专题05 第七章相交线与平行线之单元重难点检测卷（重难点常考题型专练）2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题05 第七章相交线与平行线单元重难点检测卷 （测试时间；100分钟 本卷满分：120分） 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案直接填写在括号中。） 1．（2023-2024七年级下·河北石家庄·期末）下列图形中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023-2024七年级下·天津·期末）已知，直线经过点O且度，则等于（   ） A． B． C．或 D． 3．（2023-2024七年级下·浙江宁波·期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D．与没有数量关系 4．（2023-2024七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，点、分别是、上的点（点在点的右侧），点为线段上的一点（点不与点、重合），点为射线上的一动点，连接，过点作，且恰能使得平分 若，则和的度数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2024-2024七年级上·山东东营·期末）如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A．6 B．8 C．12 D．16 6.（2023-2024七年级下·河北保定·期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（ ） A．7 B．2 C．5 D．6 7．（2023-2024七年级下·江苏常州·期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（   ） A．102° B．108° C．124° D．128° 8．（2023-2024七年级下·重庆云阳·期中）如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2023-2024七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 10．（2023-2024七年级下·浙江温州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ） A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106° 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案直接填写在横线上。） 11．（2023-2024下·浙江金华·期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为 ． 12．（2023-2024七年级下·北京海淀·期中）已知直线与直线相交于点O，，于点O，则 ． 13．（2023-2024七年级·湖南株洲·期末）如图，已知为三角形中边上一点，为边上一点，连接，若，则 ． 14．（2023-2024七年级下·北京·期中）已知直线，垂足为，在内部，，于点，则的度数是 ． 15．（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，平分，，已知，则 度． 16．（2023-2024七年级下·贵州·期中）如果∠，∠两边分别垂直，其中∠比∠的2倍少30°，那么∠＝ ． 17．（2023-2024七年级下·河南新乡·期末）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为 ． 18．（2023-2024七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD= ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，其中第19-20题每小题6分，第21-24题每小题8分，第25题10分，第26题12分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（2023-2024七年级下·吉林松原·期末）已知：如图，直线与相交于点O，是的平分线，如果,求的度数． 20.（2023-2024七年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处，现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点．    （1）请画出平移后的； （2）若连接，，则这两条线段之间的位置关系是______ ，数量关系是______ ； （3）求的面积． 21．（2023-2024七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，已知． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求和的度数． 22．（2023-2024七年级下·甘肃庆阳·期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， （已知），（已作）， ( ． ( )． ， ( )， ， （等量代换）． （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是 ； （3）解决问题：如图③，，，，请求出的度数． 23．（2022-2023七年级下·云南曲靖·期末）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． （1）①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； （2）若，请直接写出与之间的数量关系． 24．（2023-2024七年级·江苏盐城·期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． 25．（2023-2024七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，点P在线段上，，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 26.（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：直线平行直线，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． （1）如图，求证：． （2）如图，以点N为圆心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为圆心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 第七章相交线与平行线单元重难点检测卷 （测试时间；100分钟 本卷满分：120分） 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案直接填写在括号中。） 1．（2023-2024七年级下·河北石家庄·期末）下列图形中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据邻补角、内错角、同位角、对顶角的定义逐一分析解答即可． 【解答】解：、和是邻补角，不一定相等，故选项不符合题意； 、和是内错角，不一定相等，故选项不符合题意； 、和是对顶角，根据对顶角的性质可知，故选项符合题意； 、和是同位角，不一定相等，故选项不符合题意； 故选：． 2．（2023-2024七年级下·天津·期末）已知，直线经过点O且度，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据垂线的定义结合题意，分在的内部时，在的外部时，求解即可． 【解答】解：当在的内部时， ∵，， ∴， ∴． 当在的外部时， ． 故选C． 【点评】本题考查垂线的定义，邻补角互补以及角的和差关系，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 3．（2023-2024七年级下·浙江宁波·期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D．与没有数量关系 【答案】A 【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案． 【解答】解：过C作∥， ∥， ， ，， ， ， ， ， ，    故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题． 4．（2023-2024七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，点、分别是、上的点（点在点的右侧），点为线段上的一点（点不与点、重合），点为射线上的一动点，连接，过点作，且恰能使得平分 若，则和的度数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先证，再根据平行线的性质，角平分线的定义以及平角的定义即可求解． 【解答】解：，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选B． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 5．（2024-2024七年级上·山东东营·期末）如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B． 【分析】本题主要考查了平移的性质、求阴影部分的面积等知识，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．由平移的性质可知，，，进而得出，最后根据面积公式得出答案即可 【解答】解：由平移的性质可知，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6.（2023-2024七年级下·河北保定·期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（ ） A．7 B．2 C．5 D．6 【答案】A． 【分析】根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案． 【解答】解：根据题意可画图如下： ∵，， ∴的最小值为3， 根据题意分类讨论： 当时，射线上不存在满足条件的点； 当时，射线上存在一个点； 当时，射线上存在两个点； 当时，射线上存在一个点； 结合选项时，在射线上只存在一个点， 故选：A． 7．（2023-2024七年级下·江苏常州·期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（   ） A．102° B．108° C．124° D．128° 【答案】A 【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可． 【解答】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE=∠DEF=26°， ∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°， 故选A． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键． 8．（2023-2024七年级下·重庆云阳·期中）如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明，故③错误；设，得到，根据角平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分；故②正确； 延长交于P，延长交于Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵的余角比大， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 设 ， ， ∴ ＋， ∵平分， ∴ ＋， ∵平分， ∴， ∴， ∴＋ ＋＋， ∴ ， ∴，故④错误， 故选：B． 9．（2023-2024七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可． 【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β， ∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C=β-α． （2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β， ∴∠AE2C=α+β． （3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β， ∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C=α-β． （4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°， ∴∠AE4C=360°-α-β． （5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α． 综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④． 故选：D． 【点评】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论． 10．（2023-2024七年级下·浙江温州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ） A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106° 【答案】D． 【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解． 【解答】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵翻折 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②当在下方时，延长、相交于点，如图所示 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵翻折 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案直接填写在横线上。） 11．（2023-2024下·浙江金华·期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】过顶点做直线 支撑平台，直线将分成两个角，根据平行的性质即可求解． 【解答】解：过顶点做直线 支撑平台， 支撑平台工作篮底部， 、， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12．（2023-2024七年级下·北京海淀·期中）已知直线与直线相交于点O，，于点O，则 ． 【答案】或． 【分析】根据题意分两类情况，根据垂直定义可得，然后利用角的和与差可得答案． 【解答】解：分两种情况： 如图， ， ， ， ； 如图， ， ， ． 故答案为：或． 13．（2023-2024七年级·湖南株洲·期末）如图，已知为三角形中边上一点，为边上一点，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】根据内错角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，内错角相等可得，最后根据邻补角的定义进行计算即可． 【解答】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 14．（2023-2024七年级下·北京·期中）已知直线，垂足为，在内部，，于点，则的度数是 ． 【答案】125°或55° 【分析】根据题意画出图形，分两种情况：当点F在射线OM上，当点F′在射线ON上，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 分两种情况： 当点F在射线OM上， ∵AB⊥CD，OF⊥OE， ∴∠AOC＝∠EOF＝90°， ∴∠AOC＋∠COF＝∠EOF＋∠COF， ∴∠AOF＝∠COE， ∵∠COE＝125°， ∴∠AOF＝125°， 当点F′在射线ON上， ∵∠AOF＝125°， ∴∠AOF′＝180°−∠AOF＝55°， 综上所述，∠AOF的度数为125°或55°， 故答案为：125°或55°． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，垂线，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键，同时渗透了数学的分类讨论思想． 15．（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，平分，，已知，则 度． 【答案】． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，．如图所示，连接，过点C作，先根据角平分线的定义和平行线的性质证明，再由平行线的性质证明，同理可得，，由此推出，再由，推出，根据，推出，再由，推出，即． 【解答】解：如图所示，连接，过点C作， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 16．（2023-2024七年级下·贵州·期中）如果∠，∠两边分别垂直，其中∠比∠的2倍少30°，那么∠＝ ． 【答案】或 【分析】分两种情况，当时，当，然后进行计算即可解答， 【解答】解：设为，则， 分两种情况： 当时，如图： ， 解得：， ， 当，如图： ， 解得：， 综上所述：或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了垂线，角的计算，根据题意画出图形，分两种情况讨论是解题的关键． 17．（2023-2024七年级下·河南新乡·期末）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当点，在同侧或异侧时，利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可． 【解答】解：分两种情况讨论： ①如图1，过点，分别作，， ， ． ，． ． 的平分线与的平分线交于点， ，． ， ， 同理可得； ②如图2，过点，分别作，， ， ． ，． ， ． 的平分线与的平分线交于点， ，． ． ，同①可得． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，利用分类讨论的思想求解问题． 18．（2023-2024七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD= ． 【答案】15°或30°或90°． 【分析】根据△ABC的平移过程，分为了点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到∠ACD和∠CDE和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可． 【解答】解：第一种情况：如图，当点E在BC上时，过点C作， ∵△DEF由△ABC平移得到， ∴， ∵，， ∴， ①当∠ACD=2∠CDE时， ∴设∠CDE=x，则∠ACD=2x， ∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x， ∵∠ACD=∠ACG+∠DCG， ∴2x+x=45°，解得：x=15°， ∴∠ACD=2x=30°， ②当∠CDE=2∠ACD时， ∴设∠CDE=x，则∠ACD=x， ∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x， ∵∠ACD=∠ACG+∠DCG， ∴2x+x=45°，解得：x=30°， ∴∠ACD=x=15°， 第二种情况：当点E在△ABC外时，过点C作 ∵△DEF由△ABC平移得到， ∴， ∵，， ∴， ①当∠ACD=2∠CDE时， 设∠CDE=x，则∠ACD=2x， ∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x， ∵∠ACD=∠ACG+∠DCG， ∴2x=x+45°，解得：x=45°， ∴∠ACD=2x=90°， ②当∠CDE=2∠ACD时，由图可知，∠CDE<∠ACD，故不存在这种情况， 综上：∠ACD=15°或30°或90°． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，其中第19-20题每小题6分，第21-24题每小题8分，第25题10分，第26题12分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（2023-2024七年级下·吉林松原·期末）已知：如图，直线与相交于点O，是的平分线，如果,求的度数． 【答案】 【分析】设，则，根据，得出，可得，，，根据角平分线的定义可得，根据平角的定义，由，即可求解． 【解答】解：设，则， 由题意得：， 解得： ， ∴， ∵是的平分线， ∴． ∴ ． 【点评】本题考查几何图形中角度的计算，平角的定义，角平分线的定义，由相关定义构造方程是解题的关键． 20.（2023-2024七年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处，现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点．    （1）请画出平移后的； （2）若连接，，则这两条线段之间的位置关系是______ ，数量关系是______ ； （3）求的面积． 【答案】见解析 【分析】（1）根据平移的性质即可画出平移后的； （2）结合（1）可得这两条线段之间的关系． （3）根据割补法，利用网格即可求的面积． 【解答】（1）如图，即为所求； （2）这两条线段之间的位置关系是平行，数量关系是相等． 故答案为：平行；相等． （3） ， 答：的面积是7． 21．（2023-2024七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，已知． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求和的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2)， 【分析】（1），理由如下：根据平行线的判定，由，得，再根据平行线的性质，得，再根据平行线的判定及性质，垂直的定义即可解答； （2）先根据角平分线的定义，得，再根据平行线的性质及垂直的定义即可求解． 【解答】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ，即， （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定及性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定及性质是本题的关键． 22．（2023-2024七年级下·甘肃庆阳·期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， （已知），（已作）， ( ． ( )． ， ( )， ， （等量代换）． （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是 ； （3）解决问题：如图③，，，，请求出的度数． 【答案】见解析 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质进行选填即可； （2）利用（1）中的方法和两直线平行，同旁内角互补可得到； （3）作，如图③，利用平行线的性质得到，，则，所以，从而得到的度数． 【解答】（1）证明：过点作，如图①， （已知），（辅助线的作法）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （作图）， ，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， 即． 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等． （2）解：作，如图②， ， ， ，， ； 故答案为：． （3）解：作，如图③， ， ， ，， ， ， ． 23．（2022-2023七年级下·云南曲靖·期末）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． （1）①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； （2）若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】见解析 【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分，可得：，再利用垂直得到：，即可证明，平分． （2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可． 【解答】（1）解：①∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设，则， 当点E，F在直线的同侧时，如图： ， ∴，① ，② 令①×3+②×2可得：， 当点E，F在直线的异侧时，如图： ， ∴，① ，② 令②×2-①可得：， 综上所述：或． 24．（2023-2024七年级·江苏盐城·期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． 【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30 【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数． （2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可； （3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间． 【解答】解：（1）∵∠BOE=90°， ∴∠AOE=90°， ∵∠AOC=α＝30°， ∴∠EOC=90°-30°=60°， ∠AOD=180°-30°=150°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°； 故答案为：60，75； （2）当，． 设当射线与射线重合时至少需要t秒， 可得，解得：； 答：当射线与射线重合时至少需要秒； （3）设射线转动的时间为t秒， 由题意得：或或或， 解得：或12或21或30． 答：射线转动的时间为3或12或21或30秒． 【点评】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论． 25．（2023-2024七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，点P在线段上，，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 【答案】(1)65° (2)当在的上方时，∠2＝∠1+∠APB，当在线段上时，；当在的下方时， 【分析】（1）过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论； （2）分三种情况讨论：当在的上方时，当在线段上时，由（1）可得：；当在的下方时，过作，依据，可得，再利用平行线的性质可得结论． 【解答】（1）证明：如图，过点作， ∵， ∴， ，． 又， ∵，， ∴； （2）解：． 理由如下：当在的上方时，如图，过作， ∵， ∴， ，， ， ． 当在线段上时，由（1）可得：； 当在的下方时，如图，过作， ∵， ∴， ，， ， ． 【点评】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 26.（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：直线平行直线，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． （1）如图，求证：． （2）如图，以点N为圆心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为圆心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数． 【答案】见解析 【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质，结合，即可得出结论； （2），得到，推出，，得到，推出，设，推出，，根据，求解即可； （3）分点在直线的上方和下方，两种情况进行讨论求解． 【解答】（1）证明：过点作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 设：，则：， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当点在下方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 过点作，则：， ∴， ∴； ②当点在上方时，如图： 同理可得：， 过点作，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$