专题03 平行线中几种常用的辅助线（压轴题常考题型专练）2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题03 平行线中几种常用的辅助线 （压轴题常考题型专练） 【知识考点 相交线与平行线】 【题型梳理】 【题型1】平行线中的四种辅助线经典模型 【题型2】平行线中的常用辅助线1：过拐点作平行线 【题型3】平行线中的常用辅助线2：连接两点 【题型4】平行线中的常用辅助线3：延长线段使相交 【题型5】平行线中的常用辅助线4：其他情形 【题型1】 平行线中的四种辅助线经典模型 【模型1 “铅笔型”】 1．（2023-2024七年级下·广东东莞·期中）如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝ ； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 2．（2023-2024七年级下·浙江·期末）已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点． （1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明 （3）当满足，且，分别平分和， ①若，则__________°． ②猜想与的数量关系．（直接写出结论） 【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF 【分析】（1）由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为：； （2）当点在的右侧时，，，满足数量关系为：； （3）①若当点在的左侧时，；当点在的右侧时，可求得； ②结合①可得，由，得出；可得，由，得出． 【解答】解：（1）如图1，过点作， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为：； 过点作， ， ， ， ， ， ； （3）①如图3，若当点在的左侧时， ， ， ，分别平分和， ，， ； 如图4，当点在的右侧时， ， ， ； 故答案为：或30； ②由①可知：， ； ， ． 综合以上可得与的数量关系为：或． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． 【模型2 “猪蹄型”（含锯齿型）】 3．（2023-2024七年级·辽宁鞍山·期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示） 【答案】 【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出 ，由即可得出答案． 【解答】解：如图，过点E作，则， ， ∴，， 又∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴ ， ， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义． 4．（2023-2024七年级下·广东河源·期中）已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问，，有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1) (2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时，． 【分析】（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论； （2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论． 【解答】（1）解：． 过点作，如图1所示． ，， ， ，， ， ． （2）解：结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，． ①当点在直线上方时，如图2所示．过点作． ，， ， ，， ， ． ②当点在直线下方时，如图3所示．过点作． ，， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键． 【模型3 “鸡翅型”】 5．（2023-2024七年级下·湖南株洲·期末）①如图1， ，则；②如图2， ，则；③如图3， ，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【解答】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 6．（2023-2024七年级下·浙江·期末）已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105° 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°； （2）①如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG=90°， ∴∠ABD+∠ABG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥DM， ∴∠C=∠CBG， ∠ABD=∠C； ②如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）知∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β， 则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG， ∠GBF=∠AFB=β， ∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2α+β+3α+3α+β=180°， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α=90°， ∴α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 【模型4 “骨折型”】 7．（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ． （3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°． 【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； （3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解． 【解答】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°， 过点P作PQ∥AB， ∴∠A=∠APQ=50°， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°， ∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°； （2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， 如图，作PQ∥AB， ∴∠PAB=∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP， ∵∠APD=∠APQ-∠DPQ， ∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°； ∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)设PD交AN于O，如图， ∵AP⊥PD， ∴∠APO=90°， 由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°， 又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°， ∴∠POA=∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD=∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN=∠PDC， ∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)， 由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， ∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD， ∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC) =180°-(180°+∠APD) =180°-(180°+90°) =45°， 即∠AND=45°． 【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 8．