精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

重庆八中2024—2025学年度（上）期末考试高一年级 数学试题 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，有且仅有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求得集合和，根据交集的定义即可求解． 【详解】由题可知，，， 所以， 故选：A． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：B 3. 已知是第二象限角且，，则的值为（ ） A. 1 B. －1 C. －2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，求出，再根据求出，再利用两角差的正切公式求得答案. 【详解】因为是第二象限角且，所以 ， 则因为,所以， 所以， 故选：C. 4. 已知扇形的周长为6，则该扇形的面积最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，即可得到，再由扇形面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为， 则，所以，由，可得， 所以扇形的面积为， 当且仅当, 即时，扇形的面积最大此时. 故选：A 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明（，），再由换底公式及对数函数的性质判断即可. 【详解】若，，则，即， 而，， ， 又因为 ，， 所以，， 所以. 故选：B 7. 若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可求出，再由的取值范围求出的取值范围，从而确定左端点的取值范围，即可得到，解得即可. 【详解】函数在区间上单调递增且， 所以，解得， 由，则，则， 所以，解得，即正数的取值范围为. 故选：A 8. 函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，画出函数图象，分类讨论，将题意转化为函数与交点个数问题，根据二次函数性质求解即可. 【详解】当时，的图象如图所示， 则，令，则方程为，， 又，当时，若方程在内有两个不同的解， 只需只有一解，即函数与，只有一个交点， 又函数在上单调递减，所以，即； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，若方程在内有两个不同的解， 只需有两个不同的解， 即函数与，有两个不同的个交点， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，本题的关键是采用换元法，设，将原方程转化为一元二次方程，结合二次函数图象列出不等式，解出即可. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项各函数值符号为正的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据诱导公式，，可判断A；利用诱导公式可判断B；由7为第一象限角可判断C；由诱导公式可得，从而可判断D. 【详解】对于A，， 因为为第四象限角，所以，故A错误； 对于B，， 因为为第二象限角，所以，故B正确； 对于C，，因为为第一象限角，所以，故C错误； 对于D，， 因为为第一象限角，为第一象限角，所以， 故，故D正确； 故选： BD. 10. 已知且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先化简式子得到，应用基本不等式的乘“1”法可判断BD，A直接应用基本不等式即可判断，C转化为二次函数即可判断. 【详解】根据题意: ， ， ，又，， ， 对A，，则， 当且仅当且，即时等号成立，A正确； 对B，， 当且仅当且，即时等号成立，B错误； 对C，由，又， 故，所以，当且仅当时等号成立，C正确； 对D，， 当且仅当且，即时等号成立，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且，，若，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 是奇函数 C. 的图像关于点对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法等并结合函数的奇偶性、对称性以及周期性一一分析即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确. 对于B，，又因为， 所以，所以，所以函数为奇函数， 故B 正确； 对于C，又因为，所以函数的图像关于直线对称, 故C错误; 对于D， 由的对称性与周期性可得， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题选项的关键是利用抽象函数的性质得到其周期性和对称性，对于D选项，利用赋值法得到相关函数值，再利用其对称性和周期性计算即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 若函数的最小正周期为，则常数______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，又因为，解得. 故答案为：. 13. 已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的单调性和对称性，解出不等式即可 【详解】因为，定义域为关于原点对称，， 所以为偶函数，当时，为减函数，为减函数， 所以为减函数，所以在上单调递减， 在上单调递增； 则有不等式等价为, 即有 解得， 故答案为： 14. 已知，函数对任意，使得恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据恒成立，可得或恒成立，然后分和两种情况求出的范围. 【详解】∵， ， ∵恒成立， ∴或恒成立. 当时，或恒成立， ∴只需或. ∵函数， ∴当时，；当时，， 或，或， 又， 或； 当时，， ∴时，恒成立. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为或恒成立，再分和两种情况. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合、集合，以及集合的补集，再根据集合的交集运算和并集运算，即可求出结果； （2）由，得到，按照集合是否为空集分类讨论，即可求出结果. 【小问1详解】 ，解得或，则或， . 又由 ，即，解得，则， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，则有，即； 当时，则有，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. 已知函数，且，，． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数是奇函数，求的值； （3）若，当时函数取得最大值，求的值． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用辅助角公式进行化简，再利用求解即可得到最小正周期；结合正弦函数的单调递增区间，用整体的思想求解即可； （2）先确定的表达式，再由奇偶性列出等式求解即可； （3）当时函数取得最大值，由此可得，代入化简；又，再求出，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，则其最小正周期， 令，解得， 则其单调递增区间为． 【小问2详解】 由（1） 若函数是奇函数，则，即 因为，所以令时，． 【小问3详解】 由题知，则，从而，，因此， 因为，且，所以， 所以， 所以． 17. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，． （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】（1）选择， （2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 【解析】 【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式. （2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 对于，当时，它无意义，所以不合题意； 对于，它显然该函数是个减函数，这与矛盾； 故选择. 根据提供的数据，有，解得， 所以当时，. 【小问2详解】 国道路段长为，所用时间为， 所耗电量为:， 因为，当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 当且仅当，即时等号成立，所以； 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 18. 已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． （1）求，； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值，令可得出的值； （2）判断出函数为上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数为上的减函数； （3）分析可得出，将所求不等式变形为，解得，计算得出，则，再利用函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），即得出原不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. 【小问2详解】 函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 19. 对于函数，，如果是一个三角形的三边长，那么，，也是一个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”．对于函数，，如果是任意的非负实数，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”． （1）判断三个函数“，，（定义域均为）”中，哪些是“保三角形函数”？并说明理由； （2）若函数，（定义域均为），是“恒三角形函数”，试求实数的取值范围； （3）如果函数是定义在上的周期函数，且值域也为，试判断：是“恒三角形函数”，还是“保三角形函数”，或者既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”，并说明理由． 【答案】（1）是“保三角形函数”， 不是“保三角形函数”，理由见解析 （2） （3）既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，当时，可证得，满足定义；当可证得，满足定义；当时，取，可知不满足三角形三边关系，不满足定义； （2）令，将整理为，当时，；当时，；分别在，，三种情况下求得的值域，利用三角形三边关系可得到不等式，解不等式求得结果； （3）通过反例可首先证得函数不为“恒三角形函数”； 设的最小正周期为，令，，其中且，可验证出满足三角形三边关系；通过反例可知不满足三角形三边关系，从而证得函数不为“保三角形函数”，进而得到结论. 【小问1详解】 对于，它在上是增函数， 不妨设， 则 ， 因为，所以，故是“保三角形函数”， 对于，它在上是增函数， 不妨设， 则， 因为，所以，故是“保三角形函数”， 对于，取，显然是一个三角形的三边长，但因为 所以，不是三角形的三边长， 故不是“保三角形函数”. 【小问2详解】 ，易知在单调递增， ， 令，则 ， 当时，，当时，， 当时，恒成立， 符合题意； 当时，故，只需； 当时 ，故 只 需， 综上所述，所求的取值范围是：. 【小问3详解】 ①因为的值域为，∴存在正实数使得， 显然这样的不是一个三角形的三边长， 故不是“恒三角形函数”. ②因为是值域为的周期函数，所以存在，使得设的最小正周期为, 令,,其中且， 则, 又显然所以是一个三角形的三边长， 但因为 所以不是一个三角形的三边长, 故也不是“保三角形函数”. 所以既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”. 【点睛】关键点点睛：函数问题中的新定义问题，涉及到函数单调性、函数值域以及三角形三边关系的应用；解题关键是能够明确新定义的具体要求，结合函数的值域和三角形三边关系得到所需的不等关系，或得到反例，从而使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024—2025学年度（上）期末考试高一年级 数学试题 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，有且仅有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知是第二象限角且，，则的值为（ ） A. 1 B. －1 C. －2 D. 4. 已知扇形的周长为6，则该扇形的面积最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项各函数值符号为正的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，，若，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 是奇函数 C. 的图像关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 若函数的最小正周期为，则常数______． 13. 已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为______． 14. 已知，函数对任意，使得恒成立，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数，且，，． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数是奇函数，求的值； （3）若，当时函数取得最大值，求的值． 17. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，． （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 18. 已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． （1）求，； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 19. 对于函数，，如果是一个三角形的三边长，那么，，也是一个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”．对于函数，，如果是任意的非负实数，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”． （1）判断三个函数“，，（定义域均为）”中，哪些是“保三角形函数”？并说明理由； （2）若函数，（定义域均为），是“恒三角形函数”，试求实数的取值范围； （3）如果函数是定义在上的周期函数，且值域也为，试判断：是“恒三角形函数”，还是“保三角形函数”，或者既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $