8.3 实数及其简单运算 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

8.3 实数及其简单运算 一、实数 1.实数的分类：实数包括有理数和无理数。有理数包括整数和分数，而无理数则是无限不循环小数，如某些数的平方根和立方根。 2.实数的相反数与绝对值：实数与其相反数是一对只有符号不同的数。在数轴上，它们的对应点关于原点对称。一个数的绝对值表示该数到0的距离，绝对值总是非负的。 二、实数的运算 1.运算顺序：实数混合运算时，应遵循先乘方、后乘除、再加减的顺序进行计算。同时，括号内的运算应优先进行。 2.运算法则：包括加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等。这些法则可以使计算更加灵活和高效。 3.特殊运算：包括带根号数的运算、去绝对值、去括号等。这些运算需要特别注意符号和运算顺序，以避免出错。 巩固课内例1:实数的绝对值、相反数 1．的绝对值是（   ） A．1 B． C． D． 2．填空： （1）的相反数是 ，绝对值是 ； （2）的相反数是 ，绝对值是 ； （3）若，则 ． 3．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 巩固课内例2:实数的运算 1．下列各式计算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例3:用计算器算实数 1．小凯以的顺序按键后，显示的结果为（    ） A．0.04 B．0.4 C．0.06 D．0.6 2．利用计算器计算： （保留两位有效数字）． 3．计算： （1） （2）用计算器计算：（结果保留小数点后两位）． 类型一、无理数 1．下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各数：，，，中，无理数有 个． 3．把下列各数的序号填入相应的括号里． ①        ②        ③        ④        ⑤0        ⑥ (1)整数：______． (2)分数：______． (3)无理数：______． 类型二、实数的概念 1．下列命题不是真命题的是（   ） A．是的平方根 B．的平方根是 C．是个负实数 D．已知是实数，则 2．的相反数是 ． 3．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 类型四、实数的比较大小 1．在0，，，，五个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．比较大小： ． 3．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序进行排列，用“<”连接：，4，． ∴_______<_______<_______<_______． 类型一、实数的分类 1．下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的0个数逐次增加中正数有个，非负整数有个，正分数有个，则 ． 3．将下列各数填入相应的括号内： 0，，，，，，，，，9，，…（相邻两个3之间依次多一个0），． 有理数：{                                                   }； 无理数：{                                                   }； 正整数：{                                                   }； 负整数：{                                                   }． 类型二、实数与数轴 1．如图，数轴上点P表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 3．已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示：    (1)化简：； (2)若实数，满足，求的立方根． 类型三、实数的应用 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 2．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 3．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 类型四、实数中的程序 1．以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 2．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 3．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 类型一、无理数估算 1．如图，幸福小区有一个75平方米的正方形花坛，则该花坛边长的值在下面哪两个整数之间（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 2．整数a满足，则 ． 3．阅读下列材料，解决相关任务： 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 任务： (1)约率是（   ） A．无理数    B．有限小数    C．整数    D．有理数 (2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 类型二、实数中的规律 1．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 2．设，则的值为 ． 3．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 类型三、实数中的新定义 1．现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 2．设，都是有理数，规定 ，则= ． 3．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出所有满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 类型四、无理数的整数部分和小数部分 1．已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．若的整数部分是，的小数部分是，则的值为 ． 3．阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 1．下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（） A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数 3．估算的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 4．比较大小： ．（填“”“”或“”） 5．比大且比小的整数是 （写出一个即可）． 6．我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ． 7．比较下列各数的大小： (1)和； (2)和． 8．（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． 9．实数和在数轴上对应的点如图所示． (1)将，，，按从小到大的顺序排列起来； (2)若实数为8的立方根，求代数式的值． 10．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 实数及其简单运算 一、实数 1.实数的分类：实数包括有理数和无理数。有理数包括整数和分数，而无理数则是无限不循环小数，如某些数的平方根和立方根。 2.实数的相反数与绝对值：实数与其相反数是一对只有符号不同的数。在数轴上，它们的对应点关于原点对称。一个数的绝对值表示该数到0的距离，绝对值总是非负的。 二、实数的运算 1.运算顺序：实数混合运算时，应遵循先乘方、后乘除、再加减的顺序进行计算。同时，括号内的运算应优先进行。 2.运算法则：包括加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等。这些法则可以使计算更加灵活和高效。 3.特殊运算：包括带根号数的运算、去绝对值、去括号等。这些运算需要特别注意符号和运算顺序，以避免出错。 巩固课内例1:实数的绝对值、相反数 1．的绝对值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的性质，先判断出与的大小关系，得出，再根据负数的绝对值是其相反数，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 故的绝对值是． 故选：D． 2．填空： （1）的相反数是 ，绝对值是 ； （2）的相反数是 ，绝对值是 ； （3）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和求一个数的绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可得出答案． 【详解】解：（1）的相反数是，绝对值是； （2）的相反数是 ，绝对值是； （3）∵， ∴． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 3．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，， (2)，， (3)，， 【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案； （3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案． 本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义． 【详解】（1）的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 巩固课内例2:实数的运算 1．下列各式计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，立方根和绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，根据分别计算两个立方根，再求和即可得到答案． 【详解】解：原式    故答案为： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根进行计算即可求解； （2）根据算术平方根，立方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 巩固课内例3:用计算器算实数 1．小凯以的顺序按键后，显示的结果为（    ） A．0.04 B．0.4 C．0.06 D．0.6 【答案】C 【分析】根据计算器的运算，可得算术平方根，根据实数的乘法，可得答案． 【详解】解：当他以的顺序按键后， 显示的结果为0.173×0.346＝0.059≈0.06， 故选：C． 【点睛】本题考查了计算器，正确利用计算器是解题关键，要精确到百分位． 2．利用计算器计算： （保留两位有效数字）． 【答案】0.56 【分析】首先熟练应用计算器，然后对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可求解． 【详解】利用计算器可算出 0.557750429，第一位0不是有效数字，其从左至右第三个有效数字是7，所以四舍五入得0.56， 故答案是：0.56. 【点睛】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，解题的关键是需要同学们熟记有效数字的概念：从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字． 3．计算： （1） （2）用计算器计算：（结果保留小数点后两位）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据求一个数的算术平方根，绝对值的性质展开计算即可； （2）用计算器计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，绝对值的性质，计算器的使用以及有效数字的问题，掌握好相关的基础知识是关键． 类型一、无理数 1．下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，首先计算平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：A、属于有理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、是整数，是有理数，故本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选B． 2．下列各数：，，，中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】此题主要考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数，根据定义即可判断．注意带根号的要开不尽方才是无理数． 【详解】解：是整数，是有理数；是无限循环小数，是有理数； 和符合无理数的定义， 故答案为：2． 3．把下列各数的序号填入相应的括号里． ①        ②        ③        ④        ⑤0        ⑥ (1)整数：______． (2)分数：______． (3)无理数：______． 【答案】(1)③⑤ (2)②⑥ (3)①④ 【分析】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键； （1）根据算术平方根及整数的概念可进行求解； （2）根据分数的概念可进行求解； （3）根据立方根及无理数的概念可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴整数的有，0； 故答案为③⑤； （2）分数有，； 故答案为②⑥； （3）无理数的有，； 故答案为①④． 类型二、实数的概念 1．下列命题不是真命题的是（   ） A．是的平方根 B．的平方根是 C．是个负实数 D．已知是实数，则 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，平方根，实数的概念，根据平方根，实数的概念逐项排除即可，解题的关键是理解有关的定义、定理及性质． 【详解】解：、是的平方根，原选项是真命题，不符合题意； 、的平方根是，原选项不是真命题，符合题意； 、是个负实数，原选项是真命题，不符合题意； 、已知是实数，则，原选项是真命题，不符合题意； 故选：． 2．的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数、相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 3．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 (4)错误，理由见解析 (5)错误，理由见解析 (6)错误，理由见解析 (7)错误，理由见解析 (8)正确，理由见解析 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可． 【详解】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误； （2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确； （3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误； （4）（错误）0是有理数；故答案为：错误； （5）（错误）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误； （6）（错误）如，虽然带根号，但，这是有理数；故答案为：错误； （7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误； （8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 类型四、实数的比较大小 1．在0，，，，五个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小比较，掌握无理数的估算是解题的关键．根据实数的大小比较求解即可，四个数中正数比0和负数大，即只比较，，即可． 【详解】解：， 在0，，，，五个数中，最大的数是， 故选：D． 2．比较大小： ． 【答案】/小于 【分析】题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键；根据估算和的大小，推出结果． 【详解】解：因为 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 3．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序进行排列，用“<”连接：，4，． ∴_______<_______<_______<_______． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小．根据从左往右，数轴上的数依次增大．即可求解； 【详解】解：数轴如下： ∴， 故答案为： 类型一、实数的分类 1．下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，实数包括有理数和无理数；整数和分数都属于有理数；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．找到有理数，即可确定正有理数的个数． 【详解】解：，，，，0，，为有理数； 为无理数； ∴，，，为正有理数， 故选：B 2．在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的0个数逐次增加中正数有个，非负整数有个，正分数有个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有，，0.3，21，，（每两个1之间的0个数逐次增加，有6个，则，非负整数有0，21，有2个，则， 正分数有，，0.3，有3个，则， 则． 故答案为：1． 3．将下列各数填入相应的括号内： 0，，，，，，，，，9，，…（相邻两个3之间依次多一个0），． 有理数：{                                                   }； 无理数：{                                                   }； 正整数：{                                                   }； 负整数：{                                                   }． 【答案】0，，，，，，，9，；，，，…（相邻两个3之间依次多一个0）；，，9；， 【分析】本题考查了实数的分类，掌握有理数、无理数的定义与特点是解题的关键．根据有理数、无理数、正整数及负整数的定义挑选即可． 【详解】解：有理数：{ 0，，，，，，，9，， }； 无理数：{，，，…（相邻两个3之间依次多一个0）， }； 正整数：{ ，，9，}； 负整数：{ ，， }． 类型二、实数与数轴 1．如图，数轴上点P表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴与实数、无理数大小比较等知识点，正确转化为算术平方根的形式是解题的关键． 根据数轴上的点处于3和4之间，即和之间，然后逐一判定比较即可． 【详解】解：A、由 ， 故该选项不符合题意； B、由 ， 故该选项不符合题意； C、由 ， 故该选项不符合题意； D、由 ， 故该选项符合题意． 故选D． 2．如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据题意可得四边形是正方形，利用割补法求出四边形的面积，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，四边形是正方形，且其面积为， ∴， ∴点表示的实数为， 故答案为：． 3．已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示：    (1)化简：； (2)若实数，满足，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，算术平方根的性质，熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的性质是解题的关键． （1）先根据数轴上点的位置判断出实数、的范围，进一步判断出绝对值和根号里面式子的正负，再利用绝对值和算术平方根的代数意义化简，去括号合并同类项，即可求解； （2）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出实数、的值，再代入求出的值，最后求立方根即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得，，， 所以， 即，， 所以原式 ； （2）解：因为，，， 所以，， 所以，， 所以， 故的立方根为：． 类型三、实数的应用 1．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 2．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 3．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 类型四、实数中的程序 1．以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 【答案】C 【分析】本题考查了代数式和实数的运算，理解题中程序图的含义是解题的关键． 根据选项依次输入计算判断即可． 【详解】解：A、输入的x为时，， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、当输入的无理数为：时，， ∴， ∴，为有理数，正确，不符合题意； C、当输入的x是1012时，输出， 当输入的x是时，， ∴， ∴，故选项错误，符合题意； D、由选项A得，当x为，输出的结果为0，正确，不符合题意； 故选：C． 2．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键． （1）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 3．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 类型一、无理数估算 1．如图，幸福小区有一个75平方米的正方形花坛，则该花坛边长的值在下面哪两个整数之间（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，正确估算无理数是解题的关键，直接利用平方数可知，从而估算无理数的大小． 【详解】解：正方形花坛的边长为米， ∵， ∴， ∴该花坛边长的值在8和9之间， 故选：B． 2．整数a满足，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是正确解答的前提． 根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而确定的整数值． 【详解】解：∵，满足整数a满足， ∴， 故答案为：4． 3．阅读下列材料，解决相关任务： 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值． 例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 任务： (1)约率是（   ） A．无理数    B．有限小数    C．整数    D．有理数 (2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数． 【答案】(1)D (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，读懂题意是解本题的关键． （1）是正分数，是有理数； （2）根据“调日法”的计算规则，计算求值即可． 【详解】（1）解：是正分数，是有理数． 故选：D； （2）解：， 首次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为． 且， ， 再次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为， 的近似分数为． 类型二、实数中的规律 1．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 2．设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 3．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解． （1）由所给等式得到规律不难写出第6个式子； （2）利用上述规律可知即可求值； （3）分析所给的等式的形式即可得出第n个等式 【详解】（1）解：①； ②； ③； …… 可得第6个等式为： （2）解： ； （3）解：用（为正整数）表示的等式为： 类型三、实数中的新定义 1．现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：， 故选：C． 2．设，都是有理数，规定 ，则= ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 3．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出所有满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）2；45；（2），2，3；（3）255 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ，； （2），，且， ，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴对100连续求根整数，3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255， 理由是：∵，，，， ∴，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 类型四、无理数的整数部分和小数部分 1．已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是无理数的估算和无理数的整数和小数部分，首先根据可以得到，所以可得的整数部分是，小数部分是，然后再代入代数式计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 的整数部分是， ， 小数部分是， ． 故选：C． 2．若的整数部分是，的小数部分是，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出的范围是解此题的关键． 根据题意求出、的范围，得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的小数部分为； （2）解：， ，， ，， ； （3）解： ， ∴， ∴， 又∵，其中是整数，且， ∴， ∴， ∴的平方根是． 1．下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数（无限不循环小数），理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．也考查了算术平方根． 【详解】解：A．是无限循环小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C．是无理数，故此选项符合题意； D．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．下列说法正确的是（） A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数 【答案】B 【分析】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴的关系，逐一判断即可解答． 【详解】带根号的数不一定都是无理数，如，是有理数，A选项错误； 无限不循环小数是无理数，B选项正确； 实数可以分为正实数、负实数和0，C选项错误； 能在数轴上表示出来的数不一定都是有理数，如可以在数轴上表示出来， 但不是有理数，D选项错误． 故选：B 3．估算的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 先估算出的值的范围，然后再估算出的值的范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的值在3到4之间． 故选：B． 4．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先比较与3的大小，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，比较与，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．比大且比小的整数是 （写出一个即可）． 【答案】3、4（任写一个即可） 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比大且比小的整数是3和4， 故答案为：3、4（任写一个即可）． 6．我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．比较下列各数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）根号外的数变为平方后移到根号内，然后比较根号内的数的大小即可； （2）先变为分母相同的两个数，然后比较分子的大小即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，=，， ∴． 8．（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)的长度为，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，利用平方根求解方程，三角形的面积公式等． （1）根据正方形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出正方形的面积，根据求一个数的平方根的方法即可求解； （2）根据题意可得，即可得出点表示的数； （3）根据题意得出，结合图形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：的长度为． 理由：根据题意，得， ． （2）解：∵， ∴， 故点表示的实数是． 故答案为：． （3）解：，三角形中边上的高为， ． 9．实数和在数轴上对应的点如图所示． (1)将，，，按从小到大的顺序排列起来； (2)若实数为8的立方根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的比较大小，立方根和算术平方根； （1）根据数轴得到，，然后比较大小即可； （2）先求出的值，然后得到，，，，再化简绝对值和算术平方根，最后合并解题． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ，， 将，，，按从小到大的顺序排列起来为． （2）解：实数为8的立方根， ， ． 由（1）可得，，， 原式． 10．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 (4)数轴见解析， 【分析】（1）由，可作出单位长度以3和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，即可解答； （2）设1个小正方形的面积为1，则5个小正方形的面积为5，即所拼成的大正方形的边长为，进而即可画出裁剪线和所拼得的大正方形； （3）由题意可求出正方形纸片的边长为．设长方形纸片的宽为，则长为，则可列出关于x的方程，再利用平方根解方程，即得出长方形纸片的长为，最后比较即可； （4）由，可作出单位长度以2和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以表示的点为圆心，以为半径画弧，与数轴右侧的交点即为．再画出表示的点，根据数轴的性质比较即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作；    （2）解：如图所示；    （3）解：不能． 理由：由题意可知这个面积为的正方形纸片的边长为， 设面积为的长方形纸片的宽为，则长为， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴长方形纸片的长为． ∵， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （4）解：在数轴上表示数和的点如图，    有数轴可知：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，数轴和利用平方根解方程．利用数形结合的思想是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$