（2023-2024七年级下·山西晋中·期中）综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或 【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案； （2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案； ②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案． 【解答】解：（1）作PQ∥EF，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴； （2）①； 理由如下：如图， 过作交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当点在延长线时，如备用图1： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPC=，∠EPD=， ∴； 当在之间时，如备用图2： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPD=，∠CPE=， ∴． 【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系． 【题型2】平行线中的常用辅助线1：过拐点作平行线 9.（2023-2024七年级下·安徽宿州·期中）如图，直线，在上任选一点E，将一直角三角板直角顶点放在E处，，当，此时的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点G作，根据平行线的性质得出，则，进而得出，即可求解． 【解答】解：如图，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 10.（2023-2024七年级·河南南阳·期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明∶老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图，，E为之间一点，连接得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点E作 则 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图所示，过点E作，过点F作， 则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案； （2）如图所示，过点P作，则，由平行线的性质得到，，推出，再由即可得到． 【解答】（1）解：如图所示，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵ ∴． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 11.（2023-2024七年级·山东青岛·期中）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数． 解：过点M作MN∥AB ∵AB∥CD ∴MN∥CD ∴∠EMN＝∠AEM＝45° ∠FMN＝∠CFM＝25° ∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN ＝45°+25°＝70° 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB． （1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系． 【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题： 在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数． 【答案】（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由见解析；（2）∠OPQ=∠ORQ；【应用拓展】85° 【分析】方法运用：（1）过点P作PEOA，则PEBQ，利用平行线的性质及各角之间的关系即可得出结果； （2）同（1）方法类似，结合图形找出各角之间的关系求解即可； 应用拓展：过点P作PMAB：过点Q作QNAB，利用平行线的性质找出各角之间的关系求解即可． 【解答】方法运用，解：（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由如下， 如图所示，过点P作PEOA，则PEBQ. ∴∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE. ∵∠OPQ=∠OPE+∠QPE ∴∠OPQ=∠AOP+∠BQP； （2）解：∠OPQ=∠ORQ， 理由如下，由（1）得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ， 同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ， ∵入射角等于反射角： ∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR， ∴∠OPQ=∠ORQ； 【应用拓展】如图，过点P作PMAB：过点Q作QNAB， 则ABPMQNCD. ∴∠ABP+∠BPM=180，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180° ∵∠B=125°，∠C=145°， ∴∠BPM=180°-125°=55°，∠CQN=180°-145°=35°， ∵∠PQC=65°， ∴∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°， ∴∠QPM=∠PQN=30°， ∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM=30°+55°=85°． 【点睛】题目主要考查平行性质的性质及辅助线的作法，解决本是的关键是理解题意，作出相应的辅助线． 12．（2022-2023七年级下·云南迪庆·期末）如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)如图，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，求证：是的平分线； (3)如图，在（2）的条件下，点在线段的延长线上，的平分线交于点，若，求的度数．（提示：需添加辅助线求解） 【答案】(1)证明详见解析； (2)证明详见解析； (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质，等角的补角相等，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． （1）利用平行线的性质以及等角的补角相等即可解决问题． （2）只要证明即可． （3）过点作，设，由，可得，设，则，构建方程组即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图中， ， ， ， ， ． （2）如图中， ， ，， ， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）是的平分线， ， 设，则， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即， ． 13．（2023-2024七年级下·浙江杭州·期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 【答案】(1) (2)数量关系：，理由见解析 (3)① ，② 【分析】（1）过点作 ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）过点作 ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （3）①过点作 ，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； ②根据①的结论，利用角的关系解答即可． 【解答】（1）解：过点作 ， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）数量关系：， 证明：过点作 ， ， ， ，， ． （3）①过点作 ， ， ， ，， ． 又平分，平分， ， 由（2）可得 ②，理由如下： ：，，， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答． 【题型3】平行线中的常用辅助线2：连接两点 14．（2023-2024七年级下·浙江·期末）如图，已知，，，，则（   ） A．60° B．80° C．90° D．100° 【答案】C 【分析】连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，得到∠FAB=4x，∠FCD=4x，根据平行线性质得出∠CAB+∠ACD=180°，从而得到x+y=30°，再根据∠AEC=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）得到结果． 