8.1 平方根 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

8.1 平方根 一、平方根的定义 如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。即：如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根。 二、平方根的表示方法 正数a的平方根可以表示为“正负根号a”，其中a是被开方数。注意，一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 三、平方根的性质 1.正数有两个平方根，它们互为相反数，即它们的和为零。 2.0的平方根是0。 3.负数没有平方根。因为在实数范围内，没有一个数的平方会是负数。 四、开平方的定义 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。其中a叫做被开方数。开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 五、平方与开平方的关系 平方与开平方互为逆运算。例如，±3的平方等于9，9的平方根是±3。 六、算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即x的平方等于a（x大于0），那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为“根号a”，其中a是被开方数。需要注意的是，算术平方根总是非负的。 七、平方根与算术平方根的联系与区别 联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。只有非负数才有平方根和算术平方根。0的平方根是0，0的算术平方根也是0。 区别：个数不同，一个正数有两个平方根，但一个正数只有一个算术平方根。表示法也不同，平方根表示为“正负根号a”，而算术平方根表示为“根号a”。 巩固课内例1:求一个数的平方根 1．16的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 2．23的平方根为 ． 3．求下列各数的平方根 (1)49 (2) (3)0.0016 巩固课内例2:求一个数的算术平方根 1．16的算术平方根是（   ） A．4 B． C．16 D． 2．计算 的结果为 ． 3．求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 巩固课内例3:计算器算平方根 1．利用课本上如图所示的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：显示结果为（    ） A．32 B．8 C．4 D．2 2．利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为 ． 3．用计算器计算下列各式的值（精确到0.01）： （1）；（2）；（3）；（4）． 巩固课内例4:平方根的应用 1．如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 2．已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ． 3．小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长． 类型一、平方根的概念 1．若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 2．“平方根等于本身的数是0”这个命题条件和结论互换后的命题是 命题．（填：真或假） 3．如果一个数的平方根是和，求这个数． 类型二、求平方根 1．的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．如果a，b分别是2025的两个平方根，那 ． 3．已知、都是实数，且，求的平方根． 类型三、求算术平方根 1．若，的算术平方根为，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．已知一个正数的两个平方根是与，求的值． 类型一、已知平方根求这个数 1．若某数的平方根为和，则这个数是（   ） A． B． C．121 D．以上结论都不是 2．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 3．已知． (1)已知的算术平方根为3，求的值； (2)如果都是同一个数的平方根，求这个数． 类型二、算术平方根的非负性 1．如果 ，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 2．若，则的平方根为 ． 3．已知实数a，b，c满足：，求： (1)a，b，c的值． (2)的算术平方根． 类型三、平方根解方程 1．方程的根是（   ） A．9 B．1 C．9或1 D．4或5 2．若，则 ． 3．求下列各式的值． (1)； (2)． 类型四、算术平方根的应用 1．七年级（一）班在大课间开展了一个叠报纸游戏，将两张面积为的正方形报纸放在地上，每张报纸上站一个人，他们与对方相互猜拳（剪刀石头布），输掉的人须将脚下的报纸对折后再站在上面，谁的脚先落地则游戏失败．若一个人猜拳输了两次后叠成的报纸仍为正方形，此时报纸的边长是（   ） A． B． C． D． 2．小鹿有一块长方形的彩色卡纸，卡纸的长宽之比为，其面积为，则卡纸的周长是 ． 3．教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）． (1)求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长； (2)求方格（图）中阴影正方形的边长． 类型五、平方根的应用 1．在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 3．某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 类型一、估算算术平方根 1．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 2．若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 3．如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位． （1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由． （2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数． 类型二、算术平方根的规律 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则 ． 3．按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 类型三、算术平方根的整、小数部分 1．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 3．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 类型四、平方根中的新定义问题 1．定义一种运算“”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（    ） A． B． C．10 D．100 2．已知：对于实数，定义一种运算“”为：，则方程的解为 ． 3．设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 1．对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（    ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 2．为了让学生走出校园，体验与同学老师一起参加户外活动的乐趣，某中学决定组织七年级学生进行春游活动．如图，七年级一班的同学围成一圈玩游戏，小军说：“我们全班刚好围坐的是一个圆，那么围成的这个圆的半径是多少呢？”王老师给出提示：“我们围成的面积大约是78.5平方米．”根据王老师的回答，围成的圆的半径是（圆的面积为．取3.14）（   ） A．10米 B．5米 C．米 D．米 3．“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 4．计算的值为 ． 5．如图，是由5个边长都是1的小正方形组成的长方形，将其剪一剪、拼成一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 ． 6．某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，依次按照从第一步到第三步的顺序循环按键，如图． 若一开始输入的数据为，则第步后，显示的结果是 ． 7．解方程： (1)； (2) 8．若实数、满足等式，求的算术平方根． 9．小明作为蓝信封行动的通信志愿者，有一次制作了一张面积为的正方形明信片想寄给对接的乡村小朋友．已知信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)判断小明能否将这张明信片不折叠就放入此信封，并说明理由． 10．探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 11．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：、、这三个数，，，，其结果6、9、18都是整数，所以、、这三个数称为“完美组合数” (1)、、这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由： (2)若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 平方根 一、平方根的定义 如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。即：如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根。 二、平方根的表示方法 正数a的平方根可以表示为“正负根号a”，其中a是被开方数。注意，一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 三、平方根的性质 1.正数有两个平方根，它们互为相反数，即它们的和为零。 2.0的平方根是0。 3.负数没有平方根。因为在实数范围内，没有一个数的平方会是负数。 四、开平方的定义 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。其中a叫做被开方数。开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 五、平方与开平方的关系 平方与开平方互为逆运算。例如，±3的平方等于9，9的平方根是±3。 六、算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即x的平方等于a（x大于0），那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为“根号a”，其中a是被开方数。需要注意的是，算术平方根总是非负的。 七、平方根与算术平方根的联系与区别 联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。只有非负数才有平方根和算术平方根。0的平方根是0，0的算术平方根也是0。 区别：个数不同，一个正数有两个平方根，但一个正数只有一个算术平方根。表示法也不同，平方根表示为“正负根号a”，而算术平方根表示为“根号a”。 巩固课内例1:求一个数的平方根 1．16的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根的定义求解即可，熟练掌握平方根的求解方法是解决此题的关键 ． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 2．23的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，a的平方根记作． 【详解】解：23的平方根为， 故答案为：． 3．求下列各数的平方根 (1)49 (2) (3)0.0016 【答案】(1)±7 (2) (3)±0.04 【分析】（1）根据平方根的定义计算即可． （2）根据平方根的定义计算即可． （3）根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵（±7）2=49， ∴49的平方根是±7． （2）解：∵（）2=， ∴的平方根是． （3）解：∵(±0.04)2=0.0016， ∴0.0016的平方根是±0.04． 【点睛】本题考查平方根，解题关键是熟知平方根的定义，会根据平方根的定义进行计算． 巩固课内例2:求一个数的算术平方根 1．16的算术平方根是（   ） A．4 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的定义，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根是， 故选：A． 2．计算 的结果为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：6． 3．求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是求解算术平方根，平方根，直接利用算术平方根与平方根的含义求解即可； （1）由，可得答案； （2）由，结合相反数的含义可得答案； （3）由，可得答案； （4）由，可得答案． 【详解】（1）解：； （2）， （3）； （4）． 巩固课内例3:计算器算平方根 1．利用课本上如图所示的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：显示结果为（    ） A．32 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了计算器−基础知识，求一个数的立方根，解答此题的关键是熟练掌握科学计算器的使用方法． 根据科学计算器的使用方法，求出64的立方根即可． 【详解】解：由操作得，， 故选：C． 2．利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是计算器的使用，求一个数的立方根，根据计算器的按键代表的运算，列出算式可得答案． 【详解】解：根据按键顺序可知：． 故答案为：． 3．用计算器计算下列各式的值（精确到0.01）： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）29.44；（2）0.68；（3）；（4） 【分析】按照计算器开方的按键顺序，先按键，再输入被开方数，然后按“=”，最后按“”键，计算即可. 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查用计算器开方，根据操作顺序输入是计算重点． 巩固课内例4:平方根的应用 1．如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米， 依题意得：， 即 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴需要延长边长4米． 故选：C 2．已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了求平方根的实际应用，设这个长方形的宽为，则长为，根据面积是列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．根据题意列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设这个长方形的宽为，则长为， 由题意得：，即， ∵， ∴，即这个长方形的宽为，长为， 则这个长方形的周长． 故答案为：24． 3．小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根的应用，正确表示出总面积是解题关键．根据正方形的性质结合总面积为得出方程求解即可． 【详解】解：设需要的地板砖的边长是，根据题意可得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：需要的地板砖的边长是． 类型一、平方根的概念 1．若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平方根有关的知识，熟记并灵活地掌握负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，本题即可解决 【详解】A．选项A正数一定有2个平方根，符合题意，正确； B．选项B负数没有平方根，错误； C．选项C整数既包括正整数也包括负整数，不一定有平方根，错误； D．选项D分数既包括正分数也包括负分数，不一定有平方根，错误； 故选：A． 2．“平方根等于本身的数是0”这个命题条件和结论互换后的命题是 命题．（填：真或假） 【答案】真 【分析】本题考查了命题与逆命题，熟练掌握定义是解题的关键； 判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，然后根据平方根的定义判断逆命题的真假． 【详解】命题“平方根等于本身的数是0”的逆命题是0的平方根等于它本身，此逆命题为真命题． 故答案为∶真． 3．如果一个数的平方根是和，求这个数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程得到，再根据平方根的定义求出这个数即可． 【详解】解：∵一个数的平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个数为． 类型二、求平方根 1．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的概念，解题关键是熟记平方根的定义，根据平方根的定义求解． 【详解】解：， 的平方根是， 故选：C． 2．如果a，b分别是2025的两个平方根，那 ． 【答案】2025 【分析】此题主要考查了平方根的性质和意义，解本题的关键是熟练掌握平方根的性质． 根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得到，再根据，代入即可得出结论． 【详解】解：∵分别是2025的两个平方根， ， ， ， 故答案为：2025． 3．已知、都是实数，且，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负数的性质及平方根，根据算术平方根的非负性得，，可得的值，再代入等式求出的值，再根据平方根的定义求解即可．解题的关键是掌握：任意非负数的算术平方根是非负数，即． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 类型三、求算术平方根 1．若，的算术平方根为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根和算术平方根，解题的关键先根据算术平方根的定义求得a的值，然后再依据平方根的定义得到b的值． 【详解】解：∵的算术平方根为，， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 根据算术平方根等于它本身的数有0和1解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或1． 3．已知一个正数的两个平方根是与，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方根的概念，一元一次方程，算术平方根等知识点，根据平方根的定义进行解题即可，熟练掌握平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 解得， ∴． 类型一、已知平方根求这个数 1．若某数的平方根为和，则这个数是（   ） A． B． C．121 D．以上结论都不是 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的性质，根据正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此即可得到关于a的方程，求得a的值，进而求得这个数的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 则这个数是． 故选：C． 2．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【答案】25 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为25． 3．已知． (1)已知的算术平方根为3，求的值； (2)如果都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或25 【分析】本题主要考查算术平方根的定义，平方根的定义，一元一次方程的应用．熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键． （1）根据算术平方根的定义可得，求解即可； （2）根据平方根的定义，可得或，求出a的值，进而即可求出原数． 【详解】（1）解：∵已知的算术平方根为3， ∴， ∴； （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或， 解得：或． 当时，， 当时，， ∴这个数是1或25． 类型二、算术平方根的非负性 1．如果 ，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是非负数的性质和求代数式的值，掌握当几个非负数相加和为时，则其中的每一项都必须等于是解题的关键； 本题根据非负数的性质，得到，，求解得到、的值； 再将它们的值代入中计算即可． 【详解】∵、满足， ∴，， ∴，． 把，代入． 故选：B． 2．若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性，平方根，解一元一次方程；熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以，， 所以，， 解得，， 所以， 故的平方根为． 故答案为：． 3．已知实数a，b，c满足：，求： (1)a，b，c的值． (2)的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零；求算术平方根；掌握算术平方根、绝对值与平方数的非负性质是解题的关键； （1）原式可化为，由非负数的性质即可求解； （2）由（1）中所求a，b，c的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，，， 解得：，，； （2）解：由（1）得：，，， ， ， 即的算术平方根是． 类型三、平方根解方程 1．方程的根是（   ） A．9 B．1 C．9或1 D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查利用平方根的定义解方程．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， 解得或， 故选：C． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．先根据得出，再根据平方根定义求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据，利用平方根的性质解方程即可得； （2）根据，利用平方根的性质解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， 或， 或． 类型四、算术平方根的应用 1．七年级（一）班在大课间开展了一个叠报纸游戏，将两张面积为的正方形报纸放在地上，每张报纸上站一个人，他们与对方相互猜拳（剪刀石头布），输掉的人须将脚下的报纸对折后再站在上面，谁的脚先落地则游戏失败．若一个人猜拳输了两次后叠成的报纸仍为正方形，此时报纸的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，先求出两次对折后的正方形的面积，根据算术平方根得出结论即可． 【详解】解：∵正方形报纸的面积为，对折两次后仍为正方形， ∴此时报纸的面积为， ∴此时报纸的边长为， 故选：B． 2．小鹿有一块长方形的彩色卡纸，卡纸的长宽之比为，其面积为，则卡纸的周长是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了算术平方根，设长方形纸片的长为，宽为，依题意得出方程，求出长方形的长和宽，即可求出周长． 【详解】解：设卡纸的长为，宽为， ∴，得， ∴（负值不符合题意，已舍去）， ∴，， ∴卡纸的周长是（）． 故答案为：70． 3．教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）． (1)求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长； (2)求方格（图）中阴影正方形的边长． 【答案】(1)阴影正方形面积为，阴影正方形边长为； (2)阴影正方形边长为． 【分析】（）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可； （）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可； 本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键． 【详解】（1）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为： ， 所以，阴影正方形边长为； （2）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为： ， 所以，阴影正方形边长为． 类型五、平方根的应用 1．在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的应用，弄清题意是解本题的关键．由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为， 根据题意得：， 即 解得：或（舍）， 答：溢水杯内部的底面半径约为． 故选：D． 2．如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 【答案】 【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解． 【详解】解：由题意知， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 3．某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 【答案】(1)651 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义等知识． （1）由题意，草地的长减小，宽不变，因而可求得草地的面积； （2）设宽，则长为，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，若满足题意即可，否则不行． 【详解】（1）解：由题意，小路的左边线向右平移就是它的右边线即小路的宽为， 则草地的长减小，宽不变， 面积为； 故答案为：651． （2）能，理由如下： 设宽，则长为， 依题意有：， ∵， ∴， 符合长在到之间，宽在到之间， ∴这个篮球场能用做比赛． 类型一、估算算术平方根 1．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的算术平方根，先根据正方形面积计算公式求出正方形边长，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的面积是31， ∴该正方形的边长为， ∵， ∴， 故选；B． 2．若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意得，即，据此即可求解． 【详解】解：∵k的算术平方根在3和4之间， ∴，即， ∴， 故答案为：10（答案不唯一）． 3．如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位． （1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由． （2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数． 【答案】（1）2和3之间，见解析；（2）或 【分析】（1）根据方格可得正方形ABCD的面积为8，然后由正方形面积计算公式可求解边长，然后利用算术平方根可求解； （2）由（1）及题意可分当点B在原点的左侧和右侧两种情况，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由方格可得： 正方形ABCD的面积为：， ∴， ∵， ∴介于2和3之间； （2）由（1）得：，由点A与原点重合，则有： 当点B在原点的左侧时，则点B表示的数为， 当点B在原点的右侧时，点B表示的数为； 综上所述：点B在数轴上所表示的数为或． 【点睛】本题主要考查算术平方根及数轴，熟练掌握算术平方根及数轴是解题的关键． 类型二、算术平方根的规律 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 【详解】解：， ； 故答案为：． 3．按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)0.02，0.2，2，20 (2)24.08，68 (3)求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，它的算术平方根扩大或缩小10倍，说明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，二次根式的乘法运算． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）由表格可以发现被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，根据规律即可得到答案； （3）根据解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：，，，， 填表如下： a 4 400 0.02 0.2 2 20 故答案为：0.02，0.2，2，20； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：24.08，68； （3）解：由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍（意思正确即可）． 类型三、算术平方根的整、小数部分 1．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 2．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 3．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 类型四、平方根中的新定义问题 1．定义一种运算“”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（    ） A． B． C．10 D．100 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的计算，解题的关键是掌握算术平方根的计算方法．根据题目定义的运算法则和算术平方根的运算方法进行计算． 【详解】解：， ， 故选：C． 2．已知：对于实数，定义一种运算“”为：，则方程的解为 ． 【答案】或， 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，根据新定义得到方程，再根据求平方根的方法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 3．设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）根据题意代入计算即可； （2）①由非负数的性质即可得到答案；②先求出，由得到． 此题考查新定义运算，非负数的性质、有理数的混合运算，读懂题意，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，； ∴， 当时，． ∴， 故答案为：， （2）①∵．， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（    ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平方根，根据正数和零有平方根，而负数不存在平方根解题即可． 【详解】解：当时，没有平方根，小丁说法错误； 当为正数时，没有平方根，小张说法正确； 因为，所以一定有平方根，小刘说法正确； 故选：C． 2．为了让学生走出校园，体验与同学老师一起参加户外活动的乐趣，某中学决定组织七年级学生进行春游活动．如图，七年级一班的同学围成一圈玩游戏，小军说：“我们全班刚好围坐的是一个圆，那么围成的这个圆的半径是多少呢？”王老师给出提示：“我们围成的面积大约是78.5平方米．”根据王老师的回答，围成的圆的半径是（圆的面积为．取3.14）（   ） A．10米 B．5米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了开平方的应用．熟练掌握圆的面积公式，是解题的关键． 根据圆的面积78.5平方米和圆的面积公式列方程解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键． 正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 4．计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根定义，根据算术平方根定义进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．如图，是由5个边长都是1的小正方形组成的长方形，将其剪一剪、拼成一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，求出长方形面积的算术平方根即可． 【详解】解：∵由5个边长都是1的小正方形组成的长方形， ∴长方形的面积是5， ∴拼成的大正方形的边长为． 故答案为：． 6．某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，依次按照从第一步到第三步的顺序循环按键，如图． 若一开始输入的数据为，则第步后，显示的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉掌握算术平方根的运算法则是解题的关键． 根据题意代入数字运算寻找规律即可解答． 【详解】根据题意得：，，，，，， ∴每次进行一次循环， ∵， ∴第步后，显示的结果是； 故答案为：． 7．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键： （1）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得； （2）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解： ， 或， 或． 8．若实数、满足等式，求的算术平方根． 【答案】0 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值，求一个数的算术平方根．掌握绝对值和平方的非负性是解题关键． 由绝对值和平方的非负性可求出m和n的值，代入中，求出结果，最后求其算术平方根即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 的算术平方根是0． 9．小明作为蓝信封行动的通信志愿者，有一次制作了一张面积为的正方形明信片想寄给对接的乡村小朋友．已知信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)判断小明能否将这张明信片不折叠就放入此信封，并说明理由． 【答案】(1)长为，宽为 (2)能将这张贺卡不折叠就放入此信封中，理由见解析 【分析】（）设长方形信封的长为，宽为， 由长方形的面积可求出的值，从而求出长方形信封的长和宽； （）先计算出正方形贺卡的边长，然后与长方形信封的宽进行比较，即可得出结论； 本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得，， 解得负值舍去， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）解：能将这张贺卡不折叠就放入此信封中，理由如下： ∵正方形明信片面积为， ∴正方形贺卡的边长为， ∵， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠就放入此信封中． 10．探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． 11．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：、、这三个数，，，，其结果6、9、18都是整数，所以、、这三个数称为“完美组合数” (1)、、这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由： (2)若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查算术平方根． （1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，分别计算即可． 【详解】（1）解：、、三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵、、三个数都是负数， ∴，，， 结果4、6、12都是整数， ∴、、三个数是“完美组合数”； （2）解：∵、这两个数乘积的算术平方根为10， ∴①若、m这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得， 此时，，， ∴、、三个数是“完美组合数”； ②若、m这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得， ∵“完美组合数”是三个互不相等的负整数， ∴不合题意； 综上所述，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$