第六章 三角重难点检测卷 -2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第二册）

第六章 三角重难点检测卷 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第二册第六章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知，则 . 2．（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知，是第四象限角，则 . 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，则 ． 4．（24-25高一下·上海·期末），则的值是 . 5．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 6．（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆半径为 . 7．（23-24高一·上海·课堂例题）填空题： （1）若为第二象限的角，则为第 象限的角； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则与的关系是 ； （3）若角与满足关系，则角与的终边关于 对称． 8．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是 . 9．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 10．（24-25高一下·上海·课后作业）如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角，则山高 .    11．（24-25高一下·上海黄浦·期末）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）      12．（24-25高一·上海·随堂练习）下图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 厘米． 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·上海·开学考试）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，而积为，周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，确定，则唯一确定 B．若，确定，则，唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 15．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 18．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 19．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 20．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）完成下表（为弧度数）； 1 0.5 0.1 0.01 0.001 （2）观察上表中的数据，你能发现什么规律？ （3）已知，利用图形面积公式证明，并应用该公式说明（2）中猜想的合理性． 21．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 三角重难点检测卷 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第二册第六章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】左右平方利用同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】∵，则， 即，故. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知，是第四象限角，则 . 【答案】 【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解. 【详解】因为，是第四象限角， 则，可得. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据给定条件解方程求得，再利用同角三角函数基本公式计算即得. 【详解】因为，所以或， 因为，所以且， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·期末），则的值是 . 【答案】 【分析】由三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 5．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 【答案】/0.625 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 6．（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆半径为 . 【答案】1 【分析】由已知等式，利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理求得，从而利用正弦定理可得答案. 【详解】因为且， 所以由正弦定理可得， 整理得，可得， 因为，所以， 所以，所以. 故答案为:1. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）填空题： （1）若为第二象限的角，则为第 象限的角； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则与的关系是 ； （3）若角与满足关系，则角与的终边关于 对称． 【答案】 三 轴 【分析】根据象限角的定义解答（1）；根据对称性结合终边相同的角的表示即可解答（2）；根据终边相同角的定义解答（3）； 【详解】（1）若为第二象限的角，则， 所以， 所以，所以为第三象限角； （2）如图，设角的终边为，角的终边为， 角关于原点对称的角为终边是，对应的角表示为， 角关于轴对称的角为终边是，对应的角表示为， 所以， 即， 由于，， 故. （3）因为角和满足关系：， 因为与的终边关于轴对称， 而与的终边相同， 所以角与的终边关于轴对称. 故答案为：三；；轴 8．（24-25高一下·上海·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是 . 【答案】 【分析】根据题意，可得点，进而可得答案. 【详解】由题意，得点，，，，则. 故答案为： 9．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 【答案】 【分析】设，结合题意可得，结合两家和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海·课后作业）如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角，则山高 .    【答案】1000m 【分析】由题意，可得，，则，在中，由正弦定理可得，在中，即可求得. 【详解】∵，， ∴， 在中，， ∴在中，. 故答案为：1000m. 11．（24-25高一下·上海黄浦·期末）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）    【答案】 【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可. 【详解】如图所示，设圆心为D，的中点为E，则， 由题意易知， 则， 所以， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：.    12．（24-25高一·上海·随堂练习）下图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 厘米． 【答案】64 【分析】过点A作于E，过点B作于F，由图形特征和三角函数，求出，可得的长. 【详解】如图，连接AB，CD，过点A作于E，过点B作于F． ∵，，∴四边形ABFE是平行四边形， ∵，∴四边形AEFB是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴， 故答案为：64． 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A 14．（24-25高一下·上海·开学考试）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，而积为，周长为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，确定，则唯一确定 B．若，确定，则，唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 【答案】C 【分析】利用，再结合各个选项，逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】因为， 对于选项A，若，确定，则唯一确定，所以选项A正确， 对于选项B，若，确定，由知，确定，则，唯一确定，所以选项B正确， 对于选项C，若确定，由，消得到， 又，当时，有两个值，当时，有1个值，当时，无解，所以选项C错误， 对于选项D，若确定，由知，确定，又，所以确定，故选项D正确， 故选：C. 15．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角函数定义判断A，举反例判断BC，结合两角和差余弦公式判断D. 【详解】①当时，，①错误； ②同时满足的角，②错误； ③当， 故存在角和使得等式成立，③错误 ④正确，过程如下： 故选：A. 16．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出示意图形，在四边形中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形的外接圆直径大小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出的大小，即可得到本题的答案. 【详解】如图所示， 设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点， 点分别是点在两条墙脚线上的射影，连接 ，，， 由题意可知就是太阳高度角. ∵四边形中，，， ∴ ， ∴中，， 可得， ∵四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径， ∴设的外接圆半径为，则， 在中，， 所以， 对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)0. 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式化简即得. （2）利用诱导公式化简即得. 【详解】（1） . （2）. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用恒等变换公式，同角三角函数的商数关系即可化简； （2）运用两角和的正切公式证明即可． 【详解】（1） ； （2） 19．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，从而将转化为关于的三角函数，最后由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，所以， 又，所以； （2）由正弦定理， 所以，， 则 ， 其中， 又，所以当时取得最大值. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）完成下表（为弧度数）； 1 0.5 0.1 0.01 0.001 （2）观察上表中的数据，你能发现什么规律？ （3）已知，利用图形面积公式证明，并应用该公式说明（2）中猜想的合理性． 【答案】（1）完善表格见解析；（2）当趋近于0时，的值趋近于1；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用计算器计算完善表格. （2）由（1）中表格中的数据写出规律. （3）利用三角形、扇形面积公式证明即可. 【详解】（1） 1 0.5 0.1 0.01 0.001 0.8415 0.4794 0.0998 0.0099998 0.001 0.8415 0.9589 0.9983 0.99998 0.9999998 （2）观察上述表格中的数据，得当趋近于0时，的值趋近于1. （3）如图： 在单位圆中，点，，且的终边交单位圆于点， 单位圆在点处切线与射线交于，的面积为，扇形的面积为， 的面积为，观察图形知，于是， 所以，则，整理得， 而当趋近于0时，趋近于1，所以的值趋近于1. 21．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 【答案】(1) (2)，或. (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得到表达式； （2）利用恒等式将转化为关于的二次函数，再使用二次函数知识求解； （3）先证明，然后利用得到，最后根据证明过程即可研究出取到等号时的值. 【详解】（1）过作，垂足为， 由题意可得：，，故，. 所以矩形的面积，. （2）此时， 故 . 等号取到当且仅当，即，所以. 解得或. 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. （3）由于，故， 且. 从而由，知，所以对任意有 ， 所以，得. 根据上面的证明过程，知等号成立当且仅当. 由于时必有或，故，从而一定有. 所以取等条件又可等价转化为， 这就意味着当时，取等条件是； 当时，取等条件是. 所以的最大值是，当取得最大值时，若，则所对应的的值是或；若，则所对应的的值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对三角函数相关恒等式的运用. 学科网（北京）股份有限公司 $$