第八章 实数（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第八章 实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算无理数 【解惑】估计的结果应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【融会贯通】 1．估算在哪两个数之间（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 2．若，则可以取到的最大整数为 ． 3．的值在两个相邻的整数和之间，则 ． 类型二、算术平方根的应用 【解惑】如果一个正方形的面积为5，那么这个正方形的边长是（   ） A． B．25 C． D． 【融会贯通】 1．如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 3．小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 类型三、平方根的应用 【解惑】已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 【融会贯通】 1．已知8.622＝73.96，若x2＝0.7396，则x的值等于（ ） A．86. 2 B．862 C．±0.862 D．±862 2．如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为，把这个等腰直角三角形以的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．    3．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 类型四、立方根的应用 【解惑】小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是（    ）． A．4 B．8 C．10 D． 2．每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 3．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而， ∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴， ∴， ∴59319的立方根的十位数字是3， ∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：1331的立方根是一个　　　位数，其个位数字是　　　； (2)仿照上面的方法求238328的立方根a，并验证a是238328的立方根． 类型五、实数的应用 【解惑】以下命题中，假命题有（    ）个 ①互补且有公共边的两个角是邻补角；②过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；③若，则是一个小于的整数；④若有理数，满足等式，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④是分数．其中正确的为（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．② 2．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 3．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 类型六、平方根与立方根的规律 【解惑】观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 【融会贯通】 1．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． ．．． ．．． ．．． (1)表格中x＝ ；y＝ ； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 规律： ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ①已知，则≈ ； ②已知，若，则 ． 2．观察下列式子： ①； ②； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 3．数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 类型七、实数中的规律 【解惑】我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【融会贯通】 1．观察下列等式：①；②；③． (1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______． (2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______． 2．【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式________． (2)请根据上面式子的规律填空：________． (3)计算：． 3．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③． (1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______． 对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值 类型八、实数中的新定义 【解惑】对于、，定义了一种新运算“”为：如：，． (1)计算：①_____；②_____． (2)若，，当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【融会贯通】 1．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 2．阅读下列材料，并回答问题： 任意两个有理数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是有理数，我们称这种性质为有理数的四则运算封闭性： 例如：，，， ，运算结果5，，6，都是有理数，但是整数就不具有四则运算封闭性．由此可见，并不是所有的数都具有封闭性； 小陈在学习无理数时发现，无理数也不具有四则运算封闭性，并且还发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零； 由此可得： 如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且． 运用上述知识解决下列问题： (1)实数是否具有封闭性？ (2)如果，其中a，b为有理数，那么 ． (3)如果，其中a，b为有理数，求的值． 3．【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________，________； (2)若，写出满足题意的的整数值________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1； (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________． 类型九、整数部分与小数部分 【解惑】已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分为． (1)分别求出，，的值； (2)求的平方根． 【融会贯通】 1．已知的平方根是的立方根是3，整数满足． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 2．阅读下列材料：，即，的整数部分为，小数部分为．规定实数的整数部分记为，小数部分记为，如：，．解答以下问题： (1)______，______，______； (2)求的值． 3．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 类型十、华罗庚口算立方根 【解惑】如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 【融会贯通】 1．【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗?请你按下面的步骤试一试： 第一步：∵，，， ∴．∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位数是9． 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题 (1)根据计算步骤，请计算12167的立方根，并书写详细过程． (2)填空：______． 2．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 按照下面的方法试一试： (1)①由，可以确定是__________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是__________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是__________，由此求得__________． (2)按照上述方法，直接写出389017的立方根__________． 3．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小龙的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为___________； (2)求． ①由，可以确定是___________位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是___________； ③如果划去后面的三位得到数，而，可以确定的十位上的数是___________，由此求得___________． (3)已知：和也是一个整数的立方，请用类似的方法求出和； 【一览众山小】 1．下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③的平方根是；④若正实数的平方根是和，则；⑤立方根等于本身的数是1和0．正确的有（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③ 2．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的小数部分是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则 ． 5．若单项式与的和仍是单项式，则的值为 ． 6．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 7．小云的作业中有这样一道题： 请画出数轴并把实数，，，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列． (1)你认为表示的点在______到______之间（填整数）； (2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务． 8．已知代数式（，且为整数）． (1)当时，是 （有理数/无理数）； (2)当时，通过画图在数轴上找出表示的点； (3)当时，可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 9．观察下列式子，定义一种新运算： ； ； ． (1)根据上面式子规律，请你想一想：_____：（用含的代数式表示）： (2)若，，试比较与的大小，并说明理由． 10．材料一：一个两位自然数m，满足各位数字之和小于或等于9，各位数字互不相同且均不为0，称为“尚美数”．将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，记．例如：时，，，． 材料二：若一个数M等于另一个整数N的平方，则称这个数是完全平方数． (1)直接判断：46______（填“是”或“不是”）“尚美数”，并直接写出：______； (2)已知两个“尚美数”，，若是一个完全平方数，且，规定，求P的最小值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算无理数 【解惑】估计的结果应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算的大小，再估算的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．估算在哪两个数之间（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】D 【分析】本题主要考查两个数的估算，熟练掌握根号几的估算是解题的关键．先对进行估算，再对整个式子进行估算． 【详解】解：， ． 故选D． 2．若，则可以取到的最大整数为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，解题的关键是确定的范围． 根据已知条件确定最大的范围，再结合题意即可求解． 【详解】解：∵， 又， ∴可以取到的最大整数为2， 故答案为：2． 3．的值在两个相邻的整数和之间，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数估算及整数部分，解题的关键是根据夹逼法求出在哪两个整数之间． 根据夹逼法估算，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故答案为：． 类型二、算术平方根的应用 【解惑】如果一个正方形的面积为5，那么这个正方形的边长是（   ） A． B．25 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，正方形的面积等于边长的平方，再根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积等于边长的平方，正方形的面积为5， ∴正方形的边长为， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：， 故选：． 2．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【答案】 6 否 【分析】本题考查了算术平方根的应用，能根据题意正确列出算式是解题关键． （1）大正方形的边长就是小正方形的对角线，求小正方形对角线即可； （2）根据长方形长宽之比为和面积求出长和宽，与正方形边长进行比较即可． 【详解】解：（1）由大正方形的面积， 得大正方形的边长； 故答案为：6； （2）设长方形纸片长为，宽为， 则， 得， 故， 故不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 故答案为：否． 3．小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长为，宽为； (2)能，理由见解析． 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：∵信封的长，宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， （负值已舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）能，理由：， ， ． ∵正方形贺卡的边长是， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 类型三、平方根的应用 【解惑】已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 【答案】A 【分析】根据平方根小数点的移动规律解答． 【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8； 故选：A． 【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位． 【融会贯通】 1．已知8.622＝73.96，若x2＝0.7396，则x的值等于（ ） A．86. 2 B．862 C．±0.862 D．±862 【答案】C 【详解】算术平方根的小数点向左移动两位，则被开方数的小数点向左移动一位，则根据题意可得：x=±0．862． 故选C. 考点：平方根的性质 2．如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为，把这个等腰直角三角形以的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．    【答案】/ 【分析】用含有t的代数式各相关线段的长，再利用阴影部分面积以及三角形面积求出的面积，继而根据线段的和差列出方程求解即可． 【详解】解：设移动的时间为，且； 则，，    ∵阴影部分面积为， ∴的面积为， 即， ∴， ∴（负值舍去） ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的定义，平方根的应用，掌握等腰直角三角形的定义以及梯形的面积公式是解题的关键． 3．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】本题考查平方根及应用， （1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）根据题意，得：， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 类型四、立方根的应用 【解惑】小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的定义的应用，正方体的体积等知识点，根据正方体的体积公式计算出这个正方体的体积，再根据立方根的定义解答，熟练掌握立方根的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】∵小华制作了一个棱长为的正方体，小夏制作的正方体体积是小华制作的正方体体积的8倍， ∴小夏制作的正方体体积是， ∴小夏制作的正方体的棱长为， 故选：C． 【融会贯通】 1．一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是（    ）． A．4 B．8 C．10 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键．直接利用已知得出立方体的体积，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：棱长为的正方体的体积为：， 一个正方体，它的体积是棱长为的正方体的体积的8倍， 这个正方体的体积为：， 这个正方体的棱长为：． 故选：A． 2．每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 3．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而， ∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴， ∴， ∴59319的立方根的十位数字是3， ∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：1331的立方根是一个　　　位数，其个位数字是　　　； (2)仿照上面的方法求238328的立方根a，并验证a是238328的立方根． 【答案】(1)两；1 (2)的立方根是62，验证见解析 【分析】本题看考查了立方根的推导技巧，读懂题意是解题的关键． （1）根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字． （2）按照题目提供的步骤，先确定238328的立方根是几位数，再根据238328的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数． 【详解】（1）解：∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数是1， 故答案为：两；1． （2）∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划除后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62， 验证：． 类型五、实数的应用 【解惑】以下命题中，假命题有（    ）个 ①互补且有公共边的两个角是邻补角；②过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；③若，则是一个小于的整数；④若有理数，满足等式，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 本题考查了命题的真假，邻补角的定义，平行线的判定，算术平方根的应用，实数的运算等，熟练掌握“等式中两侧含有无理数和有理数，则有理数项和无理数项分别相等”是解题的关键． 【详解】解：两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；只有公共边没有公共点的两个角不是邻补角，故①为假命题； 在同一平面内，过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；若不在同一平面内，则这两条垂线不一定平行，故②为假命题； ∵， ∴， 原式为：， 整理得：， 解得：，故③为假命题； ∵，均为有理数，且满足等式， ∴，， 解得：，， 则或，故④为假命题； 故选：D． 【融会贯通】 1．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④是分数．其中正确的为（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．② 【答案】D 【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得． 【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误； ②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确； ③两个无理数的积不一定是无理数，如，此说法错误； ④是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②， 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键． 2．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 3．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 类型六、平方根与立方根的规律 【解惑】观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 【答案】(1)，21 (2) 【分析】本题考查算术平方根，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）将原式化为题目规律中的形式，利用简便方法求出结果即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：，21； （2）解： ． 【融会贯通】 1．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． ．．． ．．． ．．． (1)表格中x＝ ；y＝ ； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 规律： ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ①已知，则≈ ； ②已知，若，则 ． 【答案】(1)，10 (2)规律见解析，①；②32400 【分析】（1）观察表格确定出与的值即可； （2）根据表格中的规律“算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍”，据此分别计算①②可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，10； （2）根据表中数据可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍； ①； ②． 故答案为：①；②32400． 【点睛】本题考查了算术平方根的知识，根据表格的数据发现规律是解题的关键． 2．观察下列式子： ①； ②； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)（或与互为相反数）； (3)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． 【详解】（1）观察规律可写出类似的等式，如：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）由规律可得：对于任意两个有理数，，若（或与互为相反数），则， 故答案为：（或与互为相反数）； （3）若若与的值互为相反数，则， 解得． 3．数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 【答案】自主探究：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，； 拓展延伸：， 【分析】（）自主探究：根据表格规律即可求解； （）应用迁移：根据表格规律即可求解； （）拓展延伸：被开方数的小数点（向左或者右）每移动三位，其立方根的小数点相应的向相同方向移动一位即可； 本题考查了算术平方根，立方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，再根据规律确定结果是解题的关键． 【详解】解：自主探究：根据表格规律可知，，，，， 由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， 故答案为：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，， 故答案为：，； 拓展延伸：，， 故答案为：，． 类型七、实数中的规律 【解惑】我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【答案】（1）；（2）120 【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义得出答案； （2）直接利用得出答案． 【详解】解：， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以； （1）根据题意，当时， 则； （2）． 【融会贯通】 1．观察下列等式：①；②；③． (1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______． (2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______． 【答案】(1)， (2)（n为正整数），见解析 【分析】（1）根据前3个等式反映的规律解答即可； （2）利用（1）的解答可得规律：，然后利用算术平方根的定义证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为； 第3个等式为：； 所以猜想第4个等式为：； ……， 第9个等式为：，即； 故答案为：，； （2）第个等式所反映的规律为：； 证明：∵n为正整数，； ∴（n为正整数）． 【点睛】本题考查了算术平方根的运算和规律问题，正确得出规律是解题关键． 2．【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式________． (2)请根据上面式子的规律填空：________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可； （2）所给是n+1个式子，根据规律即可得； （3）根据（2）得出的结论可知，利用规律即可得． 【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为， ∴第7个等式为：， 故答案为：； （2）解：根据材料中给出的规律可知：， 故答案为：； （3）解：根据（2）中的规律知， ． 【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，解题的关键是掌握是式子的规律． 3．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③． (1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______． 对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值 【答案】(1) (2)，49 【分析】（1）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）由题干信息归纳可得： ， ∴ ． 【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． 类型八、实数中的新定义 【解惑】对于、，定义了一种新运算“”为：如：，． (1)计算：①_____；②_____． (2)若，，当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，整数的无关型求参数的运用，理解定义新运算的运算方法，有理数的混合运算法则，整式的混合运算法则，无关项的计算方法是解题的关键． （1）根据材料提示的定义新运算的方法进行计算即可； （2）根据定义新运算的运算方法，整式的混合运算法则进行计算，再根据值与字母的取值无关，得该项系数为0，由此即可求解； （3）根据整式的混合运算化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，；； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与字母的取值无关， ∴， 解得，； （3）解： ， 当时，原式． 【融会贯通】 1．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 2．阅读下列材料，并回答问题： 任意两个有理数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是有理数，我们称这种性质为有理数的四则运算封闭性： 例如：，，， ，运算结果5，，6，都是有理数，但是整数就不具有四则运算封闭性．由此可见，并不是所有的数都具有封闭性； 小陈在学习无理数时发现，无理数也不具有四则运算封闭性，并且还发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零； 由此可得： 如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且． 运用上述知识解决下列问题： (1)实数是否具有封闭性？ (2)如果，其中a，b为有理数，那么 ． (3)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【答案】(1)有 (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了实数新定义运算，理解新定义，是解题的关键． （1）根据封闭性的定义进行求解即可； （2）根据，其中a，b为有理数，得出，，求出，，代入求出结果即可； （3）将等式整理得：，由有理数的四则运算封闭性得出结果即可． 【详解】（1）解：因为任意两个实数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是实数，所以实数具有封闭性． （2）解：∵，其中a，b为有理数， ∴，， 解得：，， ∴； （3）解：已知等式整理得：， ∴由有理数的四则运算封闭性可得： ， ∴． 3．【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________，________； (2)若，写出满足题意的的整数值________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1； (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________． 【答案】(1)4，6 (2)1或2或3 (3)3次 (4)255 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． （1）根据题意得，，，则，即可得出答案； （2）根据，，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ， ，， 故答案为：4，6； （2）解：，，， ∴， 或或， 故答案为：1或2或3； （3）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； （4）解： 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 类型九、整数部分与小数部分 【解惑】已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分为． (1)分别求出，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，估算无理数的大小，能够根据已知中的定义准确求出各个字母的值是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法可得，，的值； （2）先根据（1）求出的值，再由平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得：，， ∵的整数部分为，， ； （2），，， ， 的平方根为． 【融会贯通】 1．已知的平方根是的立方根是3，整数满足． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)11 【分析】本题考查的是平方根与立方根的综合应用； （1）根据平方根和立方根的性质可得，可求出a，b，再根据无理数的估算，可得c的值，即可； （2）把代入，进而求算术平方根即可求解． 【详解】（1）解：的平方根是的立方根是3， ， 解得． ， ． （2）解：， ， ， 的算术平方根是11． 2．阅读下列材料：，即，的整数部分为，小数部分为．规定实数的整数部分记为，小数部分记为，如：，．解答以下问题： (1)______，______，______； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据阅读材料解答即可求解； （）根据阅读材料解答即可求解； 本题考查了无理数的估算，实数的运算，解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：， ， ，， ， ，， 原式． 3．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3)的相反数为 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数等知识．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分． （1）由，即可得的整数部分与小数部分； （2）由，则可得的小数部分为a，同理可得的整数部分为b，代入则可求得值； （3）估算出的整数部分与小数部分，则得到x与y的值，从而可求得的相反数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，的小数部分为； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分为； ∴； （3）（3）∵， ∴， 即的整数部分为11，小数部分为， ∴， ∴， ∵的相反数为， ∴的相反数为． 类型十、华罗庚口算立方根 【解惑】如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 【答案】(1)两；2；8；42 (2) (3)39 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，理解题意，能够仿照题意的方法求算术平方根和立方根是解题的关键． （1）根据题意提供的思路和方法，进行推理验证得出答案即可； （2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可； （3）参照（1）的方法、步骤，计算立方根即可． 【详解】（1）解：①由，，可以确定是一个两位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：两；2；8；42． （2）①由，，可以确定是一个两位数； ②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则． 综上所述，． （3）①由，，可以确定是一个两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则． 故答案为：39． 【融会贯通】 1．【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗?请你按下面的步骤试一试： 第一步：∵，，， ∴．∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位数是9． 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题 (1)根据计算步骤，请计算12167的立方根，并书写详细过程． (2)填空：______． 【答案】(1)23 (2)0.81 【分析】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． （1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可； （2）可以先求的立方根，再把小数点往右移动两位即可； 【详解】（1）解：第一步：，，， ， 能确定12167的立方根是个两位数． 第二步：的个位数是7，， 能确定12167的立方根的个位数是3． 第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12， 而，则，可得， 由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23； （2）第一步：，，， ， 能确定531441的立方根是个两位数． 第二步：的个位数是1，， 能确定531441的立方根的个位数是1． 第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531， 而，则，可得， 由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81． 故， 故答案为：0.81． 2．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 按照下面的方法试一试： (1)①由，可以确定是__________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是__________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是__________，由此求得__________． (2)按照上述方法，直接写出389017的立方根__________． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)73 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （1）根据题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9， 故答案为：9； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是3， ∴求得 故答案为：3；39． （2）解：∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， ∵389017的个位数字是7， ∴可以确定的个位数字是3， ∵， ∴， ∴可以确定的十位上的数是7， ∴求得 故答案为：73． 3．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小龙的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为___________； (2)求． ①由，可以确定是___________位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是___________； ③如果划去后面的三位得到数，而，可以确定的十位上的数是___________，由此求得___________． (3)已知：和也是一个整数的立方，请用类似的方法求出和； 【答案】(1)5； (2)①两，②；③，； (3)， 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴求得 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， ∵的个位数字是， ∴可以确定的个位数字是， ∵， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴求得， ∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， ∵的个位数字是， ∴可以确定的个位数字是， ∵， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴求得， 【一览众山小】 1．下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③的平方根是；④若正实数的平方根是和，则；⑤立方根等于本身的数是1和0．正确的有（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，平方根、立方根的定义；根据实数与数轴，平方根、立方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：①实数与数轴一一对应，则数轴上有点能表示这个无理数，故①说法不正确； ②∵，∴， ∴，故②说法正确； ③∵， 的平方根是，故③说法正确； ④∵和是m的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴，故④说法正确； ⑤立方根等于本身的数是和 综上：正确的有②③④， 故选：A． 2．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数就是无限不循环小数进行计算即可． 【详解】解：无理数就是无限不循环小数，是无限不循环小数， 故选C． 3．已知，则的小数部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，由，可得，即可得的整数部分是，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故选：． 4．已知，则 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，得到，，解得，的值，代入，即可求解， 本题考查了，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求代数式的值，解题的关键是：熟练掌握根据非负性，确定代数式的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 5．若单项式与的和仍是单项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，同类项的定义，算术平方根的定义，根据单项式与的和仍是单项式，可知单项式与是同类项，根据同类项的定义列式求出，然后根据算术平方根的概念计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：． 6．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个分式相加，要注意找到计算规律和技巧． 分别求得的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可． 【详解】解：由题意得：， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ． 分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束． ， 故答案为：2024． 7．小云的作业中有这样一道题： 请画出数轴并把实数，，，在数轴上表示出来，再把这几个数按照从小到大的顺序排列． (1)你认为表示的点在______到______之间（填整数）； (2)如图是小云所画的数轴，请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)2；3 (2)图见解析， 【分析】本题考查无理数的估算、在数轴上表示实数．（1）根据估算的取值范围即可； （2）先化简绝对值，并估算，然后把数值表示在数轴上表示出来． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：． ， ， ． 将4个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知． 8．已知代数式（，且为整数）． (1)当时，是 （有理数/无理数）； (2)当时，通过画图在数轴上找出表示的点； (3)当时，可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)有理数 (2)数轴见解析 (3)不是偶数，不是奇数，理由见解析 【分析】（）把代入计算得出结果即可判断求解； （）把代入计算得出结果，再利用勾股定理把所得数在数轴上表示出来即可； （）利用反证法证明即可； 本题考查了无理数的定义，在数轴上表示无理数，反证法，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，是有理数， 故答案为：有理数； （2）解：当时，， 数轴表示如下： （3）解：当时，不是偶数，理由如下： 若是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵是偶数，是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数； 当时，不是奇数，理由如下： 假设是奇数，不妨设(的整数)， ∴， 整理得，， ∵为偶数，为奇数， ∴为奇数， ∵为偶数， ∴不成立， ∴不是奇数． 9．观察下列式子，定义一种新运算： ； ； ． (1)根据上面式子规律，请你想一想：_____：（用含的代数式表示）： (2)若，，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）由给出的式子得出运算的方法即可； （）分别求出两种运算的结果，然后求出即可判断； 此题考查了定义新运算的方法，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由式子规律可得，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ， ∴， ∴． 10．材料一：一个两位自然数m，满足各位数字之和小于或等于9，各位数字互不相同且均不为0，称为“尚美数”．将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，记．例如：时，，，． 材料二：若一个数M等于另一个整数N的平方，则称这个数是完全平方数． (1)直接判断：46______（填“是”或“不是”）“尚美数”，并直接写出：______； (2)已知两个“尚美数”，，若是一个完全平方数，且，规定，求P的最小值． 【答案】(1)不是，36 (2) 【分析】（1）根据尚美数的定义判断即可；根据的运算法则计算即可； （2）先求出，，根据，，，可得，再结合是完全平方数，可得的值可以为9、16、25，则可求得m为81、23；分情况要论，当m=81时，可得，即，根据，，可得n=10x+y为：26、45、64、83，则的最小值可求；当m=23时，可得，再根据，，可得，即故m=23的情况舍去；综合可得的最小值． 【详解】（1）∵4+6=10＞9， ∴46不是“尚美数”； ； 故答案为：不是，36； （2）∵， ∴，， ∴， 同理可得， ∵，，， ∴，， ∴，即 ∵是完全平方数， ∴的值可以为9、16、25， 当时， 即，则有a=8，b=1，则m为81； 当时， 即，则有a=2，b=3，则m为23； 当时， 即， 此时在，，条件下没有满足要求的a和b的值， 故舍去； 当m=81时， ∵，， ∴，整理得：， ∴， ∵，， ∴满足要求的x、y的数组有(2,6)、(4,5)、(6,4)、(8,3)， ∴对应的n=10x+y可以为：26、45、64（不合题意，舍去）、83（不合题意，舍去）， ∴此时的最小值为； 当m=23时， ∵，， ∴，整理得：， ∵，， ∴， ∴故m=23的情况舍去； ∴此时的最小值为． 【点睛】本题考查了有理数的运算以及新定义下的实数运算，理解新定义是解答本题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$