精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第五高级中学2024-2025学年高三上学期第五次考试数学试卷

前郭五中2022级高三第五次考试 数学学科试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果复数，那么（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. －4 B. 4或－1 C. －1 D. －4或1 4. 已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 5. 已知圆锥的体积为，其侧面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 设是定义域为的奇函数，且．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 8. 已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（ ） A. ， B. 与相交，且交线平行于 C. ， D. 与相交，且交线垂直于 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一条对称轴是 C. 图象的一个对称中心是 D. 在上的值域为 11. 已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（    ） A. 若圆关于直线对称，则直线的方程为 B. 若直线与圆相切于点，则 C. 若直线与圆相切，则直线的方程为或 D. 若点是圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的极小值为______． 13. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 14. 在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 设函数，曲线在点处的切线方程为. 15. 求，的值； 16. 求的单调区间. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是中点． （1）求证： （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为，的周长为，面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程. 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断并证明数列是否具有性质； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭五中2022级高三第五次考试 数学学科试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念计算即可. 【详解】由，， ， 故选：C 2. 如果复数，那么（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模长的定义即可. 【详解】∵，∴. 故选：A. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. －4 B. 4或－1 C. －1 D. －4或1 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直得到向量数量积为0建立方程，求得实数的值. 【详解】∵，则， 解得或. 故选：D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：B 5. 已知圆锥的体积为，其侧面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式及体积公式化简得出最后计算母线即可. 【详解】由，得， 由，得， 因为，解得，所以. 故选：B. 6. 设是定义域为的奇函数，且．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合赋值法计算得解. 【详解】定义在上的奇函数，满足，, 所以. 故选：C 7. 若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，然后写出直线方程，联立直线方程和抛物线方程得到两交点横坐标的和与差，由直线与抛物线交点弦长公式求得线段的长. 【详解】抛物线中，则， ∴焦点坐标为， 则直线， 联立直线方程和抛物线方程得：，整理得， 设点，， ∴，， ∴. 故选：C. 8. 已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（ ） A. ， B. 与相交，且交线平行于 C. ， D. 与相交，且交线垂直于 【答案】B 【解析】 【分析】假设得到矛盾，确定与相交，设，过直线一点，作， 设与确定的平面为，根据，得到答案. 【详解】若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾， 故与相交，A错误； 设，过直线一点，作， 设与确定的平面为. 因为，所以，又，与相交，，所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，，又与相交，，所以， 又因为，，所以l与a不重合，所以，B正确，D错误； 因为，，，所以，C错误. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A和B选项，根据作差法即可判断C选项，举反例即可判断D选项. 【详解】因为，所以，，故A和B正确； 因为， 所以，故C错误； 令，，则， ，此时，故D错误. 故选：AB. 10. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一条对称轴是 C. 图象的一个对称中心是 D. 在上的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角公式，以及辅助角公式化简，即可根据周期的公式即可求解A，代入即可验证BC，根据整体法，即可结合三角函数的性质求解. 【详解】由可得， 对于A， 的最小正周期为，故A正确， 对于B，，故不是图象的一条对称轴，故B错误， 对于C， ，故图象的一个对称中心是，故C错误， 对于D，当，则，故， 故，故D正确， 故选：AD 11. 已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（    ） A. 若圆关于直线对称，则直线的方程为 B. 若直线与圆相切于点，则 C. 若直线与圆相切，则直线的方程为或 D. 若点是圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由直线过圆心，再结合直线的点斜式方程即可判断A，由勾股定理代入计算，即可判断B，分切线的斜率存在于不存在代入计算，结合列方程计算，即可判断C. 由的最大值为，即可判断D， 【详解】对于A中，由圆，得圆心，半径， 若圆关于直线对称，则直线经过圆心，所以直线的斜率为， 此时直线方程为，即，所以A正确； 对于B中，若直线与圆相切于点，， 则，，所以B正确； 对于C中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，若直线与圆相切，则直线的方程为或，所以C正确. 对于D中，由于，则的最大值为，所以D错误； 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的极小值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值. 【详解】对函数求导得， 令，可得或， 列表如下： x + 0 - 0 + y 增 极大值 减 极小值 增 所以函数极小值为. 故答案为：0 13. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由离心率求得的关系，再由双曲线中的平方和关系求得的关系，再由双曲线渐近线方程公式得到结果. 【详解】双曲线离心率，即， ∵， ∴双曲线的渐近线方程为：， 故答案为： 14. 在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，连接，根据等边三角形的性质及面面垂直的性质定理得平面，根据直角三角形的性质得的外接圆的圆心为M，所以三棱锥的球心在上，利用勾股定理求解球的半径，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】取中点，连接，由，得， 由于平面平面，且交线为，平面，故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心在上，且 设球半径为，则， 解得，故表面积为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 设函数，曲线在点处的切线方程为. 15. 求，的值； 16. 求的单调区间. 【答案】15. ， 16. 的单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，根据求的值即可； （2）由题意判断的符号，即判断的单调性，知，即，由此求得的单调区间． 【15题详解】 因为，所以. 依题设，，即， 解得. 【16题详解】 由（1）知. 由及知与同号， 令，则． 所以，当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增． 故是在区间上的最小值， 从而 综上可知，．故的单调递增区间为. 【考点】导数的应用；运算求解能力 【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是中点． （1）求证： （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）在正方形中，， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，，平面，所以平面． 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直面面，得到线面垂直平面，然后得到线线垂直，在正三角形中得到线线垂直，从而得到线面垂直平面，则线线垂直; （2）取中点，证明平面，设，然后建立空间直角坐标系，得到点坐标，通过平面内向量坐标求得两个面的法向量，由空间向量的夹角求得面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 侧面底面， 交线，取中点，连接，则，而平面， 平面． 设，建系如图， ，，，，， ，， 由（1）知平面， 平面的法向量为． 设平面的法向量为， ， ，令，，， 设平面与平面夹角为， . 18. 已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为，的周长为，面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到的关系，即可得到椭圆的标准方程. （2）设方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，根据即可得到直线的方程. 【小问1详解】 由题意得，， 因为的周长为，面积为， 所以， 又因为，所以，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意得，直线斜率存在， 设方程为，，， 由得， 则，即， 所以， 因为，， 所以， ， 因为， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断并证明数列是否具有性质； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 （3） 【解析】 【分析】（1）利用前三项可算等比数列的公比，从而可求后面的项，即可求出； （2）利用等比数列的定义进行证明，即可得到数列是不是具有性质； （3）利用前三项可算等比数列的公比，从而可得等比通项，再用累加法来求通项，这里需要进行讨论分析. 【小问1详解】 由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $