精品解析：山东省济南市天桥区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期七年级期末测试 数 学 试 题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的值是（ ） A. 1 B. C. 2025 D. 2. 世界著名教育家波利亚曾说过：“学习任何知识的最佳途径是由自己去动手实践发现．”某同学在探究圆柱体的侧面展开图时，按照如图所示的方法沿圆柱体的高将侧面剪开，再将侧面展开所得到的平面图形是（ ） A B. C. D. 3. 2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约米，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与互余的是（ ） A. B. C. D. 6. 移动5G通信网络将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2025年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列推断不正确的是（ ） A. 2020年到2025年，5G间接经济产出和直接经济产出都呈增长趋势 B. 2022年，5G间接经济产出是直接经济产出的2倍 C. 2024年到2025年，5G间接经济产出和直接经济产出的增长率相同 D. 2025年，5G间接经济产出比直接经济产出多3万亿元 7. 如图，边长为的正方形纸片上剪去四个直径为的半圆，阴影部分的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行十日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走10天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历（ ）年． A. 乙巳 B. 戊申 C. 乙申 D. 戊巳 10. 如图，是直线的垂线段，每次在两侧依次增加1条线段，则第20个图形中共有三角形的数量是（　　） A 820 B. 840 C. 40 D. 20 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．） 11. 将如图所示的长方体用过的平面切割，得到的两个几何体是_______． 12. 周末自驾游，小明准备从大明湖南门去往红叶谷景区，打开导航，显示两地距离为，但导航提供的三条路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学依据是“两点之间，____________”． 13. 若是关于的方程的解，则的值为______． 14. 如图，是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，则当时，______． 15. 如图，O为直线上一点，作射线使．将一个含的直角三角板按如图所示的方式摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，当所在直线恰好平分时，旋转时间为_______秒． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，由几个相同的小正方体搭成一个几何体，请画出这个几何体的三种视图． 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，C是线段AB上的一点，N是线段BC的中点．若AB＝24，AC＝16，求AN的长． 21. 如图，∠COD=45°，∠BOD=∠COD，OC是∠AOB的平分线，求∠AOD的度数． 22. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 23. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，摩托车、电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔个，乙种头盔个，共花费元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）在进价不变条件下，今年月初该商场购进个甲头盔，个乙头盔，计划以甲头盔每个元、乙头盔每个元的售价售出．为了响应济南公安交警部门的号召，决定两种头盔一律八折促销，鼓励大家购买佩戴，在“五一”黄金周之前，火速售完．商家月份销售两种头盔的总利润为多少元？ 24. 综合与实践 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： 【探索发现】（1）课上老师提出问题：如图1，点O是线段上一点，C，D分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段 已知线段 …… 因为C，D分别是线段，的中点， 所以 ， ①， 所以 ② ③． 因为， 所以 ④． 线段中点的定义线段的和、差等式的性质 【知识迁移】（2）小华举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线，求的度数．请同学们尝试解决该问题． 【拓展延伸】（3）老师提出这样一个问题：如图3，长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接，，将对折，点B落在直线上的点处，得折痕，将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，请直接写出的度数为 ． 25. 虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）． 如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积＝底面积×高） （1）①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升 ； ②当时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？直接写出答案： （填：“会”或“不会”） （2）当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度的值； （3）小结你在探究过程中发现的等量关系，并记录下来（两条即可） ① ； ② ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期七年级期末测试 数 学 试 题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的值是（ ） A. 1 B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，正确计算是解题的关键．根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 世界著名教育家波利亚曾说过：“学习任何知识的最佳途径是由自己去动手实践发现．”某同学在探究圆柱体的侧面展开图时，按照如图所示的方法沿圆柱体的高将侧面剪开，再将侧面展开所得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，根据圆柱沿高剪开的侧面展开图是正方形或者长方形得出结论即可，熟练掌握圆柱的侧面展开图是解题的关键． 【详解】解：圆柱沿高剪开的侧面展开图是正方形或者长方形， 故选：． 3. 2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约米，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 4. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，掌握有理数的运算法则是解题的关键．根据数轴可得，，据此判断即可求解． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与互余的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查余角，补角及平角的定义．