2025年中考数学复习专题讲义：分类讨论问题

九年级数学中考复习专题:分类讨论问题 2025.1.10 【知识导航】 一、分类讨论的知识点有三大类: (1)由数学概念、性质、运算引起的讨论; (2)由图形的形状或位置引起的讨论; (3)由实际意义引起的讨论.分类讨论思想体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法. 二、分类的原则: (1)分类中的每一部分是相互独立的; (2)一次分类按一个标准; (3)分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复,也不遗漏. 【小题精练】 1.如图, ABC,点P为 ABC外一点(点P不在直线AB、BC、AC上),连接PB、PC.若∠PBA= ,∠PCA= ,∠BAC= ,对于① + ﹣ ;② ﹣ ﹣ ;③ ﹣ ﹣ ;④360 ﹣ ﹣ ﹣ ,则∠BPC的度数可能是 。 2.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为42 ,则底角的度数为 . 3.已知直角三角形的两条边长为6,8,那么斜边上的中线长是 . 4.如图,在 ABC中,∠B=90 ,AB=4,BC=6,以AC为斜边作等腰直角三角形ADC,连接BD,则BD的长为 . 5. 已知等腰三角形两边的长分别为4和7,则此三角形的周长为 . 6. 如图,等腰 ABC底边长为16cm,腰长为10cm,D是BC上一动点,当DA与腰垂直时, 则AD= cm. 7.已知函数y=(m+1)x2﹣4x+2(m是常数)的图象与x轴只有一个交点,则m= . 8.如图∠MAN=60 ,若 ABC的顶点B在射线AM上,且AB=6,动点C从点A出发,以每秒1个单位沿射线AN运动,当运动时间t是 秒时, ABC是直角三角形. 9.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,AB=4,P为射线AB上一点,若 ACP是等腰三角形,则AP的长为 . 10.若x为全体实数,则函数y=x2﹣2|x|+3与y=2x2﹣4x+3的交点有 个. 11.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(1,0),(0,2),经过点A的直线l⊥x轴,点P是直线l上第一象限内的一个动点.若 PAB是等腰三角形,则点P的坐标为 . 12.如图,在Rt ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC=10,D为AC的中点,点F在线段BD的延长线上,E是射线DF上的一个动点(不与点D重合),连接AE,CE,当 ACE是直角三角形时,BE的长为 . 13. 如图,在 ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,AB=40cm,动点P从点A出发在AB边上沿A B方向匀速运动,速度为vP=2cm/s,动点Q从点B出发在BC边上沿B C方向匀速运动,速度为vQ=1cm/s当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,则当点P运动 秒时, PBQ为直角三角形. 14. 在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后,一同学总结出很多全等三角形的模型,他设计了以下问题给同桌解决:如图,做一个“U”字形框架PABQ,其中AB=42cm,AP,BQ足够长,PA⊥AB于点A,点M从B出发向A运动,同时点N从B出发向Q运动,点M,N运动的速度之比为3:4,当两点运动到某一瞬间同时停止,此时在射线AP上取点C,使 ACM与 BMN全等,则线段AC的长 为 cm. 15. 如图, ABC中,AB=AC,∠A=30 ,射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转 角(0 < <75 ),与射线AB相交于点D,将 ACD沿射线CP翻折至 A′CD处,射线CA′与射线AB相交于点E.若 A′DE是等腰三角形,则∠ 的度数为 16.已知在 ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,∠BCD=∠A. (1)如图1,试说明CD=CB的理由; (2)如图2,过点B作BE⊥AC,垂足为点E,BE与CD相交于点F. ①试说明∠BCD=2∠CBE的理由; ②如果 BDF是等腰三角形,求∠A的度数. 【典型例题】 1.如图, ABC中,∠C=90 ,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C A B C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒. (1)当点P在线段AB上时,BP= cm.(用含t的代数式表示) (2)若 BCP为直角三角形,则t的取值范围是 . (3)若 BCP为等腰三角形,直接写出t的值. (4)另有一动点Q从点B开始,按B A C B的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.请直接写出t为何值时,直线PQ把 ABC的周长分成相等的两部分. 2.某古镇为发展旅游产业,吸引更多的游客前往游览,助力乡村振兴,决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动,价格如下表: 购票人数m(人) 10≤m≤50 51≤m≤100 m>100 每人门票价(元) 60 50 40 *题中的团队人数均不少于10人. 现有甲、乙两个团队共102人,计划利用“五一”假期到该古镇旅游,其中甲团队不足50人,乙团队多于50人. (1)如果两个团队分别购票,一共应付5580元,问甲、乙团队各有多少人? (2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票,比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元,问甲团队最少多少人? 3.在 ABC中,AB=AC,点D是直线BC上的一点(不与点B、C重合).以AD为腰作等腰 ADE(AE在AD的右侧),且AD=AE,∠BAC=∠DAE,联结CE. (1)如图1,当点D在线段BC上时,求证 ABD≌ ACE; (2)设∠BAC=x ,∠BCE=y ,求y关于x的函数解析式; (3)当∠BAC=40 时,直线DE与射线AC相交于点F,若 AEF为等腰三角形,求∠ADC的大小. 4.已知函数y1=ax2+3ax+1与y2=ax+5(a为常数,且a≠0). (1)若a>0,求证:y1与y2的函数图象总有两个公共点; (2)若a,当0<x<2时,比较y1与y2的大小,并说明理由; (3)当﹣4<x<1时,y1<y2,直接写出a的取值范围. 5.在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴,y轴于A(a,0),B(0,b),且满足b2﹣8b+16=0. (1)a= ,b= ; (2)点P在直线AB的右侧:且∠APB=45 ; ①若点P在x轴上(图1),则点P的坐标为 ; ②若 ABP为直角三角形,求P点的坐标. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$