精品解析：重庆市九龙坡区2024-2025学年高二上学期教学质量全面监测数学试题

2024—2025学年教育质量全面监测（中学） 高二（上）数学试题 （数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分．） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】依据向量垂直的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，，且，所以， 即，解得：. 故选：B 2. 已知直线：，：，若，则与之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的判定列方程求参数，注意验证，再应用平行线的距离公式求距离. 【详解】因为直线：，：，且， 所以，可得，所以，， 所以它们的距离为. 故选：A. 3. 若抛物线（）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点求得抛物线的准线方程. 【详解】椭圆的焦点为， 抛物线（）开口向左，焦点为， 所以准线方程为. 故选：D. 4. 设等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 240 B. 180 C. 120 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的基本量运算，找出和，再根据等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】记等差数列的公差为，由得， 故. 故选：C. 5. 已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理即可得解． 【详解】设，因为，则，整理得. 故选：B． 6. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，第一象限的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为点，若，且点在直线上，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线中的几何意义知，得到焦点，设，由题意得点坐标，再根据点在直线上，由斜率公式求出，得到直线的斜率，进而得倾斜角. 【详解】依题意，得，故， 设，则， ∵，即，解得，即， 则，解得，∴， 故直线的倾斜角为. 故选：C. 7. 已知等比数列的前项和为，且，其中，若在与之间插入5个数，使这7个数组成公差为的等差数列，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用关系可得，结合等比数列定义写出通项公式，进而得，，根据等差数列通项求公差. 【详解】因为，当时，， 两式相减，得，即，故公比为2， 所以，而当时，得， 所以等比数列的通项公式为，， 所以，，所以所求的公差为． 故选：D 8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设， 则切线，即，切线的斜率， 直线的斜率，则，所以. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，直线：，圆：.则下列说法正确的是（ ） A. 若圆关于对称，则 B. 若直线与直线垂直，则点在直线上 C. 直线与圆相交的最短弦长为 D. 圆上有且仅有2个点到直线距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将圆心坐标代入直线方程判断A，利用垂直关系求出直线的方程，将点代入直线方程即可判断B，求出直线恒过点，当时，弦长最短，利用几何法求解弦长即可判断C，求得圆心到直线的距离即可判断D. 【详解】圆：的圆心为，半径为2， 若圆关于对称，则圆心在上，所以，解得，故A错误； 由点，知，若直线与直线垂直，则， 此时：，由知圆心在上，故B正确； 由题意直线的方程可变形整理为， 由解得，则无论为何值，直线过定点， 又因为，所以定点在圆的内部，则直线与圆恒相交， 当截得的弦长最短时，，此时弦长为，故C正确； 由点及得直线方程，即， 因为圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有2个点到直线距离为，故D正确. 故选：BCD 10. 设数列的前项和为，已知，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设得，是首项为3，公比为3的等比数列，即可判断A、B、C选项；应用错位相减法、等比数列前项和，可判断D选项. 【详解】由（），得，又，则， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，故B选项正确； 所以，则，可得，故A选项正确，C选项错误； 由，则 两式相减，得， 所以，，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知过抛物线：的焦点为，为抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，为圆：上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 存在两个点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】直线的方程可设为，与抛物线方程联立可得，，，结合二次函数，利用焦半径求解判断A；转化为，根据点与圆的位置关系及三点共线最短求解可判断B；根据及，进而由基本不等式求的最小值判断C；根据可得，求出线段的中垂线，利用判别式法判断该直线与抛物线的位置关系，即可判断D. 【详解】依题意可设，直线的方程为， 与抛物线方程联立可得， 因为，所以，， 所以，则， 当时，有最小值4，故A正确； 根据可得， 可确定的最小值为，故B错误； 由题意得，由于，故， ， 因为， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为，故C正确； 若，根据可得，则点A在线段的中垂线上， 因为，所以的中点为，， 所以线段的中垂线为，即，联立， 得，其判别式， 所以线段的中垂线与抛物线有两个交点，故存在两个点，使得，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由点到直线的距离公式得， 所以点到直线的距离为. 故答案为： 13. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直三棱柱及条件，建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线线角即得. 【详解】在直三棱柱中，. 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，， 得， ， 因此， 由异面直线与所成角范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列前项的和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设出等差数列的公差，化简题目中的等式，可得答案； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意设等差数列的公差为， 由题意，解得，所以. 【小问2详解】 ， 所以数列的前50项和， 所以. 16. 已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2），其中或 【解析】 【分析】（1）根据实轴长得，利用点到直线的距离结合求解即可； （2）设，，，联立直线l与双曲线的方程，消去y，得，且，得且，由韦达定理，得，从而得，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得解. 【小问1详解】 双曲线的实轴长为，由已知，，则， 因为双曲线：（，）的一条渐近线为， 点到双曲线的渐近线的距离为，所以， 所以，所以，所以双曲线的方程是； 【小问2详解】 易知直线的斜率存在设为，设、、， 联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得． 由且，得且． 由韦达定理，得． 所以，． 由消去k，得． 由且，得或． 所以，点M的轨迹方程为，其中或． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 已知底面，且底面， 所以，因为，，所以， 又，可得为等边三角形， 又为的中点，所以，又，所以， 又，，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由公式求平面与平面夹角的余弦值，最后利用同角三角函数基本关系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，所以， 由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，则， 因为底面，且底面，所以， 由，可得，又，，平面， 所以平面，可知是平面的一个法向量， 又，， 设平面的一个法向量为，则，得， 即，令，得， 设平面与平面的夹角为，， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 18. 已知数列满足，，的前项和为．等差数列满足，，且前项和为． （1）求数列和通项公式； （2）若对，有恒成立，求实数的最小值； （3）设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用数列通项与前项和的关系求出，然后得到为等差数列，求得，再求得、，计算数列的通项公式即可； （2）由参变量分离法可得出，令，分析数列的单调性，求出该数列的最大值，由此可求得实数的取值范围； （3）先求出区间的端点值，然后明确的项为奇数，得到中奇数的个数，得到通项公式，然后求和即可. 【小问1详解】 由题可知，当时，； 当时，得， 因为，两式相减得， 经检验，当时，，则，， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，，等差数列的公差. 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 对，有恒成立，即，即， 令，则， 当且时，，即，可得； 当且时，，即，可得， 所以，数列中的最大项为，则， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）可知，，， 因为，所以为奇数， 故为区间的奇数个数， 显然，为偶数，所以， 所以. 19. 设，分别为椭圆：（）的左，右焦点，且，点在椭圆上，直线与椭圆相交于，两点（，不与椭圆的顶点重合）． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率存在，且以为直径的圆经过原点，求证：直线与圆：相切； （3）若直线过点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）当直线有斜率时，设直线的方程为， 以 为直径的圆经过原点，即， 设 ，所以， 联立方程，得，即， ， 化简得，设到直线距离为，则， 所以直线与圆相切. （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦距得，将点代入椭圆方程结合求解即可； （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据，得，代入化简可得，根据点到直线距离公式即可求证； （3）联立直线与椭圆方程得到韦达定理，根据三点共线可得，即，化简可得为定点，即可利用三角形面积关系得表达式，结合基本不等式求解最值. 【小问1详解】 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为. 由已知，，即，因为点在椭圆上，所以， 又，所以，， 所以，解得（负根舍去），所以， 所以的标准方程是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的方程为，代入椭圆方程，得， 即.设点， 则. 因为点关于轴对称，则.设点， 因为三点共线，则，即， 即，即， 得 所以点为定点，， . 令，则， 当且仅当时取等号，所以的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年教育质量全面监测（中学） 高二（上）数学试题 （数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分．） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 已知直线：，：，若，则与之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 若抛物线（）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 240 B. 180 C. 120 D. 60 5. 已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，第一象限的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为点，若，且点在直线上，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前项和为，且，其中，若在与之间插入5个数，使这7个数组成公差为的等差数列，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，直线：，圆：.则下列说法正确的是（ ） A. 若圆关于对称，则 B. 若直线与直线垂直，则点在直线上 C. 直线与圆相交的最短弦长为 D. 圆上有且仅有2个点到直线距离为 10. 设数列的前项和为，已知，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 11. 已知过抛物线：的焦点为，为抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，为圆：上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 存在两个点，使得 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 点到直线的距离为______． 13. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列前项的和，求. 16. 已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值． 18. 已知数列满足，，的前项和为．等差数列满足，，且前项和为． （1）求数列和通项公式； （2）若对，有恒成立，求实数的最小值； （3）设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前项和． 19. 设，分别为椭圆：（）的左，右焦点，且，点在椭圆上，直线与椭圆相交于，两点（，不与椭圆的顶点重合）． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率存在，且以为直径的圆经过原点，求证：直线与圆：相切； （3）若直线过点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $