再利用空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设，由已知可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以.即的长度为6. 【小问2详解】 设平面的法向量为，且， 则有，即，令得， 又， 所以点D到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临高县新盈中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　） A. （2，﹣3） B. （2，3） C. （﹣3，2） D. （3，2） 2. 已知空间中三个不同的点、、，则下列等式成立的是（ ） A B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（ ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 无法确定 5. 已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ）. A. B. C. 或 D. 4或 7. 已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分． 9. 设a为实数，直线，，则（ ） A. 恒过点 B. 若，则或 C. 若，则或0 D. 当时，不经过第二象限 10. 已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 焦距为5 C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为4 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为__________. 13. 已知向量两两夹角60°，且，则__________． 14. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： （1）与直线平行； （2）与直线垂直. 16. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求值. 17. 已知直线与椭圆相交于不同两点. （1）若，，求椭圆的焦距； （2）求的取值范围. 18. 已知圆方程为. （1）求过点，且与圆相切的直线的方程； （2）是圆上一动点，点的坐标为.若点为的中点，求动点的轨迹方程. 19. 如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. （1）求长度； （2）求点D到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$