根据等角的补角相等，同角的余角相等，平角的定义和三角板的度数对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、根据等角的补角相等，故本选项不符合题意； B、根据同角的余角相等，，故本选项不符合题意； C、，与互余，故本选项符合题意； D、，与不互余，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 移动5G通信网络将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2025年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列推断不正确的是（ ） A. 2020年到2025年，5G间接经济产出和直接经济产出都呈增长趋势 B. 2022年，5G间接经济产出是直接经济产出的2倍 C. 2024年到2025年，5G间接经济产出和直接经济产出的增长率相同 D. 2025年，5G间接经济产出比直接经济产出多3万亿元 【答案】C 【解析】 【分析】观察折线统计图并得到有用信息，并通过计算经济产出和增长率得结论． 【详解】解：由题图可以看出，2020年到2025年，5G间接经济产出和直接经济产出都呈增长趋势，故选项A不合题意； 2022年，5G间接经济产是4万亿元，直接经济产出是2万亿元，所以5G间接经济产出是直接经济产出的2倍，故选项B不合题意； 2024年到2025年，5G间接经济产出的增长率为：（6.3-6）÷6=5%，直接经济产出的增长率为：（3.3-3）÷3=10%，故选项C符合题意； 2025年，5G间接经济产出比直接经济产出多3万亿元，故选项D不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是折线统计图．读懂统计图并从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 7. 如图，边长为的正方形纸片上剪去四个直径为的半圆，阴影部分的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，阴影部分的周长等于正方形的周长减去4，再加上4个半圆的周长，即可求得答案 【详解】解：由题意可得：阴影部分的周长 故选D 【点睛】本题考查了列代数式，根据题意求得周长是解题的关键． 8. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行十日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走10天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快慢x天跑的路程慢马天跑的路程，列出方程即可． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马，根据题意得： ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． 9. 干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历（ ）年． A. 乙巳 B. 戊申 C. 乙申 D. 戊巳 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，先列式计算，再根据表格中的信息即可得解． 【详解】解：天干为：， 地支为：， ∴2025年为农历乙巳年， 故选：A． 10. 如图，是直线的垂线段，每次在两侧依次增加1条线段，则第20个图形中共有三角形的数量是（　　） A. 820 B. 840 C. 40 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，根据所给图形，依次求出三角形的数量，发现规律代值求解即可解决问题．看懂图形，找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：由题知， 第1个图形中三角形的数量是：； 第2个图形中三角形的数量是：； 第3个图形中三角形的数量是：； 第4个图形中三角形的数量是：； …， 第个图形中三角形的数量是：， 当时，（个），即第20个图形中三角形的数量是820个， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．） 11. 将如图所示的长方体用过的平面切割，得到的两个几何体是_______． 【答案】三棱柱 【解析】 【分析】本题考查截一个几何体．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．要利用本题中截面的特殊性求解．解题的关键是根据棱柱的定义进行分析． 【详解】解：如图，如图所示的长方体用过的平面切割，得到两个几何体的两个底面都是三角形，三个侧面都是长方形， ∴得到的两个几何体都是三棱柱． 故答案为：三棱柱． 12. 周末自驾游，小明准备从大明湖南门去往红叶谷景区，打开导航，显示两地距离为，但导航提供的三条路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学依据是“两点之间，____________”． 【答案】线段最短 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短原理解答即可． 本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间线段最短， 故答案为：线段最短． 13. 若是关于的方程的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解、解一元一次方程，把代入方程即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，则当时，______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据已知条件列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵a+b+c+d=32， ∴a+a+1+a+5+a+6=32， 解得：a=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是结合图表弄清题意． 15. 如图，O为直线上一点，作射线使．将一个含的直角三角板按如图所示的方式摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，当所在直线恰好平分时，旋转时间为_______秒． 【答案】2或8##8或2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据角平分线定义、平角的定义，列出方程是解答本题的关键．由平角的定义可得，然后根据角平分线的定义列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵所直线平分， ∴或． ∵三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转， ∴或， 解得：或． 故答案为：2或8． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键． （1）先求绝对值，再计算加减即可； （2）根据有理数的混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后加减计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先利用乘法分配律将算出来，然后经过去括号，合并同类项化简即可；最后再将值分别代入计算结果． 【详解】 当时，原式 【点睛】本题考查了整式的加减运算，以及求代数式的值；熟记整式的加减运算法则是解题关键． 18. 如图，由几个相同的小正方体搭成一个几何体，请画出这个几何体的三种视图． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，理解并掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图的定义，可知该几何体从正面看，为四列，且小正方形的数量分别为3、1、2、1；从左面看，为两列，且小正方形的数量分别为3、1；从上面看，为四列，且小正方形的数量分别为2、1、1、1．据此即可获得答案 【详解】解：该几何体的三种视图，如下图所示： 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． （2）按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【小问1详解】 解： 移项得， 合并同类项得 系数化为1，得，； 【小问2详解】 解： 去分母，得： 去括号，得： 合并同类项，得： 系数化1，得：． 20. 如图，C是线段AB上的一点，N是线段BC的中点．若AB＝24，AC＝16，求AN的长． 【答案】20 【解析】 【分析】先根据已知求出BC的长，再根据N是线段BC的中点求出CN，从而求出AN． 【详解】解：∵AB＝24，AC＝16， ∴BC＝AB﹣AC＝24﹣16＝8， ∵N是线段BC的中点， ∴CN＝BC＝×8＝4， ∴AN＝AC+CN＝16+4＝20； 【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及中点的性质是解答此题的关键． 21. 如图，∠COD=45°，∠BOD=∠COD，OC是∠AOB的平分线，求∠AOD的度数． 【答案】75°. 【解析】 【分析】解法一：先根据∠COD=45°，∠BOD=∠COD求出∠BOD，∠COB的度数，再利用角平分线可求出∠AOB，最后利用∠AOD=∠BOD＋∠AOB即可求解. 解法二：先根据∠COD=45°，∠BOD=∠COD求出∠BOD，∠COB的度数，再利用角平分线可求出∠AOC的度数，最后利用∠AOD=∠COD＋∠AOC即可求解. 【详解】解法一：∵∠COD=45°，∠BOD=∠COD, ∴∠BOD=×45° =15°． ∴∠COB=∠COD-∠BOD=45°-15°=30°． ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOB=2∠COB=2×30°=60° ∴∠AOD=∠BOD＋∠AOB=15°＋60°=75°． 解法二：∵∠COD=45°，∠BOD=∠COD, ∴∠BOD=×45° =15°． ∴∠COB=∠COD-∠BOD=45°-15°=30°． ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠COB=30° ∴∠AOD=∠COD＋∠AOC=45°＋30°=75° 【点睛】本题主要考查角平分线和角的和与差，读懂图形，分清角的和差关系是解题的关键. 22. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 23. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，摩托车、电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔个，乙种头盔个，共花费元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）在进价不变条件下，今年月初该商场购进个甲头盔，个乙头盔，计划以甲头盔每个元、乙头盔每个元的售价售出．为了响应济南公安交警部门的号召，决定两种头盔一律八折促销，鼓励大家购买佩戴，在“五一”黄金周之前，火速售完．商家月份销售两种头盔的总利润为多少元？ 【答案】（1）甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元 （2）元 【解析】 【分析】（）设乙种头盔的单价为 元，则甲种头盔的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出算式计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程和算式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设乙种头盔的单价为 元，则甲种头盔的单价为元， 根据题意得， 解得， ∴甲头盔单价为元， 答：甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元； 【小问2详解】 解： ， 答：商家月份两种头盔的总利润为元． 24. 综合与实践 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： 【探索发现】（1）课上老师提出问题：如图1，点O是线段上一点，C，D分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段 已知线段 …… 因为C，D分别是线段，的中点， 所以 ， ①， 所以 ② ③． 因为， 所以 ④． 线段中点的定义线段的和、差等式的性质 【知识迁移】（2）小华举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线，求的度数．请同学们尝试解决该问题． 【拓展延伸】（3）老师提出这样一个问题：如图3，长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接，，将对折，点B落在直线上点处，得折痕，将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，请直接写出的度数为 ． 【答案】（1）①；②；③；④8；（2）；（3）的度数为或 【解析】 【分析】（1）根据线段中点的意义，线段的和解答即可． （2）根据角的平分线的意义，角的和解答即可． （3）分点G在点F的左侧和右侧两种情形解答即可． 【详解】（1）解：如图1， ∵C，D分别是线段，的中点， ∴ ，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：①；②；③；④8． （2）如图2，∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． （3）解：如图，点G在点F的右侧， 根据折叠的性质，得，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 若点G在点F的左侧， 根据折叠的性质，得，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和，角的平分线，角的和差，平角的定义，熟练掌握线段中点，角的平分线是解题的关键． 25. 虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）． 如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积＝底面积×高） （1）①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升 ； ②当时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？直接写出答案： （填：“会”或“不会”） （2）当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度的值； （3）小结你在探究过程中发现的等量关系，并记录下来（两条即可） ① ； ② ． 【答案】（1）① 20；② 不会 （2）长方体木块高度为 （3）①当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等；②当虹吸现象结束时，甲容器水位深度乙容器水位深度 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准数量关系列方程是解题的关键． （1）①设乙容器底面积是，则甲容器底面积是，然后用下降的水的体积除以乙容器的底面积计算即可解题；②计算出甲、乙容器虹吸结束后的水面高度即可解题； （2）设虹吸现象结束时，甲容器内水位深度为，则乙容器内水位深度是的，根据题意列方程解题求出的值，然后根据求出即可； （3）根据探究过程中发现，写两条等量关系即可． 【小问1详解】 解：①设乙容器底面积是，则甲容器底面积是， ∴乙容器内水位上升的高度为， 故答案为：20； ②乙容器内的水不会溢出，理由为： 当乙容器内的水满时，甲容器水位下降为， 这时甲容器中水位离桌面距离为， ∴当时，乙容器内的水不会溢出． 【小问2详解】 解：设虹吸现象结束时，甲容器内水位深度为，则乙容器内水位深度是的， ∴， 解得：， ∴长方体木块高度． 【小问3详解】 解：根据探究过程发现： ①当乙容器没有溢出时，甲容器流出水体积与乙容器流入水的体积相等； ②当虹吸现象结束时，甲容器水位深度乙容器水位深度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $