27.1图形的相似 课后巩固练习2024-2025学年人教版九年级数学下册

九年级数学下册人教版第二十七章第1节《图形的相似》课后巩固练习 一、单选题 1．下列四组图形中，一定相似的是(    ) A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 2．下面的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为（ ） A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1： 3．如图，，若，，，则的长等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=(    ) A． B． C． D． 5．如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，则    A． B． C．4 D． 6．我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（　　） A．2 B． C． D． 8．四边形ABCD与四边形相似，相似比为2：3，四边形与四边形相似，相似比为5：4，则四边形ABCD与四边形相似且相似比为　　 A．5：6 B．6：5 C．5：6或6：5 D．8：15 9．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，C，F和点B，D，E．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为10 cm，那么的长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm． 二、填空题 11．如图，小东设计两个直角，来测量河宽，他量得，则河宽为 m．    12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC= 。 13．如图，在△ABC中，CD、BE分别是△ABC的边AB、AC上的中线，则= 。 14．如图，在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为 ．    15．如图，，若，则的长 ． 16．如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= 17．如图，在矩形中，，．点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则的长为 ． 18．如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似． 三、解答题 19．已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比． 20．如图，在中，对角线，相交于点，、、、分别是、、、的中点．    (1)试说明四边形是平行四边形． (2)四边形与相似吗？说明理由． 21．如图，在平行四边形中，于点，于点． ，，，这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式； 若，，，求的长． 22．已知：如图，在△ABC中，点为边上的一点．    (1)过点作直线，交线段于点E． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，若，求的值． 23．如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点． (1)求证：△ADE与△ABC相似； (2)求△ADE与△ABC的相似比． 24．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长． 25．如图，△ABC中，于点D，E是AB上一点，连接DE，． (1)求证； (2)若，，求证； (3)若，，则的值为______（用含m，k的式子表示）． 26．【探究与应用】 问题：如图①所示，是的角平分线．求证：．          (1)【解决问题的方法】善于思考的小安发现：过点作交的延长线于点，如图②，通过两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例的推论，可以解决问题．请证明：． (2)【应用提升】请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形中，，，，平分，，与相交于点．求和的值． 27．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点分别在轴和轴的正半轴上，连接，已知，点在上，且点为线段上一动点(可与重合)，连接． 求的长及点的坐标； 当时，求的长； 如图2，将沿直线翻折，得连接问四边形的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值； 以线段为边，在所在直线的右上方作等边当点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1-10 DCAAB BDADA 11．4 12．1：2 13． 14．8 15．4 16． 17．/ 18．1.5或9 19．解：∵四边形是正方形， 设 ∴周长之比：△ADE的周长：的周长：的周长 20．解：（1）四边形是平行四边形，点是两对角线的交点， ，． 、、、分别是、、、的中点， ∴，，，， ，， 四边形是平行四边形． （2）、、、分别是、、、的中点， ，，， ，，， ，即， 同理可得，， 四边形与相似． 21．证明：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：． 22．（1）解：如图，作，交线段于点， ∴， 则直线即为所作；    （2）∵，， ∴， ∴ ∴． ∴的值为． 23．(1)证明：因为D，E分别为边AB，AC的中点， 所以DE是△ABC的中位线， 所以，，，且DE∥BC， 所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C 在△ADE和△ABC中， 因为，∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， 所以△ADE与△ABC相似． (2)解：因为AD与AB是对应边，且， 所以△ADE与△ABC的相似比为． 24．（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD， ∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AEFG是菱形，ABCD是菱形， ∴AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD； （2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∴BP＝AB＝1， AP＝＝，AE＝AG＝， ∴EP＝2， ∴EB＝＝＝， ∴GD＝． 25．（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴＝2（90°－∠C）， ∴； （2）证明：如图1，在BD上取点F，使，则CF＝2CD，连接AF，过点B作AF的平行线与DE延长线交于点G． ∵，， ∴AD垂直平分CF， ∴， ∴△AFC是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠C＝∠GBD， 又∵， ∴（ASA）， ∴，， ∴， ∵，， ∴∠C＝∠BEG， ∴， ∴， ∴BE＝CF， ∵， ∴． （3）解：如图2，在BD上取点M，使DM＝DC，连接AM，过点E作EHAM与 BD交于点H． ∵DM＝CD，，， ∴AD垂直平分MC， ∴AM＝AC， ∴△AMC是等腰三角形， ∴∠MAC＝2∠CAD，∠AMC＝∠C， ∵， ∴∠MAC＝∠BDE， ∵EHAM， ∴∠EHD＝∠AMC＝∠C， ∴∠EHD＋∠BDE＋∠HED＝180°，∠AMC＋∠MAC＋∠C＝180°， ∴∠HED＝∠C， ∴∠HED＝∠EHD， ∴△DEH是等腰三角形， ∴DE＝DH， ∵EHAM，， ∴， ∴， ∵， ∴BH＋HM＝BH＋kBH＝（k＋1）BH，BH＋HM＝BD－DM＝BD－CD＝mCD－CD＝（m-1）CD， ∴（k＋1）BH＝（m-1）CD， ∴BH＝，HM＝， ∴DE＝DH＝HM＋DM＝＋CD＝， ∴＝， 即＝ 故答案为：． 26．（1）证明：交的延长线于点E，      ∴，． 又是的平分线， ， ， ， ． （2）（2）平分，， ，， ． ， ，， ， ． 过点A作于点E，如图③ ， ， ． ， ， ． 27．解：（1）∵tan∠OAC= ∴ 又∵OA=8 ∴OC=6                                 又∵CD=3BD ∴CD=6，BD=2 ∴D（6，6）                              （2）∵DP∥AC ∴ ∴ ∴BP=                                  ∴AP=                                 （3）存在，， ∵， ∴要使四边形面积最小，只要△ACE的面积最小即可， 要使△ACE的面积最小，只要点E到AC的距离最小， 由翻折知，BD=DE=2， ∴点E在以D为圆心，2为半径的圆上， ∴当DH⊥AC时，EH最小， ∵∠BCA=∠CAO， ∴sin∠BCA=sin∠CAO， ∴， ∴， ∴DH=， ∴EH=， ∴=24＋=32； （4）如图，点F的运动路径为线段FF’， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$