15.3平行四边形的性质与判定（3）课件2024-2025学年北京版数学八年级下册

1、平行四边形的定义 四边形 平行四边形 两组对边 分别平行 复习引入 1.边的性质： 2.角的性质： 平行四边形对边相等. 平行四边形对边平行. 平行四边形对角相等. 平行四边形邻角互补 内角和360° 外角和360° 位置关系 数量关系 数量关系 3.对角线的性质：平行四边形对角线互相平分 数量关系 5.对称性： 4.不稳定性 15.3 平行四边形的性质与判定（4） 平行四边形的判定 画一个平行四边形，你有哪些方法？ 你的作图依据是什么? 探索与发现 归纳总结1 文：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理1 符： ∵AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平行四边形） A D B C 今后推理的依据 文：对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理2 符： ∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四边形） 归纳总结2 A D B C O 今后推理的依据 1.作图：画四边形ABCD，使得AB∥CD 且AB=CD。 2.请你判定四边形ABCD的形状，并说明理由。 A D B C 证明： 在△ABC和△CDA中 AB= CD ∠BAC=∠DCA AC=CA ∴△ABC≌△CDA（SAS） ∴ 四边形ABCD就是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平行四边形) ∵AB//BC ∴∠BAC=∠DCA (两直线平行，内错角相等） ∴BC=AD 连接AC 文：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理3 符： ∵ AB∥ CD，AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） A D B C 归纳总结3 今后推理的依据 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(定义） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形的判定方法: 关于边 关于 对角线 及时小结 还有没有关于角的呢？请听后面分解 解析： ①依据：平行四边形定义 ②依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ③反例:等腰梯形 ④ 先证△AOB ≌△COD 得到 OB=OD 再依据对角线互相平分的四边形是平行四边形 A D B C O 在四边形ABCD中，AB//CD , AC与BD相交于点O 请你添加一个适当的条件使四边形ABCD是平行四边形。 你可以填添加的是下面的_________(只填序号） ①AD//BC ②AB=CD ③AD=BC ④OA=OC 精挑细选 ①②④ 已知: 如图,在 □ ABCD中,点E、F是A C上的两点，且AE=CF 求证:四边形BFDE是平行四边形 证明： A D B C F E 在□ ABCD中 AB DC (平行四边形的对边平行且相等） ∴∠BAE=∠DCF (两直线平行，内错角相等） ∴△ABE≌△CDF（SAS） ∴ BE=DF 在△ABE和△CDF中 AB= CD（已证） ∠BAE= ∠DCF（已证） AE= CF（已知） ∴ ∠AEB=∠CFD ∴ ∠BEF=∠DFE(等角的补角相等） ∴BE//DF （内错角相等，两直线平行） ∴BE DF（这步可以不写） ∴四边形BFDE是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形） 方法一 应用举例1 已知: 如图,在 □ ABCD中,点E、F是A C上的两点，且AE=CF 求证:四边形BFDE是平行四边形 在□ABCD中 证明：连接BD交AC于点O ∴AO=CO，BO=DO 又∵ AE=CF ∴OE=OF ∴四边形BFDE是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∵BO=DO，OE=OF A D B C F E O (平行四边形的对角线互相平分） 方法二 应用举例1 B A D C F E 证明： 在Rt△ABE和Rt△CDF中 BE= DF（已知） AB= CD (已知） ∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. ∴∠ABE= ∠CDF （全等三角形的对应角相等） 应用举例2 已知:如图：在四边形 ABCD中，AB=CD, AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.且BE=DF 求证：（1）四边形ABCD为平行四边形 Rt△ABE≌Rt△CDF（HL) ∴∠AEB= ∠CFD=90°（垂直定义） ∴AB//CD （内错角相等，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 提示： 两个直角三角形中， 出现SSA,就是我们熟悉的 HL B A D C F E 证明： ∵Rt△ABE≌Rt△CDF 已知:如图：在四边形 ABCD中，AB=CD, AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.且BE=DF 求证：四边形AECF为平行四边形 ∴AE//CF （垂直于同一直线的两直线平行） ∴四边形AECF是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） （2）连接CE和AF ， 提示：能否使用第一问中的结论 ∴AE= CF （全等三角形的对应边相等） ∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 另一种方法： 证明AE=CF后'第一问已证四边形ABCD是平行四边形。 易证：△ABF≌△CDE ∴ CE=AF ∴四边形AECF是平行四边形 （两组对边相等的四边形是平行四边形） 还有别的方法吗？ 应用举例2 user (u) - 3、如图，在□ ABCD中，直线EF∥AC，并且与BC、BA的延长线分别交于E、F，交CD于M，交AD于N。求证：EN=FM 拓展提升 证明： 在□ ABCD中 AB//CD ，AD//BC (平行四边形的定义） ∴CM//AF AN//CE ∵EF//AC ∴FM//AC EN//AC ∴四边形ACMF 和四边形ENAC都是平行四边形 ∴FM=AC EN=AC （平行四边形的对边相等） ∴EN=FM FN=EM吗？为什么？ (平行四边形的定义） 五、课堂小结 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形的判定方法: 1. 本节课你还有哪些收获？你印象最深的是什么？ 2.本节课你还有哪些疑问？ 课堂小结 作业：完成P35、36页的练习题 $$