精品解析：重庆市渝北区2024-2025学年上学期期末质量检测八年级数学试题

2024年秋季学期学业质量监测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 在一个三角形中，三个内角之比为，则这个三角形形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 5. 已知，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 6. 某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务．设原来每天生产台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直角三角形是轴对称图形 B. 经过线段中点的直线是这条线段的对称轴 C. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 D. 如果两个三角形全等，则它们关于某直线成轴对称 8. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，垂足分别为，，，交于点，已知，，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 对两个整式，进行如下操作：将整式加上，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果，加上，结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果加上，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果，加上，结果记为，称为第四次操作，…，以此类推，下列四个说法：①第五次操作的结果；②；③当，时，；④当时，的值为整数时有3种情况．其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 氢原子的半径约为，将用科学记数法表示为________. 13. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 14. 已知，，则______． 15. 已知，，，为正整数，则______． 16. 在中， ，， ，点是中点，点在上，且，，相交于点，则四边形的面积为______． 17. 已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为______． 18. 一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位与百位数字相同，十位与个位数字相同，则称这个数为“协同数”．将千位与个位数字交换，百位与十位数字交换，得到一个新的“协同数”，并规定．则______；若已知数为“协同数”，且千位与十位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最小值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简÷（－）,然后再从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值 21. 数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） （2）求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 22. 如图，在中，点，，的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，点，，关于轴的对称点分别是，，，请写出点，，的坐标； （2）求以，，，为顶点的四边形的面积． 23. “路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 24. 如图，小北在公园玩双层型滑梯，每层楼梯的高度相同，都为2米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为5米的卷尺 测量步骤 ①测量出线段的长度； ②测量出线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想左右两个滑梯和所在直线的位置关系，并加以证明． 25. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 1 第二行 1 1 各项系数和为 第三行 1 2 1 各项系数和为 第四行 1 3 3 1 各项系数和为 … … … … 此图揭示了（为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）多项式展开式共有 项，第二项的系数为 ，各项系数和为 ； （2）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，…，记，，，…，请完成下列问题： ①计算； ②计算； 26. 已知与为等腰直角三角形，． （1）如图1，若线段与相交于点，，求的度数； （2）如图2，连接，，点是的中点，求证：； （3）如图3，连接，，延长和相交于点，过作垂直于点，若，，请直接用含有，的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期学业质量监测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使得这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故B是轴对称图形； 选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故此选项不符合题意； B. 与不是同类项，不能相加运算，原计算错误，故此选项不符合题意； C. ，原计算错误，故此选项不符合题意； D. ，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 要使分式有意义，则需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可得，解得， 故选：A． 4. 在一个三角形中，三个内角之比为，则这个三角形形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 设较小的角为α，则另两个角为，，根据三角形内角和定理得到，求出α，再求出最大角的度数，即可判断． 【详解】解：在一个三角形中，三个内角之比为， 设较小的角为α，则另两个角为，， 根据三角形内角和定理得，， 解得， ∴， ∴这个三角形是钝角三角形， 故选：A． 5. 已知，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 先根据平方差公式计算，再代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴，即， 故选：B． 6. 某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务．设原来每天生产台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并根据相等关系列出方程． 根据完成前一半所用时间+后一半所用时间=原计划所用时间-2可列出方程． 【详解】解：设原来每天生产台呼吸机， 根据题意可列方程：， 故选：B． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直角三角形是轴对称图形 B. 经过线段中点的直线是这条线段的对称轴 C. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 D. 如果两个三角形全等，则它们关于某直线成轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 根据轴对称的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、经过线段中点的且垂直于线段的直线是这条线段的对称轴，故本选项不符合题意； C、如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，故本选项符合题意； D、如果两个三角形全等，则它们不一定关于某直线成轴对称，故本选项不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线性质可推出，通过直角三角形性质和三角形外角定义即可求出的度数. 【详解】解：是的垂直平分线， ， . ，， ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角定义，解题的关键在于熟练掌握线段的垂直平分线性质. 9. 如图，在中，，，垂足分别为，，，交于点，已知，，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直的应用，对顶角的性质，三角形全等的判定和性的应用，熟练掌握全等是解题的关键． 根据，，得，得到，结合，得，设，利用三角形全等证明计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴ 解得． 即 故选：D． 10. 对两个整式，进行如下操作：将整式加上，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果，加上，结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果加上，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果，加上，结果记为，称为第四次操作，…，以此类推，下列四个说法：①第五次操作的结果；②；③当，时，；④当时，的值为整数时有3种情况．其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用题干的规定：，，，，……，得到，利用此规律对每个说法进行判断即可．本题主要考查了整式的加减，数字规律，分式的运算等，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， …… ∴， ∴， 故说法①正确； ， ， ∴， 故说法②正确； ， ， 当，时，， 故说法③正确； 当时，， ， ∴， ∵的值为整数， ∴，， ∴，0，，， 又为正整数， ∴，， 故故说法④错误， 正确的说法有①②③，共3个； 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据零指数幂法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 12. 氢原子的半径约为，将用科学记数法表示为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据用科学记数法表示较小的数的方法进行求解即可． 【详解】=， 故答案为：． 【点睛】科学记数法的表示形式为 的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 13. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 14. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：． 根据完全平方公式得出，再代入求出即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知，，，为正整数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识的逆运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 逆运用同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识进行求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， 又∵， ∴原式， 故答案为：． 16. 在中， ，， ，点是中点，点在上，且，，相交于点，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据点F是的中点得，，设，则，，根据得，，设，则，，，进而得，由此得，然后求出，进而得y，从而求出四边形的面积． 此题主要考查了三角形的面积，理解等底（或同底）等高（或同高）的两个三角形的面积相等，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴设， ∴，， ∵， ∴，， 设，则，如图所示： ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 17. 已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为______． 【答案】1##1个 【解析】 【分析】根据分式方程的解、增根的定义确定m的取值范围，再根据一元一次不等式组的整数解的个数进一步确定m的取值范围，进而确定整数m的值即可．本题考查解一元一次不等式组，分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，理解整数解的定义是正确解答的关键． 【详解】解：解分式方程，去分母，得：， 解得， 方程的解为正数， ∴ 解得：， 当时是方程的增根， ， 解得， 且； 解不等式组，由， 解得， 由， 解得， 此不等式组有且仅有3个整数解， ， ， 综上，； 所有符合条件的整数的值为5，共1个 故答案为：1． 18. 一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位与百位数字相同，十位与个位数字相同，则称这个数为“协同数”．将千位与个位数字交换，百位与十位数字交换，得到一个新的“协同数”，并规定．则______；若已知数为“协同数”，且千位与十位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据定义可得，，然后代入计算即可； （2）设为，则为，根据定义可得的值，再根据题意推理即可． 本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握上述知识点和理解题目中的新定义是解题的关键． 【详解】解：（1）根据定义得：， 故答案为：； （2）设为，则为， 根据题意： ∵是一个完全平方数， ∴是一个完全平方数， ，且均不为0， ∴或， ∴或或或或或或或或或或， ∴的最小值为：， 故答案为：． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据单项式乘多项式、完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简÷（－）,然后再从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值 【答案】，4 【解析】 【分析】先将原分式进行化解，化解过程中注意不为0的量，根据不为0的量结合x的取值范围得出合适的x的值，将其代入化简后的代数式中即可得出结论． 【详解】解：原式===． 其中，即x≠﹣1、0、1． 又∵﹣2＜x≤2且x为整数， ∴x=2． 将x=2代入中得：==4． 【点睛】考点：分式的化简求值． 21. 数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） （2）求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 【答案】（1） 作图如图所示： （2） 证明：∵平分， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴（平角的定义） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）证明得出，进而即可得到结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 22. 如图，在中，点，，的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，点，，关于轴的对称点分别是，，，请写出点，，的坐标； （2）求以，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． ，， （2）20 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以，，，为顶点的四边形的面积为． 23. “路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天修，乙工程队每天修 （2）天 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排甲工程队施工天，则乙施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； 【小问2详解】 解：设安排甲工程队施工天，则乙施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排甲工程队施工天． 24. 如图，小北在公园玩双层型滑梯，每层楼梯的高度相同，都为2米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为5米的卷尺 测量步骤 ①测量出线段的长度； ②测量出线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想左右两个滑梯和所在直线的位置关系，并加以证明． 【答案】（1）相等， 理由如下： 由题意可知，，米，． 在和中 ∴（SAS）， ∴，即和的长相等； （2）， 证明如下： 如图，延长交于点C． ∵， ∴． 由题意得， ∴ ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，找出已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解本题的关键． （1）由已知条件得出，，从而得证，根据全等三角形的对应边相等得证； （2）由，根据全等三角形的对应角相等得，再根据直角三角形两锐角互余，从而得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 1 第二行 1 1 各项系数和为 第三行 1 2 1 各项系数和为 第四行 1 3 3 1 各项系数和为 … … … … 此图揭示了（为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）多项式展开式共有 项，第二项的系数为 ，各项系数和为 ； （2）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，…，记，，，…，请完成下列问题： ①计算； ②计算； 【答案】（1）6，5，32 （2）①21；② 【解析】 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项，即可求解； 【小问1详解】 解：根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， … 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有6项，第二项的系数为，各项系数和为32； 故答案为：6，5，32． 【小问2详解】 ①由题意得：、、 ∴ ∴； ②由题意得：、、 ∴ ∴ ． 26. 已知与为等腰直角三角形，． （1）如图1，若线段与相交于点，，求的度数； （2）如图2，连接，，点是的中点，求证：； （3）如图3，连接，，延长和相交于点，过作垂直于点，若，，请直接用含有，的式子表示． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，延长至N，使，连接，则， 设与交于点O，与交于点K， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， 中，， ∴ ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解答； （2）如图2，延长至N，使，连接，则，证明，然后再证明，即可得结论； （3）如图3，过点A作于G，连接，证明，由面积相等可得，再证明RtRt，RtRt，即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，∵，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点A作于G，连接， ∵，，， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴RtRt（HL）， ∴， 设， ∵，， ∴RtRt（HL）， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $