专题01 任意角及其度量重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题01 任意角及其度量重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 任意角的概念 题型二 弧度的概念 题型三 找出终边相同的角 题型四 根据图形写出角（范围） 题型五 确定已知角所在象限 题型六 由已知角所在的象限确定某角的范围 题型七 确定n倍角所在象限 题型八 确定n分角所在象限 题型九 用弧度制表示角的集合 题型十 角度化为弧度 题型十一 弧度化为角度 题型十二 弧长的有关计算 题型十三 扇形面积的有关计算 题型十四 扇形中的最值问题 题型十五 扇形弧长公式与面积公式的应用 知识点01 任意角 1、任意角 正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角． 第一象限角的集合为 k 360o k 360o 90o, k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k 第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270 , k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360 , k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 , k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 , k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k 知识点02 终边相同的角 与角 终边相同的角的集合为 k 360o, k 已知 是第几象限角，确定 / n * 所在象限：若 是第 k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧 n 等分，并从 x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域是角/n 终边所在的范围。 知识点3 弧度制的转换 1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 2、半径为r 的圆的圆心角 所对弧的长为l ，则角 的弧度数的绝对值是是 l/r. 3、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 o ，1 o /180，1 180 o / 57.3o． 知识点04 扇形 若扇形的圆心角为为弧度制 ，半径为 r ，弧长为l，周长为C ，面积为 S ， 则弧长公式：l r ，扇形周长：C 2r l ，扇形面积： S 1/2lr 1/2 r r． 【经典例题一 任意角的概念】 【例1】（24-25高一下·上海静安·课后作业）已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京海淀·阶段练习）时间经过（时），时针转了 度，等于 弧度；若时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积是 平方厘米. 3．（24-25高一下·上海·课后作业）中午12点以后，在什么时候（近似到几点几分几秒）时针与分针第一次重合？什么时候（近似到几点几分几秒）分针第一次在时针的反向延长线上？ 【经典例题二 弧度的概念】 【例2】（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D．2 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气．它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气，2022年10月8日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期末）设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）如图，设扇形的圆心角，半径为，弧长为，扇形面积记为．    (1)用与表示扇形的面积； (2)用与表示扇形的面积． 【经典例题三 找出终边相同的角】 【例3】（23-24高一下·上海徐汇·期末）下列命题正确的是（    ）． A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角 1．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 2．（2024高一下·全国·专题练习）已知角α为钝角，若4α角的终边与α角的终边重合，则角α= ． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 【经典例题四 根据图形写出角（范围）】 【例4】（23-24高一下·上海·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为，则∠ACB的大小为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）集合中角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么 . 3．（24-25高一下·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【经典例题五 确定已知角所在象限】 【例5】（23-24高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限. 3．（24-25高一下·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【经典例题六 由已知角所在的象限确定某角的范围】 【例6】（23-24高一下·上海松江·期末）角是第二象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，则角所在的区间可能是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海长宁·期中）已知，则 3．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合. 【经典例题七 确定n倍角所在象限】 【例7】（23-24高一下·上海杨浦·期中）是第三象限角，且，则是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知终边在第四象限，则终边所在的象限为 ． 3．（23-24高一下·上海·课后作业）已知角的终边在第四象限. （1）试分别判断、是哪个象限的角； （2）求的范围. 【经典例题八 确定n分角所在象限】 【例8】（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 1．（2024·上海·模拟预测）下列命题中不正确命题的个数是（    ） ①已知a，b是实数，则“”是“”的充分而不必要条件； ②，使； ③，； ④若角的终边在第一象限，则的取值集合为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）已知为第二象限角，那么是第 象限角． 3．（23-24高一下·上海·课后作业）（1）如果角的终边在第二象限，讨论的终边所在的位置； （2）由此可否得出在其他几个象限的结论？请画出的终边在第一､二､三､四象限时，的终边所在的位置； （3）类似地讨论的位置(可设在第一象限，讨论终边的位置，并写出其他几个象限的情形). 【经典例题九 用弧度制表示角的集合】 【例9】（2024高一·全国·专题练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 1．（2024高一·全国·专题练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海普陀·期末）走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于 . 3．（23-24高一下·全国·课后作业）讨论以下三个式子的意义： 谈谈引入弧度制的好处． 【经典例题十 角度化为弧度】 【例10】（24-25高一下·上海·阶段练习）体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则化成弧度是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海奉贤·期末）将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）写出一个与角终边相同的正角： （用弧度数表示）. 3．（23-24高一·上海·课后作业）已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？ 【经典例题十一 弧度化为角度】 【例11】（23-24高一·全国·课堂例题）化为角度是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（    ） ①；        ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一下·上海青浦·期中）已知，若与的终边相同，且，则 3．（23-24高一·全国·课堂例题）设，. (1)将用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限； (2)将用角度表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有的角. 【经典例题十二 弧长的有关计算】 【例12】（24-25高一下·上海杨浦·期末）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ） A．3 B．2 C． D． 1．（24-25高一下·上海闵行·期末）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮，大轮有个齿，小轮有个齿，大轮每分钟转圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津·阶段练习）如图，扇形的面积等于，它的弧长等于，则弦 的长为 ．    3．（24-25高一下·上海宝山·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【经典例题十三 扇形面积的有关计算】 【例13】（24-25高一下·广东广州·阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形半径为（   ） A．4 B．1 C． D．2 1．（23-24高一下·上海徐汇·开学考试）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则 . 3．（23-24高一下·上海松江·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 【经典例题十四 扇形中的最值问题】 【例14】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ） A． B． C．2 D．不存在 2．（23-24高一下·上海静安·期末）已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为 ，此时扇形的圆心角的弧度数为 ． 3．（2024·上海黄浦·二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度. (1)求关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 【经典例题十五 扇形弧长公式与面积公式的应用】 【例15】（23-24高一下·上海嘉定·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海崇明·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 2．（23-24高一下·上海虹口·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    3．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大? 1．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 2．（24-25高一·上海·随堂练习）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　）    A． B． C． D． 4．（2024·上海·模拟预测）在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连结，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是（    ）      A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25高一下·上海·期末）是第 象限角. 7．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ． 8．（23-24高一·上海·课堂例题）填空题： （1）若为第二象限的角，则为第 象限的角； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则与的关系是 ； （3）若角与满足关系，则角与的终边关于 对称． 9．（23-24高一下·上海·期中）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ． 10．（2024高一下·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    11．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 12．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角． 13．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 14．（24-25高一下·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 15．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在型槽上的横截面图，已知图中为等腰梯形（∥），支点与相距8，罐底最低点到地面距离为1，设油罐横截面圆心为，半径为5，，求：型槽的横截面（阴影部分）的面积.【参考数据：，，，结果保留整数】 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 任意角及其度量重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 任意角的概念 题型二 弧度的概念 题型三 找出终边相同的角 题型四 根据图形写出角（范围） 题型五 确定已知角所在象限 题型六 由已知角所在的象限确定某角的范围 题型七 确定n倍角所在象限 题型八 确定n分角所在象限 题型九 用弧度制表示角的集合 题型十 角度化为弧度 题型十一 弧度化为角度 题型十二 弧长的有关计算 题型十三 扇形面积的有关计算 题型十四 扇形中的最值问题 题型十五 扇形弧长公式与面积公式的应用 知识点01 任意角 1、任意角 正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角． 第一象限角的集合为 k 360o k 360o 90o, k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k 第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270 , k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360 , k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 , k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 , k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k 知识点02 终边相同的角 与角 终边相同的角的集合为 k 360o, k 已知 是第几象限角，确定 / n * 所在象限：若 是第 k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧 n 等分，并从 x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域是角/n 终边所在的范围。 知识点3 弧度制的转换 1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 2、半径为r 的圆的圆心角 所对弧的长为l ，则角 的弧度数的绝对值是是 l/r. 3、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 o ，1 o /180，1 180 o / 57.3o． 知识点04 扇形 若扇形的圆心角为为弧度制 ，半径为 r ，弧长为l，周长为C ，面积为 S ， 则弧长公式：l r ，扇形周长：C 2r l ，扇形面积： S 1/2lr 1/2 r r． 【经典例题一 任意角的概念】 【例1】（24-25高一下·上海静安·课后作业）已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】C 【分析】根据任意角的概念逐项判断. 【详解】A，角，是第一象限角，但不是锐角，A错误； B，角，角，则角和的终边相同，但，B错误； C，的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角，C正确； D，角的终边在第二象限，则角不是钝角，D错误. 故选：C. 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定图形，求出在内阴影部分的边界射线对应的角，进而确定阴影部分对应任意角的范围，即得结果. 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为， 在内阴影部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高一下·北京海淀·阶段练习）时间经过（时），时针转了 度，等于 弧度；若时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积是 平方厘米. 【答案】 / / 【分析】根据任意角的概念及角度制与弧度制的转化关系化为弧度制，再由扇形面积公式计算可得. 【详解】时针一小时转过，所以时间经过时针转了，即， 又时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积（平方厘米）. 故答案为：；； 3．（24-25高一下·上海·课后作业）中午12点以后，在什么时候（近似到几点几分几秒）时针与分针第一次重合？什么时候（近似到几点几分几秒）分针第一次在时针的反向延长线上？ 【答案】在13时5分27秒时时针与分针第一次重合；在12时32分43秒时分针第一次在时针的反向延长线上． 【分析】根据题意，由分针与时针的转速，结合条件，列出方程，代入计算，即可求解. 【详解】①设经过x min后，分针与时针第一次重合，因分针每60min转一圈（即360°）， 故x min共转过，时针每60min转圈（即30°）， 故x min共转过． 又第一次重合时，分针应比时针多转一圈，故有，解得， 所以在13时5分27秒时时针与分针第一次重合； ②设经过y min后，分针第一次在时针的反向延长线上， 则分针第一次在时针的反向延长线上时，分针比时针多转180°， 故有，解得， 所以在12时32分43秒时分针第一次在时针的反向延长线上． 【经典例题二 弧度的概念】 【例2】（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】画图设外接圆半径，利用正三角形性质可得圆弧长，再由弧度制定义可得. 【详解】不妨设正的外接圆半径，圆心为， 取的中点为，连接，易知在上，且，；如下图所示： 在中，，所以； 依题意可知该圆弧长， 所以圆心角. 故选：C 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气．它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气，2022年10月8日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出每一等份的度数，从寒露到冬至经历了5个节气，进而可得答案 【详解】由题意知，把圆分成24等份，每一等份为，从寒露到冬至经历了5个节气，所以地球公转的弧度数约为． 故选： 2．（23-24高一下·上海·期末）设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】画出函数的图像，由图可知，当函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，曲线不是一个函数的图像，由此求出答案. 【详解】画出函数的图像，如图，在轴正半轴上取一点，则， 由图可知，当函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，旋转所得的图像与垂直于轴的直线就有两个交点，曲线不是一个函数的图像， 故的最大值是 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）如图，设扇形的圆心角，半径为，弧长为，扇形面积记为．    (1)用与表示扇形的面积； (2)用与表示扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弧度的概念及圆的面积公式求解； （2）由（1）结合弧长公式求解. 【详解】（1）角的大小是周角的，所形成扇形的面积是整个圆的面积的， 即. （2）由（1）可得， 又因为，所以． 【经典例题三 找出终边相同的角】 【例3】（23-24高一下·上海徐汇·期末）下列命题正确的是（    ）． A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角 【答案】C 【分析】根据锐角定义判断A，取特殊角判断B，根据终边相同的角判断C，确定所在象限判断D. 【详解】，但是由锐角的定义知不是锐角，故A错误； 是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B错误； 因为，所以与终边相同的最小正角是，故C正确； 且，所以是第三象限角，故D错误. 故选：C 1．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 【答案】C 【分析】根据角的定义判断． 【详解】，因此的解与角的终边相同，A错； 第三象限角的集合为，B错； 终边在y轴上角，终边可能在轴正半轴，， 终边在轴负半轴，，其中，终合为，C正确； 是第二象限角，是第一象限角，但，D错． 故选：C． 2．（2024高一下·全国·专题练习）已知角α为钝角，若4α角的终边与α角的终边重合，则角α= ． 【答案】120° 【详解】若4α角的终边与α角的终边重合，则4α=k·360°+α．因为角α为钝角，所以k=1．解得α=120°，故答案为120°． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 【答案】(1)，角是第二象限角． (2)，． 【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． （2）因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为， 所以或． 当时，； 当时，， 故在区间上与角终边相同的角是，． 【经典例题四 根据图形写出角（范围）】 【例4】（23-24高一下·上海·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为，则∠ACB的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果． 【详解】如图： 由题意得 则 故选：B． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）集合中角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分奇偶性，结合终边相同的角的定义讨论判断即可 【详解】当时，， 此时表示的范围与表示的范围一样； 当时，， 此时表示的范围与表示的范围一样. 故选：C． 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么 . 【答案】 【分析】先求得在范围内，终边落在阴影内的角的范围，继而即可求得. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为； 和. ， 故答案为： 3．（24-25高一下·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可. （2）写出终边在和上角的集合，再取并集即可. 【详解】（1）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为. （2）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为， 化简得， 所以终边在直线上的角为. 【经典例题五 确定已知角所在象限】 【例5】（23-24高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 1．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角定义，结合集合描述判断各集合的关系即可. 【详解】如是第二象限角且大于，但不是钝角，A错； 由钝角一定大于，但大于角不一定是钝角，故是的真子集，B对，D错； 如是第二象限角，但小于，C错； 故选：B 2．（23-24高一下·全国·课前预习）象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限. 【答案】 原点； 终边； 象限角； 坐标轴上. 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一下·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）将角度数乘以即可化为弧度，再化为的形式，判断所在象限； （2）由将弧度化为角度，表示出终边重合的角，令其在–720°~0°之间，即可得到与它们终边重合的所有角. 【详解】（1），在第二象限； ，在第一象限, 即是第二象限的角，是第一象限的角. （2），终边重合的角是， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°； ，终边重合的角是为， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°. 【经典例题六 由已知角所在的象限确定某角的范围】 【例6】（23-24高一下·上海松江·期末）角是第二象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】表示出在第二象限的集合，再求所在象限的集合即可 【详解】由题可知，故， 当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限. 故所在象限是第一或第三象限. 故选：A 【点睛】思路点睛：本题考查所在象限的判断，常规思路为：先表示出所在象限集合，再求对应集合，结合具体值综合分析 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，则角所在的区间可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先化简已知得，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案. 【详解】由得，， 对于A， 当时，，， 而，，两个式子不可能相等，故错误； 对于B，当时，，， ，，，存在使得，故正确； 对于C， 时，，，，而，，不可能相等，所以错误； 对于D， 当时，，， ，而，，不可能相等，所以错误 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 2．（23-24高一下·上海长宁·期中）已知，则 【答案】 【分析】根据二倍角公式，先求出，再根据的范围，判断符号，即可求解. 【详解】， ，， 故答案为: 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数求值问题，熟记公式是解题关键，属于基础题。 3．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合. 【答案】(1) {α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}；(2) {α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}；(3) {α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}；(4) {α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}. 【分析】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成，根据终边相同角的表示，即可得到答案； (2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，即可得到答案； (3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到，即可得到答案； (4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分，即可得到答案； 【详解】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成， 故满足条件的角的集合为{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}． (2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}． (3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}． (4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}． 【点睛】本题主要考查了终边相同角的表示及其应用，其中解答中熟记终边相同角的表示，准确写出阴影部分的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 【经典例题七 确定n倍角所在象限】 【例7】（23-24高一下·上海杨浦·期中）是第三象限角，且，则是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由条件可得，再根据，可得是第二象限角． 【详解】解：是第三象限角，，，即，，故是第二或第四象限角． 如图 又，则是第二象限角， 故选：． 【点睛】本题主要考查同角三角的基本关系，象限角的表示，属于基础题． 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的范围，求出以及的范围，根据三角函数在各个象限的符号，即可得出答案. 【详解】对于A项，由已知，的取值集合为. 所以，， 所以，， 所以，可能是第一象限角，也可能为第二象限角，终边也有可能落在轴正半轴上，故A错误； 对于B项，由已知，的取值集合为. 所以，. 当为偶数时，设，则， 此时位于第二象限，； 当为奇数时，设，则， 此时位于第四象限，. 综上所述，恒成立，故B项正确； 对于C项，当位于第二象限时，，故C项错误； 对于D项，当位于第四象限时，，故D项错误. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知终边在第四象限，则终边所在的象限为 ． 【答案】第三象限或第四象限或轴负半轴 【分析】由角α的范围求出2α的范围，再结合象限角的概念求解即可. 【详解】由于是第四象限角,故,故,即终边在” 第三象限或第四象限或轴负半轴”. 故答案为：第三象限或第四象限或y轴负半轴. 3．（23-24高一下·上海·课后作业）已知角的终边在第四象限. （1）试分别判断、是哪个象限的角； （2）求的范围. 【答案】（1）是第二或第四象限的角，是第三或第四象限或轴的非正半轴的角；（2）（）. 【分析】（1）先写出的范围，再求出和的范围，即可求解； （2）由写出的范围，再求出的范围，再判断即可. 【详解】是第四象限的角， ， ， 当时， 此时是第二象限； 当时， 此时是第四象限； 又 此时是第三象限或第四象限或轴的非正半轴； （2） 【经典例题八 确定n分角所在象限】 【例8】（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由题意可得，由此得，讨论k的取值，即分、、进行讨论，即可确定答案. 【详解】由题意是第一象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第三象限角； 故不可能是第四象限角， 故选：D 1．（2024·上海·模拟预测）下列命题中不正确命题的个数是（    ） ①已知a，b是实数，则“”是“”的充分而不必要条件； ②，使； ③，； ④若角的终边在第一象限，则的取值集合为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由，可判断出①错误，由当时，可判断出②错误，由当时，，可得到③正确，由可得，然后可判断出④正确. 【详解】因为， 所以“”是“”的必要不充分条件，故①错误 因为当时，，即，故②错误 因为当时，，所以，所以，故③正确 因为角的终边在第一象限，即，所以 当为奇数时，在第三象限， 当为偶数时，在第一象限， 所以的取值集合为，故④正确 综上：不正确命题的个数是2 故选：B 【点睛】本题考查的知识点：指对数函数的性质，三角函数的概念及其在每个象限符号特点，属于基础题. 2．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）已知为第二象限角，那么是第 象限角． 【答案】一、二、四 【分析】结合第二象限角的表示可得，讨论确定其所在选项. 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴， 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，，属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故答案：一、二、四 3．（23-24高一下·上海·课后作业）（1）如果角的终边在第二象限，讨论的终边所在的位置； （2）由此可否得出在其他几个象限的结论？请画出的终边在第一､二､三､四象限时，的终边所在的位置； （3）类似地讨论的位置(可设在第一象限，讨论终边的位置，并写出其他几个象限的情形). 【答案】（1）第一象限或第三象限；（2）可得出，图像见解析；（3）的终边在第一象限，的终边在第一或第二或第三象限；的终边在第二象限，的终边在第一或第二或第四象限；的终边在第三象限，的终边在第一或第三或第四象限；的终边在第四象限，的终边在第二或第三或第四象限； 【分析】（1）当角的终边在第二象限，得，则，分k是奇数和是偶数进行讨论； （2）确定的终边在第一、二、三、四象限时，得出的范围，进而确定的终边所在的位置，结合象限，画出图形即可； （3）同理（1）（2），讨论的终边位置. 【详解】（1）由角的终边在第二象限，得，则， 当k为奇数时，的终边在第三象限，当k为偶数时，的终边在第一象限. （2）由（1）可得，当的终边在第一、二、三、四象限时，的终边分别在第一或第三、第一或第三、第二或第四、第二第四象限，如图： 终边在第一象限  终边在第二象限    终边在第三象限   终边在第四象限 （3）当的终边在第一象限时，即，，则， 当时，的终边在第一象限； 当时，的终边在第二象限； 当时，的终边在第三象限； 的终边在第一或第二或第三象限， 推广可知：当的终边在第二象限时，的终边在第一或第二或第四象限； 当的终边在第三象限时，的终边在第一或第三或第四象限； 当的终边在第四象限时，的终边在第二或第三或第四象限 【点睛】方法点睛：本题考查已知，推导象限角的方法，常规解法为：写出已知角的范围表达式，再求出对应范围表达式，讨论取1、2、3、4、…时终边对应象限角的分布情况，然后总结出一般规律. 【经典例题九 用弧度制表示角的集合】 【例9】（2024高一·全国·专题练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧度制表达出，进而表达出与角的终边相同的角的集合. 【详解】因为，且角度和弧度不能在一个集合中同时使用， 故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D 1．（2024高一·全国·专题练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出两条边界所表示的角，数形结合得到角的取值范围. 【详解】阴影部分的两条边界分别是，角的终边， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高一下·上海普陀·期末）走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于 . 【答案】. 【分析】设时针转过的角的弧度数为，可知分针转过的角为，于此得出，由此可计算出的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值的值. 【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为， 由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为， 由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于， 故答案为. 【点睛】本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题. 3．（23-24高一下·全国·课后作业）讨论以下三个式子的意义： 谈谈引入弧度制的好处． 【答案】答案见解析 【分析】利用代数式的意义结合弧度制的优势求解即可. 【详解】表示一个角度与一个三角函数的和， 表示一个弧度与其对应的正弦值的和， 表示取不同的数时，这个代数式的值， 引入弧度制可以使角与实数相对应，方便计算，也使得对应函数的定义域为全体实数，方便在直角坐标系中表示出来（答案不唯一，合理即可）. 【经典例题十 角度化为弧度】 【例10】（24-25高一下·上海·阶段练习）体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则化成弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制转化公式求解. 【详解】. 故选：B 1．（23-24高一下·上海奉贤·期末）将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制和角度制的互化公式，即可求解. 【详解】. 故选：B 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）写出一个与角终边相同的正角： （用弧度数表示）. 【答案】（答案不唯一，符合，即可） 【分析】终边相同的角之间相差或可得答案. 【详解】与角终边相同的角： 又题目要求正角，可取，化为弧度数为.答案不唯一 故答案为：（答案不唯一，符合，即可） 3．（23-24高一·上海·课后作业）已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？ 【答案】小轮转动的角是，弧度，小轮圆周上的点每秒转过的弧长为 cm 【分析】通过相互咬合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度，再通过大轮的转速，得到小轮的转速 【详解】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿， 所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿， 所以小轮转动了周，即，， 所以当大轮的转速为150r/min时，小轮的转速为r/min， 所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为 ， 因为小轮的半径为10cm， 所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长 cm 【经典例题十一 弧度化为角度】 【例11】（23-24高一·全国·课堂例题）化为角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度化角度公式直接求解即可. 【详解】. 故选：B 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（    ） ①；        ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①不正确； 由，且，可得为等边三角形，所以，所以②不正确； 由扇形的弧长公式，可得的长度为， 所以扇形的周长为，所以③正确； 由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④不正确. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海青浦·期中）已知，若与的终边相同，且，则 【答案】 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解. 【详解】因为与的终边相同， 且，即， 所以， 故答案为：或 3．（23-24高一·全国·课堂例题）设，. (1)将用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限； (2)将用角度表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有的角. 【答案】(1)，第二象限 (2)；， 【分析】（1）利用将角度化为弧度，并得到其所在象限； （2）利用将弧度化为角度，并写出与终边相同角的表示，根据范围列不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以的终边在第二象限； （2），设， 因为，所以，所以或， 所以在内与终边相同的角是，. 【经典例题十二 弧长的有关计算】 【例12】（24-25高一下·上海杨浦·期末）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，. 【详解】 如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得，又，所以. 故选：A 1．（24-25高一下·上海闵行·期末）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮，大轮有个齿，小轮有个齿，大轮每分钟转圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件求出小齿轮每分钟转过的圈数，再求出小齿轮每秒钟转过的弧度数，由弧长公式求弧长. 【详解】由大轮有个齿，小轮有个齿，大轮每分钟转圈，得小轮每分钟转的圈数为圈， 因此小轮每秒钟转的弧度数的绝对值为， 所以小轮每秒转过的弧长是（）. 故选：B. 2．（24-25高一下·天津·阶段练习）如图，扇形的面积等于，它的弧长等于，则弦 的长为 ．    【答案】 【分析】由扇形面积公式可得，从而求得，再根据即可求解. 【详解】设圆心角为，半径为， 由扇形面积公式，可得，解得， 所以， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海宝山·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【答案】(1)， (2)，栅栏长度的最小值为40米 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得 所以， （2）依题意可得弧长，弧长，所以栅栏的长度 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米． 【经典例题十三 扇形面积的有关计算】 【例13】（24-25高一下·广东广州·阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形半径为（   ） A．4 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用扇形的面积公式列方程求半径. 【详解】设扇形的圆心角大小为，半径为r，， 由题意得：扇形的面积为，可得，解得． 故选：D 1．（23-24高一下·上海徐汇·开学考试）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，计算，则阴影部分的面积为. 【详解】由题意，扇形的圆心角为，且 所以, 所以， 且, 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用扇形半径表示直角三角形和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解. 【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为， 在中， 则的面积为， 由题意得 所以，所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海松江·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 【答案】(1)米 (2)元 【分析】（1）利用弧长计算公式计算即可； （2）设，米，利用扇形环面的展台周长，表示出与的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得. 【详解】（1）弧的长度，弧的长度， 所以扇形环面展台周长为：米； （2）设，米， 则弧的长度，弧的长度， 因为该扇形环面的周长为米，所以，即， 整理得， 则该扇形环面展台的面积：平方米， 所以布置该扇形环面展台的总费用为：元. 【经典例题十四 扇形中的最值问题】 【例14】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案. 【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，， 由题有， 则，当时取等号. 故选：D 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【分析】由题意点P，Q都不再运动，且满足已知条件时，为的中点，且，则为的中点，连接交于，求出，即可得解. 【详解】当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置， 此时，， 则要使当点P，Q都不再运动，且满足题中两个条件时， ，且点离最远，则为的中点， 所以为的中点， 连接交于， 因为四边形ABCD是边长为的正方形， 所以，为的中点， 又因，为的中点， 所以，， 所以， 因为为的中点， 所以， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海静安·期末）已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为 ，此时扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】 4 2 【分析】根据扇形的面积公式，结合配方法和弧长公式进行求解即可. 【详解】设扇形所在圆周的半径为r，弧长为l，有， ， 此时，，． 故答案为：； 3．（2024·上海黄浦·二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度. (1)求关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式； （2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意，可算得，． 因为，所以， 所以，. （2）解：根据题意，可知 ， 当时，. 综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为. 【经典例题十五 扇形弧长公式与面积公式的应用】 【例15】（23-24高一下·上海嘉定·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积. 【详解】 可得：扇形面积， 三角形面积， 可得弓形面积， 故选：C 1．（23-24高一下·上海崇明·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 【答案】C 【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十五步，外周一百二十五步，列关系式即可. 【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：， 则“该环田”的面积为平方步. 故选：C 2．（23-24高一下·上海虹口·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    【答案】 【分析】如图所示，过作于，的延长线交于，利用锐角三角函数求出、，即可求出，再由弧田面积公式计算可得. 【详解】如图所示，过作于，的延长线交于.    则，，所以，， 所以，， 所以矢为， 则弧田面积是. 故答案为：；. 3．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可． （2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解； （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】（1）由题意知，所以弧长. （2）由题意得，解得（舍），，故扇形圆心角为. （3）由题意知， 所以， 所以当时，取得最大值，此时，. 1．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【答案】B 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 2．（24-25高一·上海·随堂练习）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得与终边相同，再由终边相同角表示方法判断即可. 【详解】∵，∴与终边相同， 所以与的终边相同的角可以表示为或或， 又角度制与弧度制不可同时混用，符合题意的只有C． 故选：C. 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用弧度制的定义计算出每个节气所表示的弧度数，即可求解. 【详解】由题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每相邻的两个节气对应的弧度数为， 则从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气， 所以转过的弧所对的圆心角的弧度数为. 故选：C. 4．（2024·上海·模拟预测）在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】针对实际问题建模转化为圆的弧长与圆心角、半径之间的关系，就圆心角的范围进行分类,借助于直角三角形计算即得. 【详解】当列车行驶的距离为时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为， 车轮转过的角度为点的初始位置为，设车轮的中心为，当 时，作，垂足为，如图， 则到铁轨表面的距离为； 当时，，作，垂足为，如图， 则， 到铁轨表面的距离为； 当在其它范围均可得到，点到铁轨上表面的距离为. 故选:B. 5．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连结，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是（    ）      A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】设射线对应的角为且，由题设可得，故可得满足条件的的个数. 【详解】设射线对应的角为且， 故区域Ⅰ的面积为， 区域Ⅲ的面积为， 区域Ⅱ的面积为， 由题设有， 整理得到，因为，故此时仅有两解， 故选：C. 6．（24-25高一下·上海·期末）是第 象限角. 【答案】三 【分析】根据终边相同的角判断象限角. 【详解】因为，而终边在第三象限， 所以是第三象限角. 故答案为：三. 7．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ． 【答案】 【分析】由题知的终边与角的终边相同，再根据终边相同的角的集合求解即可. 【详解】解：的终边与的终边关于直线对称， 所以的终边与角的终边相同， 所以的取值集合为 故答案为： 8．（23-24高一·上海·课堂例题）填空题： （1）若为第二象限的角，则为第 象限的角； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则与的关系是 ； （3）若角与满足关系，则角与的终边关于 对称． 【答案】 三 轴 【分析】根据象限角的定义解答（1）；根据对称性结合终边相同的角的表示即可解答（2）；根据终边相同角的定义解答（3）； 【详解】（1）若为第二象限的角，则， 所以， 所以，所以为第三象限角； （2）如图，设角的终边为，角的终边为， 角关于原点对称的角为终边是，对应的角表示为， 角关于轴对称的角为终边是，对应的角表示为， 所以， 即， 由于，， 故. （3）因为角和满足关系：， 因为与的终边关于轴对称， 而与的终边相同， 所以角与的终边关于轴对称. 故答案为：三；；轴 9．（23-24高一下·上海·期中）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ． 【答案】. 【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案. 【详解】第一次是以为旋转中心， 以为半径旋转， 此次点走过的路径是. 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是. 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是. 故答案为:. 10．（2024高一下·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    【答案】 【分析】根据题意，由题中条件结合弧田面积公式求解即可． 【详解】   如图，由题意可得，． 在中，可得，， 则， 所以矢． 由， 得弦， 所以弧田面积弦矢 . 故答案为：． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 【答案】(1) ,第一象限角 (2) ,第三象限角 (3) ,第四象限角, (4) ,第二象限角 【分析】根据终边相同的角的公式，写出即可. 【详解】（1） 是第一象限的角, 是第一象限的角; （2） 是第三象限的角, 是第三象限的角; （3） 是第四象限的角, 是第四象限的角; （4） 是第二象限的角, 是第二象限的角. 12．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角． 【答案】第二或第四 【分析】根据条件得到，再对分类讨论，分和，即可求出结果. 【详解】因为是第三象限的角，所以， 得到， 当时，，此时是第二象限的角， 当时，，此时是第四象限的角， 所以是第二或第四象限的角. 13．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长； （2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可. 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 14．（24-25高一下·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 15．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在型槽上的横截面图，已知图中为等腰梯形（∥），支点与相距8，罐底最低点到地面距离为1，设油罐横截面圆心为，半径为5，，求：型槽的横截面（阴影部分）的面积.【参考数据：，，，结果保留整数】 【答案】20 【分析】利用梯形面积，减去弓形面积，求得阴影部分面积. 【详解】连接，过作交于，交劣弧于.过作交于，过作交于.由于，，所以，所以，在直角三角形中，，同理求得，所以，故梯形的面积为.在直角三角形中，故，所以扇形的面积为，而三角形的面积为，所以弓形的面积为，故阴影部分面积为. 【点睛】 本小题主要考查与圆有关的面积计算，考查梯形面积公式、扇形面积公式，考查分析与思考、解决问题的能力，属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $$