3.3 幂函数 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3幂函数 知识点一 幂函数的概念 幂函数的定义 一般地,函数y＝xa叫做幂函数. 指数a是常数 底数x是自变量 系数为1(省略) 示例有下列函数:①y＝3x2;②y＝x2+1;③;④y＝;⑤;⑥ 其中,是幂函数的有_______.(填序号) 解:①中,x2的系数为3,故不是幂函数; ②中,y＝x2+1不是y＝xa的形式,故不是幂函数; ③中,＝x-1是幂函数; ④中,y＝x3是幂函数; ⑤中,＝是幂函数; ⑥中,＝-,系数是-1,故不是幂函数. 综上所述,是幂函数的有③④⑤ . ③④⑤ 知识点二 幂函数的图象与性质 1.五个具体幂函数的图象 五个常见的幂函数y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝,y＝, 它们的图象如图3-3-1所示. 图象特征: (1)所有幂函数在(0,+)上都有意义.图象必过点(1,1),且一定会出现在第一象限内, 不会出现在第四象限. (2)在第一象限内,直线x＝1右侧部分的图象,由下向上幂函数的指数越来越大. (3)当α＞0时,图象又过点(0,0),且幂函数在[0,+)上单调递增. (4)当α＜0时,幂函数在(0,+)上单调递减.图象以x,y轴为渐近线,在第一象限内,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近. 2.五个幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝ 定义域 值域 奇偶性 单调性   定点 R R R R R [0,+) [0,+) {} {} [0,+) 奇函数 奇函数 奇函数 增函数 偶函数 非奇非偶 增函数 增函数 在(0,+)上单调递减 在上单调递减 在上单调递减 在(0,+)上 单调递增 函数图象过 点(1,1) 函数图象均过点(0,0),(1,1) 对于幂函数,我们一般只讨论2,3,-1时的情形. 规定:正数的正分数指数幂的意义: 正数的负分数指数幂的意义: 知识点三 一般幂函数的图象与性质 1.幂函数的图象和性质 α＞0和α＜0两种情况下幂函数的图象变化及性质如下表. 解析式   图象             性质 定义域 定点 单调性 奇偶性 在上都有定义,定义域与a的取值有关 图象过点(0,0)和点(1,1) 图象过点(1,1) 在单调递增 在上单调递减 在第一象限,当时, 图象上凸,当时,图象下凸 在第一象限,图象都下凸 与a的取值有关 示例如图3-3-2中的曲线是幂函数y＝xa在第一象限内的图象,已知α取±2, ±四个值,则相应曲线C1,C2,C3,C4的a值依次是(　　) A.-2,,2 B.2,,-2 ,-2,2, D.2,,-2, 解:(方法1)由于幂函数y＝xa的图象在第一象限内直线x＝1的右侧从上到下相应的指数a由大变小,故曲线C1对应的α值为2,曲线C2对应的a值为,曲线C3对应的α值为,曲线C4对应的α值为-2. (方法2:秒杀技)令x＝2,由22＞＞得,在第一象限内直线x＝ 1的右侧,图象在最上方的为y＝x2的图象,依次向下为y＝,y＝,y＝x-2的图象. B 2.幂函数y＝xa的定义域 y＝xa在(0,+)上都有定义,定义域与a的取值有关,要保证函数解析式有意义.具体如下: 的分类 的定义域 (p,q互质,p,q∈) R {,且} 是奇数 是奇数 是偶数 是偶数 R {,且} 3.幂函数y＝xa(a∈R)奇偶性的判断方法 的分类 的奇偶性 (p,q互质, p,q∈) 是奇数 是偶数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 非奇非偶函数 随 堂 练 习 1.(1)函数y＝的定义域是______,值域是________; (2)函数y＝的定义域是______________,值域是_______; (3)函数y＝的定义域是________,值域是________; (4)函数y＝的定义域是_________,值域是_______. 解:(1)y＝的定义域为R,值域为[0,+). (2)y＝的定义域为(-,0)(0,+),值域为(0,+). (3)y＝y＝的定义域为[0,+),值域为[0,+). (4)y＝的定义域为(0,+),值域为(0,+). R [0,+) (-),0)(0,+∞) (0,+∞) [0,+) [0,+) (0,+∞) (0,+∞) 随 堂 练 习 2.已知点(,2)是幂函数f(x)图象上的点,点(-2,)是幂函数g(x)图象上的点,当x为何值时,有(1)f(x)＞g(x); (2)f(x)＝g(x); (3)f(x)＜g(x). 解:f(x)＝xa,g(x)＝xb. ∵点(,2)是幂函数f(x)图象上的点,∴,∴α＝2,f(x)＝x2. ∵点(-2,)是幂函数g(x)图象上的点,∴＝(-2)b,∴b＝-2,g(x)＝x-2 在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象,如图3-3-3所示,则 (1)若f(x)＞g(x),则x＞1或x＜-1; (2)若f(x)＝g(x),则x＝1或x＝-1; (3)若f(x)＜g(x),则-1＜x＜0或0＜x＜1.   随 堂 练 习 3.比较下列各题中两个数的大小: (1), ; (2) (3) 解(1)∵y＝为[0,+)上的增函数,且2.3＜2.4,∴＜ (2)∵y＝为(0,+)上的减函数,且,∴ (3)∵y＝为R上的偶函数,∴ 又函数y＝在[0, +)上单调递增,且0.31＜0.35,∴,即. 注意:当自变量不在同一单调区间上时,要转化到同一单调区间内,否则不能利用单调性比较大小. 随 堂 练 习 4.已知幂函数f(x)＝(k2-k-1)xk(k∈R),且在区间(0, +)内函数图象是上升的. (1)求实数k的值; (2)若存在实数a,b,使得函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],求实数a,b的值. 解:(1)∵f(x)＝(k2-k-1)xk(k∈R)是幂函数,∴k2-k-1＝1,解得k＝-1或k＝2. 又f(x)在区间(0,+∞)内函数图象是上升的,∴k＞0,即k＝2. (2)由题知存在实数a,b,使得函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b], 又f(x)＝x2在(0,+)上单调递增, ∴,即, 又∴ 随 堂 练 习 5.已知(a+1)-1＜(3-2a)-1,求a的取值范围. 解:运用幂函数的单调性: ①当a+1＞0,且3-2a＞0时,∵(a+1) -1＜(3-2a) -1, ∴,解得   ②当a+1＞0,且3-2a＜0时,(a+1)-1＞0,(3-2a)-1＜0,不符合题意. ③当a+1＜0,且3-2a＞0时,(a+1)-1＜0,(3-2a)-1＞0,符合题意, 由,解得a＜-1. ④当a+1＜0,且3-2a＜0时,∵(a+1) -1＜(3-2a) -1, ∴ 不等式组的解集为. 综上所述,a的取值范围为(-,-1)(). 随 堂 练 习 6.已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x),则h (2018)+h(2017) +h(2016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2016)+ h(-2017)+h(-2018)＝(　　) A.0 B.2018 C.4036 D.4037 解:∵函数f(x)既是二次函数又是幂函数,∴f(x)＝x2,所以f(x)+1为偶函数. 又函数g(x)是R上的奇函数,则为R上的奇函数, ∴h(x)+h(-x)＝]+2＝2, ∴ h(2 018)+ h(2 017)+h(2 016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2016)+h(-2017)+h(-2018)＝[h(2018)+h(-2018)]+[h(2017)+h(-2017)]+…+[h(1)+h(-1)] +h(0)＝2+2+…+2+h(0)＝2×2018+h(0). 又h(0)＝, ∴原式＝2×2018+1＝4037.故选D. D 随 堂 练 习 7.已知函数y＝(a2+1)是幂函数,则a的取值范围为__________. 解:根据幂函数的定义,若y＝(a2+1), 可知a2+1＝1,即a＝0,此时指数有意义, ∴a的取值范围为{0}. {0} 随 堂 练 习 8.设x∈(0,1)时,函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方,则p的取值范围是__________. 解:(1)当p＞0时,根据题意,有p＜1,∴0＜p＜1; (2)当p＝0时,函数为y＝1(x≠0),符合题意; (3)当p＜0时,y＝xp在(0,+)上为减函数,且过(1,1)点,符合题意. 综上所述,p的取值范围为(-,1). (-,1) 随 堂 练 习 9.函数y＝的图象是(　　) 解:令y＝f(x)＝,∵f(-x)＝＝-＝-f(x), ∴函数y＝x3是奇函数,图象关于原点对称. 当0＜x1时, ＞x;当x＞1时, ＜x. 对照选项可知只有B项符合. B 随 堂 练 习 10.已知α＝{-2,-1,,1,2,3}.若幂函数f(x)＝xa为奇函数,且在(0,+)上单调递减,则α＝_____. 解:∵幂函数f(x)＝xa为奇函数, ∴α可取-1,1,3. 又∵f(x)＝xa在(0,+∞)上单调递减, ∴α＜0,故α＝-1. -1 随 堂 练 习 11.设a＝,b＝,,则a,b, c的大小关系是(　　) A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 解:,c＝,且, 由幂函数y＝在R上单调递增可知b＜c＜a A 随 堂 练 习 随 堂 练 习 $$