【解答】解：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y， ∴∠EAB=3x，∠ECD=3x， ∴∠FAB=4x，∠FCD=4x， ∵AB∥CD， ∴∠CAB+∠ACD=180°， ∵∠AFC=120°， ∴∠FAC+∠FCA=180°-120°=60°， ∴∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FCD=180°，即60+4x+4y=180°， 解得：x+y=30°， ∴∠AEC =180°-（∠EAC+∠ECA） =180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC） =180°-（x+y+60°） =90° 故选C． 【点评】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是注意整体思想的运用． 15．（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，平分，，已知，则 度． 【答案】115 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，．如图所示，连接，过点C作，先根据角平分线的定义和平行线的性质证明，再由平行线的性质证明，同理可得，，由此推出，再由，推出，根据，推出，再由，推出，即． 【解答】解：如图所示，连接，过点C作， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 16.（2023-2024七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，、分别平分、． ； 如图，将改为折线，、分别平分、，其余条件不变，若，求的度数：并进一步猜想与之间的数量关系． 【答案】解：；（2）猜想：75度 ． 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论； 连接，先根据求出的度数，再由平行线的性质得出的度数，由角平分线的性质得出的度数，根据即可得出结论． 【解答】解：， ， 、分别平分、， ， ． 故答案为：； 连接， ， ， ， ， 、分别平分、， ，， ， ． 猜想：．  17.（2023-2024七年级下·浙江绍兴·期末）已知：如图，， 求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据已知，得出，根据平行线的性质得到，再根据得出，进而得出即可得出答案． 【解答】证明：连接． ， ， ， ， ， ，即． 18．（2023-2024七年级·四川眉山·期末）已知，直线，． (1)如图1，点在上，与交于点，若，则 ______； (2)如图2，点在与之间，与交于点，与交于点，且的平分线与的平分线交于点． ①若，求（用含的式子表示）； ②求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线，是解此题的关键． （1）根据平行线的性质和互余解答即可； （2）①过作，连接，利用平行线的性质解答即可；②过作，利用平行线的性质解答即可． 【解答】（1）解：，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图，过作，连接， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，过作， ， ， ， ，， ， 过作， ， ， ，， 平分，平分， ，， ． 【题型4】平行线中的常用辅助线3：延长线段使相交 19．（2023-2024七年级下·广东深圳·期中）如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明，故③错误；设，得到，根据角平分线的性质即可得到结论． 【解答】∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分；故②正确； 延长交于P，延长交于Q，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵的余角比大， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 设 ， ， ∴ ＋， ∵平分， ∴ ＋， ∵平分， ∴， ∴， ∴＋ ＋＋， ∴ ， ∴，故④错误， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键． 20．（2023-2024七年级下·山东临沂·期中）如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号)． 【答案】①③④ 【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的性质可判断②，如图，延长EG交AB于K, 先求解∠KEG=45°, 从而可判断③④，于是可得答案． 【解答】解：由题意得： ∠GEF=60°,∠GFE=30°,∠EGF=90°=∠MPN,∠PMN=∠PNM=45°, ∴∠MPG=∠EGP=90°, ∴EGPM, 故①符合题意； ∵∠EFG=30°, ∴∠EFN=180°−30°=150°, 故②不符合题意； 如图，延长FG交AB于K,    ∵ABCD, ∴∠GKE=∠PNM=45°, ∴∠KEG=90°−45°=45°, ∴∠BEF=180°−45°−60°=75°, ∠AEG=∠PMN=45°, 故③④符合题意； 综上：符合题意的有①③④ 故答案为：①③④． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角板中角度计算问题，掌握以上基础知识是解本题的关键． 21.（2023-2024七年级·湖南湘西·期末）问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中．点在同一直线上，点在同一直线上，且． (1)与平行吗？理由是什么？ (2)求证： （提示：延长交于点） 【答案】(1)平行；理由见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键， （1）根据平行线的判定即可证明； （2）根据平行线的性质即可证明． 【解答】（1）答：平行； ， ， ， ， ； （2）延长交于点， ， ， ， ， ， ， ． 22．（2023-2024七年级·重庆九龙坡·开学考试）如图1，，点、分别在、上，点在直线、之间，且．    (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图1，过点作，利用两直线平行，同旁内角互补的性质分别求得，，再根据，即可求出的值； （2）如图2，过点作，过点作，利用两直线平行，内错角相等的性质，得到，再根据角平分线的性质，得到，，进而可求出的值； （3）如图3，设直线交于点，与相交于点，由得到，根据三角形外角与内角关系得到，进而得到，再由三角形外角与内角关系求得，即可得到与的关系，即，再由题意可求得，，然后由，化简可得方程，求解即可． 【解答】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，， ，， ，， ． （2）解：如图2，过点作，过点作， ， ， ，，， ， 平分，平分， ，， 又由（1）得， ． （3）解：如图3，设直线交于点，与相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ，在内，， ， ， ， ， ， 即， ， 解得．    【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键． 23.（2023-2024七年级下·山西忻州·期末）如图1，，点E为直线AB，CD外一点． (1)若，，求出∠E的度数． (2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若，EF平分，，求的度数： (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作交CD于点I．当FH平分时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先延长BA，则易得，然后由两直线平行，同位角相等，即可证得：∠E+∠C=90°； （2）过点E作，易证， 再根据平行公理的推论可得，再证得，进一步证明，即可得出∠BEF； （3）根据平行线的性质得出∠HIF=∠BFI=∠B，根据三角形外角的性质得出∠CHF=∠IFG+∠HIF，然后根据已知条件和三角形外角定理即可求得∠CHF=∠BFE+∠B=（180°-∠BEF-∠B）+∠B=（180°-45°-∠B）+∠B=67.5°． 【解答】（1）解：延长BA交CE于点M， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴； （2）如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵EF平分， ∴， ∴； （3）∵∠CHF=∠IFH+∠HIF，∠IFH=∠IFG， ∴∠CHF=∠IFG+∠HIF， ∵ABCD，FIBE.， ∴∠HIF=∠BFI=∠B， ∴∠IFG=∠BFG-∠B， ∴∠CHF=∠IFG+∠HIF=（∠BFG-∠B）+∠B=∠BFG+∠B ∵∠BFG=∠BFE， ∴∠CHF=∠BFE+∠B =（180°-∠BEF-∠B）+∠B =（180°-45°-∠B）+∠B =67.5° ∴． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【题型5】平行线中的常用辅助线4：其他情形 24．（2023-2024七年级下·广西南宁·期中）问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为 °； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】见解析 【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【解答】解：小明的思路：如图2，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：110； （1），理由如下： 如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图6，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图7，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 25.（2023-2024七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线，直线和直线分别交于两点，点分别在直线上，点在直线上，连接． (1)猜想：如图1，若点在线段上，，，则_____________； (2)探究：如图1，若点在线段上，写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)拓展：如图2，若点在射线上或在射线上时，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点作，可得，根据两直线平行，内错角相等可得，，由此即可求解； （2）证明方法同（1）； （3）根据点的不同位置，分类讨论，①如图2，当点在射线上时，过点作；②如图3，当点在射线上时，过点作；根据平行性的性质，图形结合分析，即可求解． 【解答】（1）解：如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即． （3）解：或，理由如下： ①如图2，当点在射线上时，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； ②如图3，当点在射线上时，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； 综上所述，或． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 26．（2023-2024七年级下·湖北黄冈·期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线， （1）求证：： （2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ． 【答案】见解析 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【解答】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27.（2023-2024七年级下·浙江·期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E． （1）如图1，求证：HG⊥HE； （2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME； （3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）40° 【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可； （3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FED， ∵∠AGH＝∠FED， ∴∠AFE＝∠AGH， ∴EF∥GH， ∴∠FEH+∠H＝180°， ∵FE⊥HE， ∴∠FEH＝90°， ∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°， ∴HG⊥HE； （2）过点M作MQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴MQ∥CD， 过点H作HP∥AB， ∵AB∥CD， ∴HP∥CD， ∵GM平分∠HGB， ∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH， ∵EM平分∠HED， ∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED， ∵MQ∥AB， ∴∠BGM＝∠GMQ， ∵MQ∥CD， ∴∠QME＝∠MED， ∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED， ∵HP∥AB， ∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM， ∵HP∥CD， ∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED， ∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED）， ∴∠GHE＝∠2GME； （3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB， 由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x， 由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x， ∵∠AFE+∠BFE＝180°， ∴∠AFE＝180°﹣10x， ∵FK平分∠AFE， ∴∠AFK＝∠KFE＝ ∠AFE， 即， 解得：x＝5°， ∴∠BGH＝10x＝50°， ∵HP∥AB，HP∥CD， ∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED， ∵∠GHE＝90°， ∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°， ∴∠HED＝40°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键． 28．（2023-2024七年级下·广东韶关·期中）如图1，点、分别在直线、上，，. （1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明） （2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系； （3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数． 【答案】见解析 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可； （2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到，结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论； （3）分当在直线下方和当在直线上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可． 【解答】解：（1）如图1，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）延长交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （3）当在直线下方时，如图，设射线交于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得：． 当在直线上方时，如图，同理可证得， 则有， 解得：． 综上，故答案为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行线中几种常用的辅助线 （压轴题常考题型专练） 【知识考点 相交线与平行线】 【题型梳理】 【题型1】平行线中的四种辅助线经典模型 【题型2】平行线中的常用辅助线1：过拐点作平行线 【题型3】平行线中的常用辅助线2：连接两点 【题型4】平行线中的常用辅助线3：延长线段使相交 【题型5】平行线中的常用辅助线4：其他情形 【题型1】 平行线中的四种辅助线经典模型 【模型1 “铅笔型”】 1．（2023-2024七年级下·广东东莞·期中）如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝ ； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ． 2．（2023-2024七年级下·浙江·期末）已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点． （1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明 （3）当满足，且，分别平分和， ①若，则__________°． ②猜想与的数量关系．（直接写出结论） 【模型2 “猪蹄型”（含锯齿型）】 3．（2023-2024七年级·辽宁鞍山·期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示） 4．（2023-2024七年级下·广东河源·期中）已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问，，有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【模型3 “鸡翅型”】 5．（2023-2024七年级下·湖南株洲·期末）①如图1， ，则；②如图2， ，则；③如图3， ，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023-2024七年级下·浙江·期末）已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 【模型4 “骨折型”】 7．（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ． （3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 8．（2023-2024七年级下·山西晋中·期中）综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【题型2】平行线中的常用辅助线1：过拐点作平行线 9.（2023-2024七年级下·安徽宿州·期中）如图，直线，在上任选一点E，将一直角三角板直角顶点放在E处，，当，此时的大小是（   ） A． B． C． D． 10.（2023-2024七年级·河南南阳·期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明∶老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图，，E为之间一点，连接得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点E作 则 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，，若，求的度数． 11.（2023-2024七年级·山东青岛·期中）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数． 解：过点M作MN∥AB ∵AB∥CD ∴MN∥CD ∴∠EMN＝∠AEM＝45° ∠FMN＝∠CFM＝25° ∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN ＝45°+25°＝70° 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB． （1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系． 【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题： 在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数． 12．（2022-2023七年级下·云南迪庆·期末）如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)如图，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，求证：是的平分线； (3)如图，在（2）的条件下，点在线段的延长线上，的平分线交于点，若，求的度数．（提示：需添加辅助线求解） 13．（2023-2024七年级下·浙江杭州·期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 【题型3】平行线中的常用辅助线2：连接两点 14．（2023-2024七年级下·浙江·期末）如图，已知，，，，则（   ） A．60° B．80° C．90° D．100° 15．（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，平分，，已知，则 度． 16.（2023-2024七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，、分别平分、． ； 如图，将改为折线，、分别平分、，其余条件不变，若，求的度数：并进一步猜想与之间的数量关系． 17.（2023-2024七年级下·浙江绍兴·期末）已知：如图，， 求证：． 18．（2023-2024七年级·四川眉山·期末）已知，直线，． (1)如图1，点在上，与交于点，若，则 ______； (2)如图2，点在与之间，与交于点，与交于点，且的平分线与的平分线交于点． ①若，求（用含的式子表示）； ②求的度数． 【题型4】平行线中的常用辅助线3：延长线段使相交 19．（2023-2024七年级下·广东深圳·期中）如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2023-2024七年级下·山东临沂·期中）如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号)． 21.（2023-2024七年级·湖南湘西·期末）问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中．点在同一直线上，点在同一直线上，且． (1)与平行吗？理由是什么？ (2)求证： （提示：延长交于点） 22．（2023-2024七年级·重庆九龙坡·开学考试）如图1，，点、分别在、上，点在直线、之间，且．    (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值． 23.（2023-2024七年级下·山西忻州·期末）如图1，，点E为直线AB，CD外一点． (1)若，，求出∠E的度数． (2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若，EF平分，，求的度数： (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作交CD于点I．当FH平分时，请直接写出的度数． 【题型5】平行线中的常用辅助线4：其他情形 24．（2023-2024七年级下·广西南宁·期中）问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为 °； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 25.（2023-2024七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线，直线和直线分别交于两点，点分别在直线上，点在直线上，连接． (1)猜想：如图1，若点在线段上，，，则_____________； (2)探究：如图1，若点在线段上，写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)拓展：如图2，若点在射线上或在射线上时，写出，，之间的数量关系并说明理由． 26．（2023-2024七年级下·湖北黄冈·期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线， （1）求证：： （2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ． 27.（2023-2024七年级下·浙江·期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E． （1）如图1，求证：HG⊥HE； （2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME； （3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数． 28．（2023-2024七年级下·广东韶关·期中）如图1，点、分别在直线、上，，. （1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明） （2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系； （3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$