精品解析：湖北省楚天协作体2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2024－2025学年上学期期末考试 高二数学试卷 时间：2025年1月14日15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域上的答案均无效. 3.非选择题的作答，用黑色签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域上的答案均无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知数列满足：，，则所有可能的取值的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件，满足，，则（ ） A. 若与相互独立，则 B. 若与互斥， C. 因，所以与相互对立 D. 若，则 6. 已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等比数列，前项和为，且满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 的前10项和为50 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为11 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 点到直线的距离为1 D. 在上的投影向量为 11. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次为，，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若倾斜角为，点在第一象限，则 C. 若，则的斜率为1 D. 若点，在上，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆上的点到直线的最短距离为______. 13. 已知圆，圆，其中，，若两圆外切，则的取值范围为______. 14. 在长方体（如图1）中，已知，，上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图2），则该十面体的外接球的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 抛掷一枚质地均匀骰子两次，将两次得到的点数分别记为，. （1）求是奇数的概率； （2）求直线与双曲线有公共点的概率. 16. 已知圆关于直线的对称圆的圆心为，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 17. 如图，五棱锥中，平面平面，，. （1）证明：平面； （2）若四边形为正方形，且，，为边的中点，，当取何值时，直线与平面所成的角最小. 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 19. 已知点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：在变换的作用下得到. （1）已知曲线在的作用下得到曲线，求的方程； （2）已知椭圆在变换下保持位置关系不变性，即点在曲线上，在变换下点也在曲线上；直线与相切，在变换下直线与曲线也相切.已知点是上一动点，直线是在处的切线.用上述结论求的方程； （3）已知直线与曲线在第四象限的交点为，在处的切线被所截得的弦长记为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年上学期期末考试 高二数学试卷 时间：2025年1月14日15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域上的答案均无效. 3.非选择题的作答，用黑色签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域上的答案均无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直的斜率关系可得直线的斜率，即可得其倾斜角. 【详解】由直线，则其斜率， 设直线的倾斜角为，则有，故， 由，故. 故选：A. 2. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程得出双曲线的渐近线再计算求参. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以渐近线方程为，即得，所以. 故选：D. 3. 已知数列满足：，，则所有可能的取值的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先算出前面几项，再根据规律得到周期，可解. 【详解】依题意，，，，，，…， 所以是周期为3的周期数列，根据选项，结合集合元素无序性. 故选：C. 4. 如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理结合空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】记线段的中点为，由正四面体的性质可知，为的重心， 因为为的中点，则，所以，， 所以，，所以 所以 故选：B. 5. 已知事件，满足，，则（ ） A. 若与相互独立，则 B. 若与互斥， C. 因为，所以与相互对立 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】A项，根据相互独立事件同时发生概率乘法公式可得；B项，由互斥事件定义可知两事件不可能同时发生即可判断；C项，不能判断是否互斥与对立；D项，由可得. 【详解】选项A，若与相互独立，则与相互独立， 所以，故A错误； 选项B，若与互斥，则，不可能同时发生，即，故B错误； 选项C，，则由于不确定与是否互斥， 所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果， 设事件“出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”， 则，，但事件，并不互斥，也不对立，故C错误； 选项D，若，则，则，故D正确. 故选：D. 6. 已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得. 【详解】由，配方得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 7. 已知是等比数列，前项和为，且满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据可得，进而根据可得，结合等比数列性质可知，也为等比数列，从而求得前项和. 【详解】设等比数列的公比为，，则得到， 故，得或1（舍去）， ，. 设，由等比数列性质可知，数列也为等比数列， 且首项为，公比为4，故. 故选：C. 8. 已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出弦的中点坐标，再利用点差法列式求出离心率. 【详解】设，中点，则，， ，两式相减得，经检验成立. 所以该双曲线的离心率为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 的前10项和为50 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为11 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出通项公式，对于A，直接算出和即可；对于B，运用数列的函数特征判定即可；对于C，根据数列函数特征，找出正负相邻项即可；对于D，根据数列增减性，结合判定即可. 【详解】解析：设公差为，则， ，，， 对于A：，知A正确； 对于B，由知B正确； 对于C，由通项公式知道，知C错误； 对于D，由时，，且，知D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 点到直线的距离为1 D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用向量的方法求解夹角余弦值. 对于B，要判断直线与平面平行，可根据直线与平面内一条直线平行且直线不在平面内来判断. 对于C，求点到直线的距离，可利用向量的投影等知识求解即可. 对于D，求向量在另一个向量上的投影向量，根据投影向量的定义进行计算. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 且，分别为棱，的中点，可知，， 可得，，，， 对于选项A：因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B：，，设平面的法向量为， 则，令，解得， 所以，，因为，所以平面，B选项正确； 对于选项C：因为在方向上的投影向量的模长为，且， 点到直线的距离为，故C正确； 对于选项D：在上的投影向量为，D错误. 故选：BC. 11. 已知直线经过抛物线焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次为，，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若的倾斜角为，点在第一象限，则 C. 若，则的斜率为1 D. 若点，在上，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据通径为焦点弦最短弦列式求解判断A；联立直线与抛物线，求出交点坐标，结合焦半径公式利用向量共线的概念判断B；根据焦半径公式列式求解判断C；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式求解判断D. 【详解】对于A：由题意得抛物线的焦点，准线方程为， 因为长的最小值为4，所以，解得，故A正确 对于B：所以抛物线的方程为， 设直线的方程为，，， 联立，得， 所以，， 所以，， 由抛物线的定义可得，， ，若的倾斜角为，则， 所以，，所以，，所以，， 所以，，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以， 所以，所以，所以， 解得，所以直线的斜率为1或，故C错误； 对于D：设，，由，得为重心， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆上的点到直线的最短距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据求出的值，再求出平移直线间的距离，即可得解. 【详解】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去得 整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为. 所以点到直线的最短距离为. 故答案为： 13. 已知圆，圆，其中，，若两圆外切，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆外切推出，将其理解为以为圆心，半径为2的圆，而把看成过点与点的直线的斜率，结合图形需使直线与圆有公共点，即可求得其范围. 【详解】圆，则，半径， 圆，则，半径， 因为两圆外切，所以， 即，即， 则点在以为圆心，半径为2的圆上，即在圆上， 令，则表示过点与点的直线的斜率， 则该直线一定过点，且与圆有公共点， 由题意作图，由图可知该直线斜率一定存在（若斜率不存在，则直线与圆相离）， 设该直线方程为，即， 设圆心到直线的距离为，则，即 解得，即的取值范围是. 故答案为：. 14. 在长方体（如图1）中，已知，，上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图2），则该十面体的外接球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出外接球的半径，利用球的体积公式计算即可 【详解】该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，该点到该十面体每个顶点的距离均为， 所以这个十面体的外接球的半径为， 所以体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将两次得到的点数分别记为，. （1）求是奇数的概率； （2）求直线与双曲线有公共点的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出基本事件的总数，再用列举法求出随机事件中基本事件的个数，利用古典概型的概率公式可求概率； （2）先求出直线与双曲线有公共点时满足的条件，从而得到随机事件中基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式可求概率. 【小问1详解】 由题意可知，基本事件的总数为：. 设 “是奇数”为事件， 则事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个， 所以 【小问2详解】 设“直线与双曲线有公共点”为事件， 因为双曲线的渐近线为，所以，得， 则事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15个, 故. 16. 已知圆关于直线的对称圆的圆心为，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； (2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【小问1详解】 由题意可知圆的圆心坐标，半径， 当直线的斜率不存在时，因为直线过点，所以直线的方程为，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，因为直线过点， 设直线的方程为，化为一般式：， 直线与圆相切，则，解得， 所以直线的方程为：，即， 综上，当直线与圆相切，直线的方程为或； 【小问2详解】 圆的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得， 即圆的圆心为，半径为4， 当直线斜率不存在时，因为直线过点，直线的方程，此时圆心到直线距离等于，，符合； 当直线斜率存在时，直线的方程为，化为一般式：， 圆心到直线的距离， 若直线与圆交于，两点，， 根据勾股定理可得， 即，解得， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在五棱锥中，平面平面，，. （1）证明：平面； （2）若四边形为正方形，且，，为边的中点，，当取何值时，直线与平面所成的角最小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出线面垂直； （2）建立空间直角坐标系求解线面角的正弦值结合正弦函数的值域得出正弦值的最小值即可得出最小角. 【小问1详解】 因为平面平面，，平面，平面平面 所以平面， 又平面，所以， 又因为，，且，平面 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直间直角坐标系. 由，则，，， 可得与轴夹角为，所以， ， ， ，，平面的法向量记为 由得 令，得 即，当时，等号成立， 即时，直线与平面的所成的角取得最小值 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式. （2）设，求数列的前项和. （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可作差求解， （2）根据错位相减法，结合等比数列的求和即可得解， （3）根据等差数列的性质可得，即可根据等差中项以及等比中项的性质得矛盾求解. 【小问1详解】 由，得， 两式相减，得. 数列是等比数列， 又时，代入可得， ， 【小问2详解】 因为， 所以，①， 则②， ①-②得 ， 因此， 【小问3详解】 由题意得，即，故， 假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则， 即， ① 、、成等差数列，，则①式可化为，故. 这与题设矛盾，在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列 19. 已知点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：在变换的作用下得到. （1）已知曲线在的作用下得到曲线，求的方程； （2）已知椭圆在变换下保持位置关系不变性，即点在曲线上，在变换下点也在曲线上；直线与相切，在变换下直线与曲线也相切.已知点是上一动点，直线是在处的切线.用上述结论求的方程； （3）已知直线与曲线在第四象限的交点为，在处的切线被所截得的弦长记为，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义求解即可. （2）根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义可得的方程为，进而求出圆的切线方程，然后再根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换即可得出椭圆的切线； （3）根据题意求出，结合（2）求出切线方程与椭圆方程联立，然后利用曲线的弦长公式即可求出，然后求和即可 【小问1详解】 设上任意一点，上任意一点， 由题意得，所以，得， 所以的方程为， 【小问2详解】 椭圆上任意一点在变换下的上对应点， 所以代入可得， 所以的方程为， 点在变换下的的坐标为， 所以直线与圆在处相切， 设直线在处与圆相切， 在上任取不同于的点， 所以，所以， 即， 所以圆在点处的切线为， 所以圆在的切线为， 设上任取一点，则对应于直线上一点， 则有代入， 得，所以方程为 【小问3详解】 由，解得，即， 由（2）得在处的切线方程为， 设在处的切线与交于两点分别为，， 由，消元得， 整理得，所以，， 所以， 所以 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $