精品解析：辽宁省沈阳市浑南区广全实验学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

沈阳市浑南区广全实验学校 2024—2025学年度上学期期末高二试题 数学 命题人：汝婧 审核人：数学教研组 满分150分 考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分. 2．作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分布列的性质，列式计算即得. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 2. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 3. 已知双曲线，则不因的变化而变化的是（ ） A. 顶点坐标 B. 渐近线方程 C. 焦距 D. 离心率 【答案】BD 【解析】 【分析】将双曲线方程整理为标准方程，写出顶点坐标，渐近线方程，焦距和离心率，，判断是否因改变而变化，即可得解. 【详解】整理双曲线方程可得， 所以，， ， 所以顶点坐标为或，A错误； 渐近线方程为，B正确； 该双曲线焦距为：，C错误； 离心率为：，D正确； 不因改变而变化的是离心率与渐近线方程. 故选：BD. 4. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】应用全概率公式求答对题目的概率. 【详解】由题意，令表示会做，表示选对，则，且， 所以. 故选：A 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 6. 展开式中，的系数为（ ） A. 320 B. 320 C. 240 D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知二项式写出含的项，即可得答案. 【详解】由题设，含的项为. 所以的系数为. 故选：D 7. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 8. 已知拋物线的焦点为，抛物线上一点A在准线上的射影为，且为等边三角形.若，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析求得，在中，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】由题意可知：拋物线的焦点为，准线为， 设准线与x轴的交点为，则， 可得， 在中，则， 即，解得， 故抛物线方程为. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. （多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A. B. 随机变量X服从二项分布 C. 随机变量X服从超几何分布 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二项分布和超几何分布的概念判断BC，由超几何分布的概率公式计算各概率，再由期望公式计算出期望，从而判断AD． 【详解】由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确； X的取值分别为0，1，2，3，4，则，，，，， ∴，故A错误，D正确． 故选：CD． 10. 给出下列命题正确的是（ ） A. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l与平行或 B. 直线恒过定点 C. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是 D. 已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用空间向量垂直的坐标表示得判断A；将直线化为即可求定点判断B；根据直线垂直的判定求参数判断C；根据空间向量共面定理的推论判断D. 【详解】A：由，即，则l与平行或，对； B：由已知得，联立，可得，故直线恒过定点，对； C：由两直线垂直得，即，可得或，错； D：由题设且，结合空间向量共面定理的推论知P，A，B，C四点共面，对. 故选：ABD 11. 在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（ ） A. 若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B. 若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C. 若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D. 校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 【答案】BD 【解析】 【分析】从剩余人种选人即可判断A；利用排除法即可判断B；先选好人，在分组分配即可判断C；利用捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由题意，共有种选法，故A错误； 对于B，由题意，共有种选法，故B正确； 对于C，先选好人，共有种选法， 然后将人按要求分到三个展区，有种， 所以共有种选派法，故C错误； 对于D，由题意，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若点在圆外，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解. 【详解】圆的标准方程为， 由于点在圆外， 所以，解得， 故答案为： 13. 某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到的主题不相同的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型计算即可. 【详解】由题意可知甲乙两人抽取主题的情况有种，不相同的情况有种， 所以其概率为. 故答案为： 14. 三棱锥中，，，点E为CD中点，的面积为，则AB与平面BCD所成角的正弦值为______，此三棱锥外接球的体积为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】设平面，垂足为，可证得在的平分线上，易知AB与平面BCD所成角即为，，从而可求得，利用三角形面积公式可求得，结合已知条件与余弦定理，勾股定理可证得，从而为外接球直径，利用球的体积计算即可． 【详解】设平面，垂足为，如图， 过作于点，过作于，连接， 由平面，平面，得， 又，平面，平面， 平面，得，同理， 从而均为直角三角形， ∵，， ∴，则在的平分线上，易知AB与平面BCD所成角即为． ∵， ∴， 又， ，即，则AB与平面BCD所成角的正弦值为， 又，解得， 又， ， ，同理， ，为外接球直径， 三棱锥外接球的体积为． 故答案为：，. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在二项式展开式中，前三项的二项式系数之和为79. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项式定理求前三项的二项式系数，列方程即可求得； （2）由二项式定理求的通项，由此可求常数项，由条件列方程求即可. 【小问1详解】 二项式的展开式的前三项的二项式系数依次为， 因为展开式中的前三项的二项式系数之和等于79， 所以有， 即， 解得或. 因为，所以. 【小问2详解】 因为展开式的通项为 ， 令，得，所以常数项为， 由已知 整理得， 所以. 16. 