8.2 立方根 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

8.2 立方根 一、立方根的定义 如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根，记作“ ”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数且不能省略。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 二、立方根的特征 1.正数的立方根是正数； 2.0的立方根是0； 3.负数的立方根是负数。 三、立方根的性质 1.任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个； 2.一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同； 3.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数； 4.利用开立方和立方互为逆运算关系，可以检验立方根的正确性。 四、立方根的表示方法 立方根用符号“ ”表示，被开方数写在根号内，根指数3写在根号左上角且不能省略。 五、实际应用 在实际应用中，立方根常用于求解与体积相关的问题，如球的体积公式等。 巩固课内例1:求一个数的立方根 1．8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 2．64的立方根为 ，6的平方根是 ． 3．求下列各数的立方根： (1)－1000； (2)－343； (3)． 巩固课内例2:立方根化简 1． （   ） A． B．2 C． D． 2． ． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型一、立方根的概念 1．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 2．若，则 ． 3．若与互为相反数，求的值． 类型二、求立方根 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．的立方根是 ，3的算术平方根是 ． 3．计算： (1) (2) 类型一、已知立方根求这个数 1．已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 2．若的立方根是，则 ． 3．已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 类型二、计算器算立方根 1．利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 2．利用计算器计算： ≈ （精确到0.01）． 3．用计算器求下列各式的值（结果精确到）： （1）；     （2）； （3）； （4）； （5）． 类型三、算术平方根与立方根的结合 1．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 2．若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 3．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 类型四、立方根的应用 1．一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 2．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ．（注：球的体积计算公式为） 3．小明和小红比赛搭积木，小红搭成的正方体，体积是，小明搭成的长方体，体积是，且长方体的宽和小红搭成的正方体的棱长相同，长方体的长和高相同． (1)求小红所搭积木的棱长； (2)小明和小红谁搭的积木高？ 类型五、立方根解方程 1．若则的值为（   ） A． B． C．或 D． 2．若，则 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 类型一、立方根中的规律问题 1．按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（    ） A． B． C． D． 2．若，， ． 3．我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 类型二、立方根的新定义问题 1．类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（    ） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 2．定义新运算：对任意实数a、b，都有，例如，，那么= ． 3．下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3）＝ ，＝ ． 1．实数的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 2．若， ，则的所有可能值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 4．的立方根是 ． 5．若，，则 ， ． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 ． 7．求下列各式中的未知数： (1)； (2)． 8．小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径． 9．已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 10．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①______，②______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2 立方根 一、立方根的定义 如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根，记作“ ”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数且不能省略。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 二、立方根的特征 1.正数的立方根是正数； 2.0的立方根是0； 3.负数的立方根是负数。 三、立方根的性质 1.任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个； 2.一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同； 3.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数； 4.利用开立方和立方互为逆运算关系，可以检验立方根的正确性。 四、立方根的表示方法 立方根用符号“ ”表示，被开方数写在根号内，根指数3写在根号左上角且不能省略。 五、实际应用 在实际应用中，立方根常用于求解与体积相关的问题，如球的体积公式等。 巩固课内例1:求一个数的立方根 1．8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键；根据可进行求解． 【详解】解：由可知：8的立方根是2； 故选A． 2．64的立方根为 ，6的平方根是 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了立方根、平方根的定义等知识点，根据立方根、平方根的定义计算即可熟练掌握立方根、平方根的定义是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴64的立方根为4， ∵， ∴6的平方根是， 故答案为：4，． 3．求下列各数的立方根： (1)－1000； (2)－343； (3)． 【答案】(1)－10 (2)－7 (3) 【解析】略 巩固课内例2:立方根化简 1． （   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求立方根，根据立方根的定义求解即可，也是解题关键． 【详解】解：． 故选A． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，解题的关键是根据立方根的定义来解答． 【详解】解：， 故答案为： 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)－1 (2)7 (3)0.3 (4) 【解析】略 类型一、立方根的概念 1．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根 C．的立方根是 D．立方根是它本身的只有 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解题即可． 【详解】解：A：负数有立方根，故此选项不合题意； B：正数有且只有一个立方根，故此选项符合题意； C：的立方根是，故此选项不合题意； D：立方根是它本身的有和和，故此选项不合题意． 故选：B ． 2．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了求立方根，正确理解立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义，可求出a的值，再代入计算，即得答案． 【详解】， ， ． 故答案为：5． 3．若与互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】本题考查了立方根的性质以及相反数的定义．由立方根的性质及相反数的定义可得，据此即可求解； 解：∵与互为相反数， ∴， 解得． 类型二、求立方根 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式性质，立方根的求解，利用立方根，二次根式的性质化简的运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A. 无意义，不能计算； B. ，原计算错误； C. ，计算正确；     D. ，原计算错误； 故选：C． 2．的立方根是 ，3的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、立方根，求出一个数的算术平方根、立方根即可． 【详解】解：的立方根是，3的算术平方根是， 故答案为：，． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确求解平方根和立方根是解题的关键． （1）先分别求出平方根和立方根，再计算加法即可； （2）先分别求出平方根和立方根，再计算加法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 类型一、已知立方根求这个数 1．已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 【答案】D 【分析】本题考查立方根，掌握一个数x的立方等于a，那么x叫a的立方根，表示为是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：设这个数是x，则 ∵，，， ∴或， 故选：D． 2．若的立方根是，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个数的立方根．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．据此求解即可． 【详解】解：的立方根是，则． 故答案为：． 3．已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，平方根、立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合的平方根是，的立方根为，则，再解出，即可作答． （2）把代入，得出，再求其的算术平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∴， 则的算术平方根是． 类型二、计算器算立方根 1．利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了计算器的使用，根据计算器各键的功能进行解答即可. 【详解】解：利用计算器求的值，其按键顺序正确的是： 故选：A. 2．利用计算器计算： ≈ （精确到0.01）． 【答案】6.06 【分析】首先熟悉计算器的求算术平方根和立方根的键，然后利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入取近似数即可． 【详解】解： 故答案为：6.06 3．用计算器求下列各式的值（结果精确到）： （1）；     （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】利用计算器进行求解即可得到答案 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【点睛】本题主要考查了用计算器计算算术平方根和立方根，解题的关键在于能够熟练使用计算器进行计算． 类型三、算术平方根与立方根的结合 1．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 2．若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 3．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为9的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， ∴的平方根是． 类型四、立方根的应用 1．一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 2．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ．（注：球的体积计算公式为） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，解答本题的关键在于熟练掌握立方根的概念及运算．根据球的体积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：设容器的半径是，则 ， 解得， 故答案为：． 3．小明和小红比赛搭积木，小红搭成的正方体，体积是，小明搭成的长方体，体积是，且长方体的宽和小红搭成的正方体的棱长相同，长方体的长和高相同． (1)求小红所搭积木的棱长； (2)小明和小红谁搭的积木高？ 【答案】(1)小红所搭积木的棱长为 (2)小明搭的积木高 【分析】本题考查了立方根的实际应用，平方根的实际应用． （1）根据正方体的体积公式，列出方程，根据求立方根的方法解方程，即可求出小红所搭积木的棱长； （2）根据长方体的体积公式，列出方程，根据求平方根的方法解方程，求出小明所搭积木的高，即可求解． 【详解】（1）解：设小红所搭积木的棱长为， 由题意，得， 解得， 小红所搭积木的棱长为． （2）解：设小明所搭积木的长和高为， 由题意，得， 可求出（负值已舍去）， 小明所搭积木的高为． ， 小明搭的积木高． 类型五、立方根解方程 1．若则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方的运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键；根据乘方运算法则即可； 【详解】解： ， 或， ， ， 则或 故选：C 2．若，则 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据立方根的定义解方程，即可求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故答案为：． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义，准确计算即可． （1）直接开平方即可； （2）两边同时除以，然后两边开立方即可． 【详解】（1）解： 或； （2）解： ． 类型一、立方根中的规律问题 1．按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字排列规律探索，二次根式定义，弄清题中的数字规律是解题的关键．第个式子的前一项是奇数的算术平方根，可表示为，后一项是正整数的立方根，可表示为，由此即得答案． 【详解】根据规律可知，第个式子的前一项为，后一项为，所以第个式子是． 故选A． 2．若，， ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 【答案】(1) (2)①两；②7；③2；④27 (3)这个正方形棱长是72 【分析】本题考查立方根的应用，理解立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据立方根的意义进行计算即可； （2）利用题目提供的方法进行计算即可； （3）利用立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考： ①∵，而， ∴， 由此得是两位数； ②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3， ∴的个位上的数是7； ③∵，且， 所以的十位上的数字是2； ④综合以上可得，； （3）解：设这个正方形棱长是x， 根据题意得：， 故， 求解如下： 第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2； 第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7； 综合以上可得，， 故这个正方形棱长是72． 类型二、立方根的新定义问题 1．类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（    ） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【答案】D 【分析】利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根， ∴A选项的结论不符合题意； ∵任何实数a都有奇数次方根， ∴B选项的结论不符合题意； ∵， ∴ ∴C选项的结论不符合题意； ∵， ∴ ∴D选项的结论符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键． 2．定义新运算：对任意实数a、b，都有，例如，，那么= ． 【答案】 【分析】根据题目所给的定义新运算，先求出的值，再求出的值，最后求出的立方根即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，立方根的求法，解题的关键是根据题意得到算式，然后由立方根的运算法则进行求解即可． 3．下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3）＝ ，＝ ． 【答案】（1）一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根； （2））①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3），； 【分析】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； （3）通过将数进行四次方即可得到答案． 【详解】解：（1）类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根； （2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根． （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）；（2）； 【点睛】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 1．实数的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根与立方根，属于基础题型．理解算术平方根与立方根的含义是解决本题的关键． 首先求出的值，然后根据算术平方根的计算法则得出答案． 【详解】解：， 的算术平方根为：， 故选：A． 2．若， ，则的所有可能值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根与立方根的含义，代数式求值，根据平方根与立方根的含义可得，，再进一步的计算即可. 【详解】解：，， ，， 则或， 故选C. 3．一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，先根据有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则分别计算，再根据正数和负数的定义判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则以及正负数的定义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴结果是负数的有个，即男同学有人， 故选：． 4．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题的关键，注意：a（）的算术平方根是，a的立方根是. 先求出，再求出2的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故答案为． 5．若，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，立方根的规律问题．根据被开立方的数的小数点向左每移动3位，则开立方的结果的小数点向左移动1位，被开立方的数的小数点向右每移动3位，则开立方的结果的小数点向右移动1位；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为： ；． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，算术平方根，立方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由数轴得，则，可化为，再进行整式的加减即可． 【详解】解：由数轴得， ∴ ∴ ， 故答案为：． 7．求下列各式中的未知数： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根解方程，掌握平方根、立方根的计算是解题的关键． （1）运用平方根的计算可得，由此即可求解； （2）先移项得，等式两边同时除以，再根据立方根的计算可得，由此即可求解． 【详解】（1）解： 等式两边同时开方得，， 移项得，， ∴； （2）解： 移项、合并得，， 两边同时除以得，， 等式两边同时开立方得 ，， 移项、合并得，， 等式两边同时除以得，． 8．小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据球的体积公式，可得答案． 【详解】解：设铅球的半径为， ∵铅球的体积（）， ∴， 解得， ∴铅球的半径为． 9．已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根． （1）根据平方根和立方根的意义求出字母m，n的值，再求的平方根即可； （2）求出p的值，再求的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的算术平方根为2， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是； （2）解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∴， ∴的立方根是． 10．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①______，②______． 【答案】(1)7，2 (2)， 【分析】分别根据题中所给的分析方法，先求出这几个数的立方根的个位数，再求出十位数，即可得出结论． 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， 故答案为7，2； （2）①∵的个位数是9，而末位数为9， ∴猜想的立方根的个位数为9， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为4， 验证：； ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 【点睛】本题主要考查了立方和立方根，理解一个数的立方以后的个位数，就是这个数的个位数的立方以后的个位数是解题的关键，有一定难度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$