专题01第七章相交线与平行线之单元重难点专项提升（重难点常考题型专练）2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题01 第七章相交线与平行线单元重难点专项提升 （重难点常考题型专练） 【知识考点 相交线与平行线】 【解题知识清单】 1.相交线 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线. 2.邻补角的定义及性质 定义：有一个公共顶点和一条公共边，另一条边互为反向延长线，这样的两个角叫作邻补角。 性质：邻补角互补 3.对顶角的定义及性质 定义：有一个公共顶点且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角 性质：对顶角相等。 4.垂直的定义及性质 定义：如果两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直. （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 5.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. 6.“三线八角”的概念 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角. （2）内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角. 7.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线a与直线b互相平行，记作“a∥b” 8.平面内两直线的位置关系 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行。 9.平行公理及其推论 ① 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. ② 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 10. 平行线的判定 （1）判定方法1: 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. （2）判定方法2: 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. （3）判定方法3: 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 11.平行线的性质 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等. 性质2: 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等. 性质3: 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 12.定义：对一个数学对象的本质特征进行准确的描述，这样的描述称为这个数学对象的定义。 13.命题：可以判断正确与否的陈述语句，叫做命题． （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：被判断为正确（或真）的命题，叫做真命题. 假命题：被判断为错误（或假）的命题，叫做假命题. 14.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 15.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 16.平移的定义 在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移。 17.平移的性质 ① 新图形与原图形的形状和大小完全相同； ② 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 【题型梳理】 【题型01】 邻补角、对顶角的性质理解 【题型02】 垂线的定义、性质及画法 【题型03】 同位角、内错角、同旁内角的理解与识别 【题型04】 与邻补角和对顶角性质有关的计算 【题型05】 与垂直有关的计算 【题型06】 平行公理及平行线的画法 【题型07】 判断所给的条件或添加条件使两直线平行 【题型08】 补充平行线判定和性质的综合推理过程 【题型09】 平行线判定和性质的综合运用 【题型10】 命题与定理 【题型11】 命题的真假判别 【题型12】 平移的性质与作图 【题型13】 平移的实际应用 【题型01】 邻补角、对顶角的性质理解 1.（2023-2024七年级下·湖北荆门·期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角定义进行解答即可． 【解答】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意； B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意； C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意； D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 2.（2023-2024七年级下·辽宁盘锦·期末）在下图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案． 【解答】解：A、与没有公共顶点，不是对顶角，故A选项不合题意； B、与的两边互为反向延长线，是对顶角，故B选项符合题意； C、与没有公共顶点，不是对顶角，故C选项不合题意； D、与两条边不是互为反向延长线，不是对顶角，故D选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了对顶角的定义，对顶角是相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它是在两直线相交的前提下形成的． 3．（2023-2024七年级·重庆荣昌·期末）下列各图中，一定能得出与相等的图形个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，直角的定义，解题的关键是熟练掌握对顶角相等和直角的定义． 【解答】解：图1：根据对顶角相等可得，故图1符合题意； 图2：不能得出，故图2不符合题意； 图3：∵，∴，故图3符合题意； 综上：一定能得出与相等的图形有2个， 故选：C． 4.（2023-2024七年级下·山东临沂·期中）如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 ，用它测量角的原理是 ．    【答案】 对顶角相等 【分析】根据量角器的使用方法，对顶角的性质即可求解． 【解答】解：如图所示，    量角器上， ∵与是对顶角， ∴， 故答案为：，对顶角相等． 【点评】本题主要考查对顶角相等，理解图示，掌握对顶角的性质是解题的关键． 5.（2023-2024七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有________对对顶角，_______对邻补角； (2)如图2，共有________对对顶角，_______对邻补角； (3)如图3，共有________对对顶角，_______对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4)若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角 【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论． 【解答】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角； 故答案为：2，4； （2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角； 故答案为：6，12； （3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角； 故答案为：12，24； （4）解：2条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 3条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 4条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键． 【题型02】 垂线的定义、性质及画法 6.（2023-2024七年级下·广西玉林·期中）下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的 有（ ） ①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角； ②两条直线相交所成的四个角相等； ③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等； ④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据垂线的定义对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，是定义，能判断； ②两条直线相交所成的四个角相等，则四个角都是直角，能判断； ③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等，根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角，能判断； ④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°，根据对顶角相等求出这两个角都是直角，能判断． 所以，四个都能判断两条直线互相垂直． 故选A． 【点评】本题主要考查了垂线的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 7.（2023-2024七年级下·辽宁大连·期末）如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与重合的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂直于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案． 【解答】解：，，垂足为O， 与重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了垂线的性质，正确把握定义是解题关键． 8.（2023-2024七年级下·山东济宁·期中）如图所示，在中，边上高，若点在边上（不含端点）移动，当 时长度最短． 【答案】 【分析】当BP⊥AC时，BP的距离最短，利用面积公式可求得BP的长 【解答】要使BP最短，则当BP⊥AC时，BP的距离最短 ∵ ∴BP= 故答案为: 【点评】本题考查点到直线的垂线段最短这个知识点，解题关键是利用三角形面积相等进行转化求解 9.（2023-2024七年级下·甘肃武威·期末）过点作的垂线． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可； （2）根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可； （3）根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可； （4）延长BA，然后根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可． 【解答】解：使直角三角尺的其中一条直角边与直线AB重合，沿着AB进行平移，使另外一条直角边过点P即可作出垂线，作（1）、（2）、（3）图，如下图所示： （1）； （2）； （3）； （4）延长BA，作法如上图所示： ． 【点评】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键． 10.（2023-2024七年级下·河南许昌·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）． (1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F； (2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是____（用“＜”号连接），理由是______ ． 【答案】(1)图见解析 (2)，，，垂线段最短 【分析】（1）如图，找点，连接，与交点即为，过点作竖直的线，与交点即为； （2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解． 【解答】（1）解：由题意作图如下，是的垂线，是的垂线．    （2）解：线段的长度是点P到的距离，线段的长度是点E到直线OB的距离， 由垂线段最短可知，， 故答案为：，，，垂线段最短． 【点评】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【题型03】 同位角、内错角、同旁内角的理解与识别 11.（2023-2024七年级下·山东日照·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则的同位角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同位角的定义进行判断即可． 【解答】解：由题意，的同位角是， 故选：B． 【点评】本题考查了同位角．解题的关键在于熟练掌握：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角为同位角． 12.（2023-2024七年级下·浙江杭州·期末）如图，与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角的概念进行判断即可． 【解答】解：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角， 则与符合内错角的定义，它们是内错角， 故选：C． 【点评】本题考查内错角的概念，解决本题的关键是熟练掌握内错角的概念． 13.（2023-2024七年级下·山西忻州·期末）如图，与是同旁内角，它们是由（   ） A．直线，被直线所截形成的 B．直线，被直线所截形成的 C．直线，被直线所截形成的 D．直线，被直线所截形成的 【答案】A 【分析】根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角． 【解答】解：与是同旁内角，它们是由直线，被直线所截形成的 故选A． 【点评】本题考查了同旁内角的含义，熟练掌握含义是解题的关键． 14.（2023-2024七年级下·江西抚州·期末）中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如下图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用对顶角、同旁内角、内错角的定义逐个判断即可． 【解答】解：∠1与∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，因此是对顶角，故①正确； 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，因此∠3与∠4是同旁内角，故②正确； ∠5与∠6是邻补角，不是同旁内角，故③错误； 两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫作内错角，因此∠1与∠4是内错角，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故选C． 【点评】本题考查对顶角、同旁内角、内错角的判断，熟练掌握定义是解题的关键． 15.（2023-2024七年级·河南周口·期末）如图所示，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对，则的值是 【答案】6 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义分别得到a，b，c的值，即可求解． 【解答】∵同位角有：∠8与∠4，∠5与∠1，∠7与∠3，∠6与∠2，∠4与∠9，∠7与∠9，共6对；内错角有：∠7与∠1，∠6与∠4，∠5与∠9，∠2与∠9，共4对，同旁内角有：∠7与∠4，∠6与∠1，∠1与∠9，∠6与∠9共4对， ∴a=6，b=4,c=4， ∴=6， 故答案是：6． 【点评】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握它们的定义，是解题的关键． 【题型04】 与邻补角和对顶角性质有关的计算 16.（2023-2024七年级·福建福州·期末）如图，三条直线相交于点．，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义求出，然后利用对顶角相等解答．本题考查垂线定义，余角性质，对顶角性质，掌握垂线定义，余角性质，对顶角性质是解题关键． 【解答】解：如图所示： ∵，， ∴， ∴． 故选B． 17．（2023-2024七年级·重庆南川·期末）如图，直线相交于点，若射线平分，射线平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平角的定义，对顶角的性质等知识，根据角平分线的性质可得，再根据平角的定义可得，根据对顶角的性质即可求解． 【解答】解：射线平分， ， 射线平分， ， ， ， ， ， . 故选：B． 18.（2022-2023七年级·四川凉山·期末）如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义． （1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解； （2）设，则，，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 19.（2023-2024七年级下·广西河池·期末）如图，直线，相交于点O，射线把分成两部分． (1)图中______，______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察图象，根据对顶角和补角的定义找角； （2）设，则，可得，求得，再结合即可求解． 【解答】（1）解：∵直线，相交于点， ∴和是对顶角． ∴， ∵的补角是． ∴， 故答案为：，． （2）∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点评】本题主要考查角的相关定义以及角度的和差倍分，要结合图象找隐藏的角度关系． 20.（2023-2024七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知直线与相交于点O．    (1)如图1，若，平分，则_________． (2)如图2，若，，平分，求的大小 【答案】(1)135° (2)54° 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，然后根据邻补角的定义求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义表示出，再根据列出方程求解，然后求解即可． 【解答】（1）解：，平分， ， ， ， 即的度数为； （2）解： 设，， ， 平分， ， ， ， ， 即的度数为． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键． 【题型05】 与垂直有关的计算 21.（2023-2024七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的值不可能是（   ） A．7 B．8 C．10 D．16 【答案】A 【分析】首先根据等面积法求出PC的最小值，然后根据给出的数据作出判断即可． 【解答】当PC⊥AB时， ∵∠ACB= 90°， ∴ S∆ABC=AC∙BC=AB∙PC， ∵AC=9，BC=12，AB=15， ∴×9×12=×15×PC， 解得PC= 7.2， 根据垂线段的性质可知垂线段最短， ∴PC的最小值7.2． 则线段的值不可能是7． 故选A． 【点评】本题考查了垂线段的性质，垂线段的性质：垂线段最短，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 22.（2023-2024七年级·福建龙岩·期末）一束光线沿射向平静透明的水面，这束光线有一部分经过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线，还有一部分光线折射到水中形成光线．当入射角和折射角满足时，，此时入射光线与水面的夹角的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了垂直的定义、余角的定义、角的和差，先根据反射角等于入射角得出，，再根据垂直的定义得出，然后根据周角为，列出方程求解即可． 【解答】解：根据题意，得， ， 即 故答案为：． 23.（2023-2024七年级·河南南阳·期末）【动手操作】如图，点为直线上一点，过点作射线，使 ．将直角三角板绕点旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可． 【解答】解：∵， ∴． 当在直线的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 当在直线的左侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 【点评】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，数形结合是解答本题的关键． 24.（2023-2024七年级·山西晋城·期末）综合与探究 如图，直线与相交于点，过点作． (1)如图1，，直接写出的度数； (2)如图2，在的内部作射线，且，此时，，求的度数； (3)如图3，在直线的下方作，且，再作平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂直的性质得，由平角的定义得，由，可得的度数； （2）由垂直的性质得，，，由对顶角，等量代换得，由得，等量代换得，由对顶角，得，由，等量代换即可求解； （3）根据角平分线的性质得，，由，等量代换即可求解． 【解答】（1）解：， ， ，， ， 解得； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， 解得， ； （3）解：平分，平分， ，， ， ． 【点评】本题考查了对顶角、垂线、角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是理清角之间的关系． 25.（2023-2024七年级下·云南曲靖·期末）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①的度数为；②见解析； (2)或． 【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分，可得：，再利用垂直得到：，即可证明，平分． （2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可． 【解答】（1）解：①∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设，则， 当点E，F在直线的同侧时，如图： ， ∴，① ，② 令①×3+②×2可得：， 当点E，F在直线的异侧时，如图： ， ∴，① ，② 令①+②×2可得：， 综上所述：或． 【点评】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力． 【题型06】 平行公理及平行线的画法 26.（2023-2024七年级·安徽宿州·期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 【答案】C 【分析】本题考查了平行线，根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案． 【解答】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确； 故选：C． 27.（2023-2024七年级下·江西南昌·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】B 【分析】根据平行公理、点到直线的距离的定义等即可逐一进行判断． 【解答】解；A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故A错误； B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线具有“传递性”，故B正确； C、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．注意点与直线的位置关系是：点在直线外．故C错误； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．故D错误． 故选：B 【点评】本题考查了平行公理、点到直线的距离的定义等知识点．掌握相关结论是解题的关键． 28.（2023-2024七年级·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（   ） ①过点P画与直线l垂直的直线 ②过点P画与直线l相交的直线 ③过点P画与l平行的直线 A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【解答】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 29.（2023-2024七年级·吉林延边·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作． (1)过点作的平行线． (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作平行线．熟练掌握作平行线是解题的关键． （1）过作水平线即可； （2）格点向上2个格点，向左2个格点为，连接即可． 【解答】（1）解：过作水平线，如图1，，即为所作； 图1 （2）解：如图2，格点向上2个格点，向左2个格点为，连接，，点即为所作； 图2 30.（2023-2024七年级下·陕西宝鸡·期中）在如图所示的正方形网格中，点，，，在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题： (1)过点画直线；过点画直线； (2)过点画直线； (3)试判断直线与直线的位置关系． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据网格线的特点作图； （2）根据网格线的特点作图； （3）根据平行线的传递性证明． 【解答】（1）解：如图，，即为所求；    （2）解：如图，即为所求；    （3）解： ，理由如下： ∵， ， ∴． 【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及平行线的判定方法是解题的关键． 【题型07】 判断所给的条件或添加条件使两直线平行 31.（2023-2024七年级下·广东韶关·期中）如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是（   ） ①同位角相等，两直线平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行 A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定进行解答即可． 【解答】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行； ∴依据为①④， 故答案为：C． 【点评】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 32.（2023-2024七年级·四川阿坝·期末）如图，下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次分析并判断． 【解答】解：∵，∴，故A选项不符合题意； ∵，∴，故B选项符合题意； 由，不能证明哪两条直线平行，故C选项不符合题意； 由不能证明哪两条直线平行，故D选项不符合题意； 故选：B． 33．（2023-2024七年级下·河北廊坊·期末）如图，下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各项进行判断即可． 【解答】解：、，根据同位角相等，两直线平行，可判定，故本选项不符合题意； 、如图，    ，， ， ，故本选项不符合题意； 、，不是内错角，故不能判定，本选项错误，故本选项符合题意； 、，是内错角，可以判定出，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键． 34.（2023-2024七年级下·湖北恩施·期末）如图，直线c，d分别与直线a，b相截，在图中已用数字标记的4个角中，能判定的条件有 ． 【答案】∠1＝∠2或∠3+∠4＝180° 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：∠1＝∠2或∠3+∠4＝180°，理由如下： ∵∠1＝∠2，∠2＝∠5， ∴∠1＝∠5， ∴a∥b； ∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠6， ∴∠3+∠6＝180°， ∴a∥b； 故答案为：∠1＝∠2或∠3+∠4＝180°． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线判定定理是解题的关键． 35．（2023-2024七年级·河南南阳·期末）如图，已知，，，要使，则需添加 （只填出一种即可）的条件． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，涉及内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决问题的关键． 【解答】解：， ， 若，则， ； ，， ，则， 若，则， ； 综上所述，添加或或，， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【题型08】 补充平行线判定和性质的综合推理过程 36.（2023-2024七年级下·四川达州·期末）已知：如图，，，，求证：． 证明：，， ， ， 又（已知） ， ， ． 【答案】；；；；；；；两直线平行，内错角相等 【分析】先依据，判定；依据，判定，进而得出 ，再根据平行线的性质，即可得到． 【解答】证明：，， ， ， 又（已知）， ， ， （两直线平行，内错角相等） 故答案为：；；；；；；；两直线平行，内错角相等． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 37．（2023-2024七年级下·湖北武汉·期中）完成下面的证明： 如图所示，，求证：． 证明：过E作， ∵， ∴_____________（_________ ）， ∴_______（_______ ）． ∵（已作）， ∴_______（_______ ）． 又∵______ ， ∴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，过E作，根据平行线的判定与性质求解即可，熟记“平行于同一直线的两直线平行”、“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 【解答】过E作， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已作）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴． 故答案为：；平行于同一直线的两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；． 38.（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：， ______（__________）， ， ______（__________）． 即， ， ， ______， ______（__________）． 又， （__________）． 【答案】，两直线平行，内错角相等；，垂直定义；；，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行 【分析】先根据平行线的性质得到 ，再根据余角的性质得到，再根据平行线的判定及性质即可得到结论． 【解答】证明：， （两直线平行，内错角相等）， ， （垂直定义）， 即． ， ， ， （内错角相等，两直线平行）． 又， （平行于同一直线的两条直线互相平行）． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 39.（2024-2025七年级·山东青岛·期中）如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程： 解：，理由如下：因为， 所以（ ① ） 所以， 所以（ ② ） 所以（ ③ ） 又因为（已知）所以 ④ （等量代换） 所以（ ⑤ ） 【答案】垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直的意义，平行线的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握平行线的判定方法．根据垂直的定义，平行线的判定方法判断出，再利用平行线的性质找到相等的角，最后等量代换利用平行线的判定方法证明即可． 【解答】解：，理由如下：因为， 所以（垂直定义） 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 又因为（已知） 所以（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 40.（2023-2024七年级·福建泉州·期中）请把下列证明过程补充完整． 已知：如图，、、三点在同一直线上，、、三点在同一直线上，，． 求证：． 证明： ，（已知） ________________（________）， ________（________） （已知） ________（等量代换）． （已知） ， 即________ ________ ________（等量代换）， （________）． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先证明，得到，进而得到，再根据，得到，从而得出，即可证明结论．熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 【解答】证明： ，（已知） （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知） （等量代换）． （已知） ， 即， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行． 【题型09】 平行线判定和性质的综合运用 41.（2023-2024七年级·河北沧州·期中）如图，已知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④． 正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，根据得到，判断①正确；根据，，得到③正确；根据， 证明，进行角的代换证明，得到④正确；证明，判断②不正确． 【解答】解： ， ，， 故①正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ， ③正确； ， ， ， ， ， ④正确； ， ，不能判断平分； ②不正确； 故正确的是①③④ 故选：A． 42.（2023-2024七年级下·福建厦门·期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有 ．    【答案】①②③ 【分析】由，，根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数，的度数；又由，即可求得的度数，得到平分，由，即可求得与的度数，得到结论 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴； 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴ 故④错误． 故答案为：①②③ 【点评】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 43.（2023-2024七年级下·广东汕头·期末）如图，、分别交于点M、N．，． (1)吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 【解答】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 44.（2024-2025七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等． 由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出，根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小． 【解答】解：，， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ． 45.（2024七年级下·陕西西安·期末）如图，平分交于点D，点F在的延长线上，点E在线段上，与相交于点G，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若点H在的延长线上，且，且，求． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，推出，根据平行线的性质得出，，推出即可． 【解答】（1）解：．理由如下： ∵，，， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【题型10】 命题与定理 46.（2023-2024七年级下·广东汕头·期末）下列语句中，是命题的是（ ） A．在线段上任取一点 B．对顶角相等 C．过直线外一点作直线，使 D．锐角都相等吗？ 【答案】B 【分析】根据命题的定义进行判断即可． 【解答】解：A．在线段上任取一点，不是命题，故选项不符合题意； B．对顶角相等是命题，故选项符合题意； C．过直线外一点作直线，使，不是命题，故选项不符合题意； D．锐角都相等吗？不是命题，故选项不符合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了命题，熟练掌握“表示判断的语句叫做命题”是解题的关键． 47.（2023-2024七年级·山东潍坊·期末）下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接A ，B 两点；④鸟是动物；⑤不相交的两条直线是平行线；⑥n为任意自然数， 的值都是质数吗？其中不是命题的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可． 【解答】解：①④⑤符合定义，是命题；②③⑥不符合定义，不是命题； 故选：B． 【点评】此题考查了命题的定义：判断一件事情的语句叫命题，正确理解定义是解题的关键． 48.（2023-2024七年级·河南洛阳·期末）命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ） A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】根据命题的概念解答即可． 【解答】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线， 故选：D． 【点评】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 49.（2023-2024七年级下·全国·课时练习）下列说法正确的是（   ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【答案】C 【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误； B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误； C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确； D、定理不可能是假命题，所以本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键． 50.（2023-2024七年级·湖南邵阳·期中）将“互为相反数的两个数之和等于0”写成“如果……那么……”的形式为 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0 【分析】分清命题的题设和结论后，写成“如果……那么……”的形式即可． 【解答】将“互为相反数的两个数之和等于0”写成“如果……那么……”的形式为:如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0， 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0． 【点评】本题考查命题的题设和结论，熟练分析命题，找准题设和结论是解题的关键． 【题型11】 命题的真假判别 51.（2023-2024七年级下·河北廊坊·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．如果，，那么 B．对顶角相等 C．如果一个数能被整除，那么它肯定也能被整除 D．内错角相等 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：、如果，，那么，正确，是真命题，故本选项不符合题意； 、对顶角相等，正确，是真命题，故本选项不符合题意； 、如果一个数能被整除，那么它肯定也能被整除，正确，是真命题，故本选项不符合题意； 、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质． 52.（2023-2024七年级·广东河源·期末）下列命题中，假命题是（   ） A．，，则 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交 【答案】B 【分析】根据平行公理及推论、平行线的判定与性质解答即可得解． 【解答】解：A、根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行，故A为真命题，不符合题意； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故B为假命题，符合题意； C、根据平行公理知，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C为真命题，不符合题意； D、在同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交，故D为真命题，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了平行公理及推论、平行线的判定与性质，熟记平行公理及推论、平行线的判定与性质是解题的关键． 53.（2023-2024七年级·浙江绍兴·期末）下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是（ ） A．9 B．16 C．8 D．4 【答案】D 【分析】根据偶数与倍数的定义对各选项进行验证即可． 【解答】解：A、9不是偶数，故本选项不符合题意； B、16是8的倍数，故本选项不符合题意． C、8是8的倍数，故本选项不符合题意； D、4是偶数但不是8的倍数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了命题的真假和举反例，熟练掌握偶数与倍数的定义是解题的关键． 54.（2023-2024七年级下·辽宁抚顺·期末）命题“如果，那么a、b互为倒数”，这是一个 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据倒数、真命题的定义进行判断作答即可． 【解答】解：“如果，那么a、b互为倒数”，正确，这是一个真命题， 故答案为：真． 【点评】本题考查了倒数，真命题．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 55.（2023-2024七年级下·北京朝阳·期末）可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是 ． 【答案】14（答案不唯一） 【分析】由整除的性质得出是假命题，即可得出结论． 【解答】解：可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m=14， 故答案为：14（答案不唯一）． 【点评】本题考查了命题与定理、真命题与假命题；正确判断真命题与假命题是解决问题的关键． 【题型12】 平移的性质与作图 56．（2023-2024七年级下·浙江温州·期中）第19届亚运会在杭州召开，三个吉样物分别取名“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图．下列选项中是“琮琮”通过平移后得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以再物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的运动，这个点称为物体的转动中心，所以，它并不一定是绕某个轴的，然后根据平移与旋转定义判断即可． 【解答】观察四个图案，可以通过原图平移得到的是C 故选：C 【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小． 57.（2023-2024七年级下·湖南娄底·期末）如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（ ） A． B． C．∠ACB＝∠ D．BC＝ 【答案】C 【分析】根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：∵三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形， ∴，故A正确； ，故B正确； ∠ACB＝∠，故C错误； BC＝，故D正确， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平移的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 58.（2023-2024七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查平移的性质，根据平移性质得到，，然后计算出阴影部分周长为的周长即可求解．利用平移的性质得到，是解答的关键． 【解答】解：∵将沿方向平移，得到， ∴，， ∴阴影部分的周长为 ， 故答案为：11． 59.（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为6． 求图中阴影部分的面积． 【答案】57 【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积的计算，解题的关键是根据平移得出． 【解答】解：将沿点到点的方向平移到的位置， ，，， ∴， ∴， ． 60．（2023-2024七年级下·江苏盐城·期末）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将向左平移格，再向上平移格，得到． (1)请在图中画出平移后的； (2)画出边上的高和边上的中线； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）根据平移变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得； （2）利用网格的特点，根据高线的中线的定义作出图形即可； （3）利用三角形的面积公式计算可得． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：高和中线如图所示； （3）解：的面积为． 【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 【题型13】 平移的实际应用 61．（2023-2024七年级下·河北保定·期末）如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（   ） A．80 B．89 C．98 D．99 【答案】C 【分析】首先把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加． 【解答】解：把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置， 这个垫片的周长：． 答：这个垫片的周长为． 故选：C． 【点评】此题主要考查了生活中的平移，关键是利用平移的方法表示出垫片的周长等于正方形的周长加． 62.（2023-2024七年级下·广东惠州·期中）惠东县某酒店为举办一场新人的婚礼，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米40元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个长方形，长宽分别为5米，3米，∴地毯的长度为(米)， ∴地毯的面积为 (平方米)， ∴买地毯至少需要 (元) 故答案为：640． 【点评】本题考查平移性质的实际运用．解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 63．（2023-2024七年级下·河南安阳·期中）为持续推进儿童友好公园建设，郑州市园林绿化部门计划在2023年新建绿地面积300万平方米以上．如图，在长为103米，宽为60来的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为3米，其他部分计划种植花草，则种植花草的面积为 平方米． 【答案】5700 【分析】可以根据平移的性质，种植花草的面积相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的长方形面积，据此求解即可． 【解答】解：由平移的性质可知，植花草的面积相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的长方形面积， ∴种植花草的面积． 故答案为：5700． 【点评】本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键． 64.（2023-2024七年级下·江西南昌·期中）如图，是一块长方形的场地，长，宽．从A，B两处入口的小路宽都为1m，两条小路汇合处宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 ． 【答案】2000 【分析】本题要看图解答．从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积． 【解答】解：由图片可看出，剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，且这个长方形的长为，这个长方形的宽为：， 因此，草坪的面积平方米． 故答案为：2000． 【点评】此题主要考查了平移的性质的应用，有一定的思维含量，得出草坪正好拼成长方形是解题的关键． 65．（2022七年级·安徽安庆·期末）如图，直线，点A在直线m上，线段在直线n上，构成，把向右平移线段长度的一半得到（如图①），再把向右平移线段长度的一半得到（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是 ．    【答案】8084 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：观察图可得，第1个图形中大三角形有2个，小三角形有2个， 第2个图形中大三角形有4个，小三角形有4个， 第3个图形中大三角形有6个，小三角形有6个， … ∴第n个图形中大三角形有个，小三角形有个． ∴第2021个图形中三角形的个数是：个． 故选：D． 【点评】本题考查规律型问题，平行线的性质，平移变换等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 第七章相交线与平行线单元重难点专项提升 （重难点常考题型专练） 【知识考点 相交线与平行线】 【解题知识清单】 1.相交线 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线. 2.邻补角的定义及性质 定义：有一个公共顶点和一条公共边，另一条边互为反向延长线，这样的两个角叫作邻补角。 性质：邻补角互补 3.对顶角的定义及性质 定义：有一个公共顶点且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角 性质：对顶角相等。 4.垂直的定义及性质 定义：如果两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直. （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 5.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. 6.“三线八角”的概念 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角. （2）内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角. 7.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线a与直线b互相平行，记作“a∥b” 8.平面内两直线的位置关系 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行。 9.平行公理及其推论 ① 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. ② 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 10. 平行线的判定 （1）判定方法1: 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. （2）判定方法2: 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. （3）判定方法3: 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 11.平行线的性质 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等. 性质2: 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等. 性质3: 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 12.定义：对一个数学对象的本质特征进行准确的描述，这样的描述称为这个数学对象的定义。 13.命题：可以判断正确与否的陈述语句，叫做命题． （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：被判断为正确（或真）的命题，叫做真命题. 假命题：被判断为错误（或假）的命题，叫做假命题. 14.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 15.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 16.平移的定义 在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移。 17.平移的性质 ① 新图形与原图形的形状和大小完全相同； ② 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 【题型梳理】 【题型01】 邻补角、对顶角的性质理解 【题型02】 垂线的定义、性质及画法 【题型03】 同位角、内错角、同旁内角的理解与识别 【题型04】 与邻补角和对顶角性质有关的计算 【题型05】 与垂直有关的计算 【题型06】 平行公理及平行线的画法 【题型07】 判断所给的条件或添加条件使两直线平行 【题型08】 补充平行线判定和性质的综合推理过程 【题型09】 平行线判定和性质的综合运用 【题型10】 命题与定理 【题型11】 命题的真假判别 【题型12】 平移的性质与作图 【题型13】 平移的实际应用 【题型01】 邻补角、对顶角的性质理解 1.（2023-2024七年级下·湖北荆门·期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ） A． B． C． D． 2.（2023-2024七年级下·辽宁盘锦·期末）在下图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023-2024七年级·重庆荣昌·期末）下列各图中，一定能得出与相等的图形个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.（2023-2024七年级下·山东临沂·期中）如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 ，用它测量角的原理是 ． 5.（2023-2024七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有________对对顶角，_______对邻补角； (2)如图2，共有________对对顶角，_______对邻补角； (3)如图3，共有________对对顶角，_______对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【题型02】 垂线的定义、性质及画法 6.（2023-2024七年级下·广西玉林·期中）下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的 有（ ） ①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角； ②两条直线相交所成的四个角相等； ③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等； ④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7.（2023-2024七年级下·辽宁大连·期末）如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与重合的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂直于同一直线的两条直线平行 8.（2023-2024七年级下·山东济宁·期中）如图所示，在中，边上高，若点在边上（不含端点）移动，当 时长度最短． 9.（2023-2024七年级下·甘肃武威·期末）过点作的垂线． （1） （2） （3） （4） 10.（2023-2024七年级下·河南许昌·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）． (1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F； (2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是____（用“＜”号连接），理由是______ ． 【题型03】 同位角、内错角、同旁内角的理解与识别 11.（2023-2024七年级下·山东日照·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则的同位角是（ ） A． B． C． D． 12.（2023-2024七年级下·浙江杭州·期末）如图，与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 13.（2023-2024七年级下·山西忻州·期末）如图，与是同旁内角，它们是由（   ） A．直线，被直线所截形成的 B．直线，被直线所截形成的 C．直线，被直线所截形成的 D．直线，被直线所截形成的 14.（2023-2024七年级下·江西抚州·期末）中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如下图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 15.（2023-2024七年级·河南周口·期末）如图所示，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对，则的值是 【题型04】 与邻补角和对顶角性质有关的计算 16.（2023-2024七年级·福建福州·期末）如图，三条直线相交于点．，，则等于（   ） A． B． C． D． 17．（2023-2024七年级·重庆南川·期末）如图，直线相交于点，若射线平分，射线平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18.（2022-2023七年级·四川凉山·期末）如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 19.（2023-2024七年级下·广西河池·期末）如图，直线，相交于点O，射线把分成两部分． (1)图中______，______； (2)若，，求的度数． 20.（2023-2024七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知直线与相交于点O．    (1)如图1，若，平分，则_________． (2)如图2，若，，平分，求的大小 【题型05】 与垂直有关的计算 21.（2023-2024七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的值不可能是（   ） A．7 B．8 C．10 D．16 22.（2023-2024七年级·福建龙岩·期末）一束光线沿射向平静透明的水面，这束光线有一部分经过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线，还有一部分光线折射到水中形成光线．当入射角和折射角满足时，，此时入射光线与水面的夹角的度数为 ． 23.（2023-2024七年级·河南南阳·期末）【动手操作】如图，点为直线上一点，过点作射线，使 ．将直角三角板绕点旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是 ． 24.（2023-2024七年级·山西晋城·期末）综合与探究 如图，直线与相交于点，过点作． (1)如图1，，直接写出的度数； (2)如图2，在的内部作射线，且，此时，，求的度数； (3)如图3，在直线的下方作，且，再作平分，平分，求的度数． 25.（2023-2024七年级下·云南曲靖·期末）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【题型06】 平行公理及平行线的画法 26.（2023-2024七年级·安徽宿州·期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 27.（2023-2024七年级下·江西南昌·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 28.（2023-2024七年级·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（   ） ①过点P画与直线l垂直的直线 ②过点P画与直线l相交的直线 ③过点P画与l平行的直线 A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 29.（2023-2024七年级·吉林延边·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作． (1)过点作的平行线． (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 30.（2023-2024七年级下·陕西宝鸡·期中）在如图所示的正方形网格中，点，，，在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题： (1)过点画直线；过点画直线； (2)过点画直线； (3)试判断直线与直线的位置关系． 【题型07】 判断所给的条件或添加条件使两直线平行 31.（2023-2024七年级下·广东韶关·期中）如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是（   ） ①同位角相等，两直线平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行 A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 32.（2023-2024七年级·四川阿坝·期末）如图，下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 33．（2023-2024七年级下·河北廊坊·期末）如图，下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 34.（2023-2024七年级下·湖北恩施·期末）如图，直线c，d分别与直线a，b相截，在图中已用数字标记的4个角中，能判定的条件有 ． 35．（2023-2024七年级·河南南阳·期末）如图，已知，，，要使，则需添加 （只填出一种即可）的条件． 【题型08】 补充平行线判定和性质的综合推理过程 36.（2023-2024七年级下·四川达州·期末）已知：如图，，，，求证：． 证明：，， ， ， 又（已知） ， ， ． 37．（2023-2024七年级下·湖北武汉·期中）完成下面的证明： 如图所示，，求证：． 证明：过E作， ∵， ∴_____________（_________ ）， ∴_______（_______ ）． ∵（已作）， ∴_______（_______ ）． 又∵______ ， ∴． 38.（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：， ______（__________）， ， ______（__________）． 即， ， ， ______， ______（__________）． 又， （__________）． 39.（2024-2025七年级·山东青岛·期中）如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程： 解：，理由如下：因为， 所以（ ① ） 所以， 所以（ ② ） 所以（ ③ ） 又因为（已知）所以 ④ （等量代换） 所以（ ⑤ ） 40.（2023-2024七年级·福建泉州·期中）请把下列证明过程补充完整． 已知：如图，、、三点在同一直线上，、、三点在同一直线上，，． 求证：． 证明： ，（已知） ________________（________）， ________（________） （已知） ________（等量代换）． （已知） ， 即________ ________ ________（等量代换）， （________）． 【题型09】 平行线判定和性质的综合运用 41.（2023-2024七年级·河北沧州·期中）如图，已知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④． 正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 42.（2023-2024七年级下·福建厦门·期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有 ．    43.（2023-2024七年级下·广东汕头·期末）如图，、分别交于点M、N．，． (1)吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 44.（2024-2025七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，若，，，求的度数． 45.（2024七年级下·陕西西安·期末）如图，平分交于点D，点F在的延长线上，点E在线段上，与相交于点G，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若点H在的延长线上，且，且，求． 【题型10】 命题与定理 46.（2023-2024七年级下·广东汕头·期末）下列语句中，是命题的是（ ） A．在线段上任取一点 B．对顶角相等 C．过直线外一点作直线，使 D．锐角都相等吗？ 47.（2023-2024七年级·山东潍坊·期末）下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接A ，B 两点；④鸟是动物；⑤不相交的两条直线是平行线；⑥n为任意自然数， 的值都是质数吗？其中不是命题的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 48.（2023-2024七年级·河南洛阳·期末）命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ） A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 49.（2023-2024七年级下·全国·课时练习）下列说法正确的是（   ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 50.（2023-2024七年级·湖南邵阳·期中）将“互为相反数的两个数之和等于0”写成“如果……那么……”的形式为 【题型11】 命题的真假判别 51.（2023-2024七年级下·河北廊坊·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．如果，，那么 B．对顶角相等 C．如果一个数能被整除，那么它肯定也能被整除 D．内错角相等 52.（2023-2024七年级·广东河源·期末）下列命题中，假命题是（   ） A．，，则 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交 53.（2023-2024七年级·浙江绍兴·期末）下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是（ ） A．9 B．16 C．8 D．4 54.（2023-2024七年级下·辽宁抚顺·期末）命题“如果，那么a、b互为倒数”，这是一个 命题．（填“真”或“假”） 55.（2023-2024七年级下·北京朝阳·期末）可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是 ． 【题型12】 平移的性质与作图 56．（2023-2024七年级下·浙江温州·期中）第19届亚运会在杭州召开，三个吉样物分别取名“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图．下列选项中是“琮琮”通过平移后得到的是（   ） A． B． C． D． 57.（2023-2024七年级下·湖南娄底·期末）如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（ ） A． B． C．∠ACB＝∠ D．BC＝ 58.（2023-2024七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ． 59.（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为6． 求图中阴影部分的面积． 60．（2023-2024七年级下·江苏盐城·期末）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将向左平移格，再向上平移格，得到． (1)请在图中画出平移后的； (2)画出边上的高和边上的中线； (3)求的面积． 【题型13】 平移的实际应用 61．（2023-2024七年级下·河北保定·期末）如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（   ） A．80 B．89 C．98 D．99 62.（2023-2024七年级下·广东惠州·期中）惠东县某酒店为举办一场新人的婚礼，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米40元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 63．（2023-2024七年级下·河南安阳·期中）为持续推进儿童友好公园建设，郑州市园林绿化部门计划在2023年新建绿地面积300万平方米以上．如图，在长为103米，宽为60来的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为3米，其他部分计划种植花草，则种植花草的面积为 平方米． 64.（2023-2024七年级下·江西南昌·期中）如图，是一块长方形的场地，长，宽．从A，B两处入口的小路宽都为1m，两条小路汇合处宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 ． 65．（2022七年级·安徽安庆·期末）如图，直线，点A在直线m上，线段在直线n上，构成，把向右平移线段长度的一半得到（如图①），再把向右平移线段长度的一半得到（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是 ．    学科网（北京）股份有限公司 $$