假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为.现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求： （1）的概率分布列； （2）均值. 【答案】（1） X 1 2 3 （2）【解析】 【分析】（1）求出的可能取值及相应的概率，求出分布列；（2）在第一问的基础上求出均值. 【小问1详解】 随机变量的所有取值是 ， X 1 2 3 【小问2详解】 17. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角. 【答案】（1） 在中，由，，则， 由，为公共边，则， 所以，由图可知， 则，即，， 因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得线线垂直，根据线面垂直的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由，则， 由，则，即两两垂直， 以以原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 在中，由，，则， 设，则，，，， 取，，，， 由，则，可得， 设平面的法向量，则； 令，则，，所以平面的一个法向量. 平面的一个法向量， 设平面与平面所成角的大小为， ，. 18. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； （2）参加活动的女教师人数为，则服从超几何分布，即可写出的分布列及期望. （3）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【小问1详解】 设“有女教师参加活动”为事件，“恰有一名女教师参加活动”为事件， 则，，所以. 【小问2详解】 依题意知服从超几何分布，且， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . 【小问3详解】 设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为， 则的所有可能取值为3,6，的所有可能取值为6,9， ，， ，， 有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，， 所以. 即两个教师得分之和的期望为分. 19. 已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于两点，其中. （1）求椭圆C的方程； （2）若（其中O为坐标原点），求k： （3）证明：是定值. 【答案】（1） （2） （3）证明： 由韦达定理得 【解析】 【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数a、b即可； （2）由分析得，即，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可解得k； （3）直接由斜率公式化简求值即可. 【小问1详解】 短轴长，离心率是，∴椭圆C的方程为. 【小问2详解】 直线l交y轴于，因为，则，所以， 联立直线方程与椭圆方程得，由得或， 由韦达定理得， 把代入上式得①，②， 得，解得，符合或，所以. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市浑南区广全实验学校 2024—2025学年度上学期期末高二试题 数学 命题人：汝婧 审核人：数学教研组 满分150分 考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分. 2．作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（ ） A. B. C. D. 2. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 已知双曲线，则不因的变化而变化的是（ ） A. 顶点坐标 B. 渐近线方程 C. 焦距 D. 离心率 4. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0.25 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 6. 展开式中，的系数为（ ） A. 320 B. 320 C. 240 D. 240 7. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知拋物线的焦点为，抛物线上一点A在准线上的射影为，且为等边三角形.若，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. （多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A. B. 随机变量X服从二项分布 C. 随机变量X服从超几何分布 D. 10. 给出下列命题正确的是（ ） A. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l与平行或 B. 直线恒过定点 C. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是 D. 已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 11. 在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（ ） A. 若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B. 若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C. 若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D. 校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若点在圆外，则实数的取值范围为__________. 13. 某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到的主题不相同的概率为____________． 14. 三棱锥中，，，点E为CD中点，的面积为，则AB与平面BCD所成角的正弦值为______，此三棱锥外接球的体积为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在二项式展开式中，前三项的二项式系数之和为79. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为，求实数的值. 16. 假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为.现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求： （1）的概率分布列； （2）均值. 17. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角. 18. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 19. 已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于两点，其中. （1）求椭圆C的方程； （2）若（其中O为坐标原点），求k： （3）证明：是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $