2.2 基本不等式 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 知识点一基本不等式 1.重要不等式 a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a＝b时,等号成立. 知识剖析 (1)不等式中a,b既可以是具体的数,也可以是代数式. (2)当且仅当的含义: ① 当a＝b时,等号成立,即a＝ba2+b2＝2ab; ② 仅当a＝b时,等号成立,即a2+b2＝2aba＝b. (3)常见变形:ab≤,4ab≤a2++2ab,2(a2+b2)≥(a+b)2等. 内容:如果a＞0,b＞0,用分别代替重要不等式中的a,b,可得≤, 当且仅当a＝b时,等号成立. 文字叙述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 成立条件:a＞0,b＞0. 知识剖析 (1)当a＝b＝0时,该不等式也成立,但一般不研究这种情况. (2)若a,b中有一个小于0,如a＝2,b＝-4,则无意义. (3)若a＜0,b＜0,则如a＝-1,b＝-2,则 (4)常见变形:a+b≥,ab≤. (也称为均值不等式,又称为均值定理) 2.基本不等式 三个正数的基本不等式 有. 当且仅当,等号成立,即3个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数. (2)n个正数的基本不等式(均值不等式) 示例若a,b∈R,且ab＞0,则下列不等式中恒成立的是(　　) A.a2+b2＞2ab B.a+b≥ ≥2 解:对于A,当a＝b时,a2+b2＝2ab,漏等号,故A错误; 对于B,当a＝-1,b＝-1时,ab＞0,但a+b≥不成立,故B错误; 对于C,当a＝-1,b＝-1时,ab＞0,但不成立,故C错误; 对于D,因为ab＞0,所以且,所以≥＝2,当且仅当,即a＝b时,等号成立,故D正确. D 3.基本不等式的证明 (方法1:分析法)要证≤,① 只要证≤a+b.② 要证② ,只要证≤0.③ 要证③ ,只要证-() 2≤0.④ 要证④ ,只要证() 2≥0.⑤ 显然,⑤成立,当且仅当a＝b时,⑤中的等号成立. 由于这个分析过程中的每一步都是可逆的,∴要记的不等式成立. 方法1中,将分析法的过程倒过来就是综合法,即 ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ (方法2:比较法) ∵a＞0,b＞0, ∴, ∴≥0, ∴≥ 的充要条件为a＝b, ∴当且仅当a＝b时, 3.基本不等式的证明 3.基本不等式的证明 (方法3:几何法)如图2-2-1,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC＝a,BC＝b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD. ∵AB为圆的直径,∴∠ADB＝90°,∴∠ADC+∠BDC＝90°. ∵DE⊥AB,∴∠DCA＝∠DCB＝90°, ∴∠DAC+∠ADC＝90°,∠DAC＝∠BDC. 又∠ACD＝∠DCB,∴△ACD∽△DCB, ∴,∴CD2＝AC·CB＝ab,∴CD＝. 这个圆的半径为,显然,它大于或等于CD, 即≥,其中当且仅当点C与圆心重合,即a＝b时,等号成立. 以上我们利用几何图形进行了证明,得到了不等式≤ (a＞0,b＞0). 基本不等式的几何意义:圆中半径长不小于任意一条半弦长 4基本不等式链 若a＞0,b＞0,则,当且仅当a＝b时,等号成立,其中 分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数. 其几何意义如图2-2-2所示. 示例已知a＞0,b＞0,a+b＝4,则下列各式中正确的是(　　) ≥1 ≥2 ≥2 ≤ 解: (方法1)∵a＞0,b＞0,∴4＝a+b≥(当且仅当a＝b＝b＝2时,等号成立), ∴0＜ab≤4,∴≥,∴≥1,故A正确.而 ≤2,故 C 不正确. ≥1(当且仅当a＝b＝2时,等号成立),故 B, D 不正确. (方法2:特珠值法)不妨取a＝1,b＝3,则≥1, ,故B,C,D错误,A正确. A 知识点二 最值定理 1.最值定理及其应用 已知x,y都是正数,求证: (1)如果积xy等于定值P,那么当x＝y时,和x+y有最小值; (2)如果和x+y等于定值S,那么当x＝y时,积xy有最大值. 证明:∵x,y都是正数,∴≥ (1)当积xy等于定值P时,≥,∴x+y≥, 当且仅当x＝y时,等号成立. 于是,当x＝y时,和x+y有最小值 (2)当和x+y等于定值S时,≤,∴xy≤s2,当且仅当x＝y时,等号成立. 于是,当x＝y时,积xy有最大值s2. 知识剖析 (1)利用基本不等式求最值要牢记三个关键词: “一正”“二定”“三相等”. “一正”:各项必须为正: “二定”:各项之和或各项之积为定值; “三相等”:必须验证取等号时条件是否成立. (2)应用基本不等式求最值的关键方法是:依定值去探求最值,探求的过程中常常需要依据具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.当定值为隐蔽式时,需发现和挖掘出定值. 示例已知函数(x≠0). (1)当x＞0时,求函数的最值. (2)当x＜0时,求函数的最值. 解:(1)∵x＞0,∴由基本不等式,得≥ 当且仅当,即x＝2时,等号成立. ∴y的最小值为12. (2)∵x＜0,∴-x＞0. ∴-(-3x)≥＝12, 即y≤-12.当且仅当,即x＝-2时,等号成立. ∴y的最大值为-12. 2.基本不等式的实际应用 1.解题思路 2.解题步骤 (1)理解题意,设好变量.设变量时一般把要求的最大值或最小值的变量定义为函数. (2)建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在自变量范围内,求出函数的最大值或最小值. (4)结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题. 随堂练习1 1.(1)已知,求的最大值. (2)已知,求(1-2x)的最大值. 解(1)∵,∴5-4x＞0, ∴[(5-4x)≤-2. 当且仅当,即x＝1时,等号成立. 故当x＝1时,ymax＝1. (2)∵,∴1-2x＞0,∴(1-2x)≤, 当且仅当2x＝1-2x(),即时,等号成立. 故当时,ymax 方法指导:配凑法 为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式，配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值。 随堂练习2 2.已知x≥,则f(x)有(　　) A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1 解:以分母为主变量分离,转化为积是定值,求和的最值. f(x) ∵x≥,∴x-2＞0, ∴≥·, 当且仅当,即x＝3时,等号成立. 故f(x)的最小值为1. D 和式中各式之积为定值. 方法指导:裂项与拆项 裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离---将分式分离为整式与“真分式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行拆项,为应用基础不等式求最值创造条件,进而求出最值. 随堂练习3 3.若x,y为正数,则的最小值为_______. 解: ≥ 当且仅当x2,y2且, 即时,等号成立,此时原式取得最小值4. 4 分组并项 分组并项的目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先部分应用基本不等式,部分和部分之间又可以使用基本不等式求最值. 随堂练习4 有附加条件求最值的问题,若题中不存在满足基本不等式的条件,以构建某两个数(或式)的积为定值,则需要对条件进行必要的边形,常有三种思路: (1)利用“1”的代换进行变形，即除条件式一边为1，然后将待求式乘“1”，除以“1”或将“1”代入待求式，再转化并使用基本不等式求最值。 (2)将x,y消去一个变量. (3)将已知式与待求式进行配凑,使之能应用基本不等式进行求解. 4.已知x＞0,y＞0,且,求x+y的最小值. 解:(方法1:“1”的代换)∵, ∴x+y＝(x+y)(∵x＞0,少0,∴≥ 当且仅当,即y＝3x时,等号成立.又∵, ∴x＝4,y＝12, ∴当x＝4,y＝12时,(x+y)min＝16. (方法2)∵,∴∵x＞0,y＞0,∴y＞9, ∴   ∵y＞9,∴≥2 当且仅当,即y＝12时,等号成立,此时x＝4. ∴当x＝4,y＝12时,(x+y)min＝16. (方法3:配凑法)∵,∴ y+9x＝xy,即(x-1)(y-9)＝9. ∵x＞0,y＞0,y+9x＝xy,∴x＞1,y＞9, ∴x+y＝10+(x-1)+(y-9)≥＝16. 当且仅当x-1＝y-9时,等号成立.∵,∴x＝4,y＝12,∴(x+y)min＝16.   随堂练习5 5.已知a,b,c＞0,求证:≥a+b+c. 证明∵a,b,c＞0,∴利用基本不等式可得≥2a,≥2b,≥2c, ∴≥2a+2b+2c, 故≥a+b+c.当且仅当a＝b＝c时,等号成立. 随堂练习6 6.已知a,b,c均为正数,且不全相等.若abc＝1,求证: 证明(方法1)∵a,b,c是不全相等的正数,且abc＝1, ∴ ∵≤,∴≤同理≤≤)) 又a,b,c不全相等,则以上三个不等式中的等号不能同时成立. 将三式叠加,得 (方法2)≥,≥≥2∵a,b,c为三个不全相等的正数, ∴以上三个不等式中的等号不能同时成立. 将三式叠加,得 故 随堂练习7 7.已知a＞0,b＞0,若不等式≥恒成立,则m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 解:∵a＞0,b＞0,∴≥可化为m≤ 由a＞0,b＞0,得≥ (当且仅当a＝b时取等号), ∴≥9,∴m≤9. 故选B. B 随堂练习8 8.某森林出现火灾,火势正以100m2/min的速度顺风蔓延,消防站接到警报后立即派消防队员前去救火,消防队员在火灾发生后5min到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁1m2森林损失费为60元,则应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少？最少损失为多少？ 解:派x名消防队员前去救火,用tmin将火扑灭,总损失为y元, 则, y＝125tx+100x+60(500+100t) ＝125x· ＝1250·(x-2+2) ＝31450+100(x-2) ≥, 当且仅当100(x-2),即x＝27时,等号成立. 答:应该派27名消防队员前去救火,才能使总损失最少,最少损失为36450元.   随堂练习9 9.设函数(x＜0),则y(　　) A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值 解:∵x＜0,∴-x＞0,∴(-2x)+()≥2＝, 即-[(-2x)+()]≤,∴y＝-[(-2x)+()]-1≤ 当且仅当,即时,y取最大值 C 随堂练习10 10.函数y＝2x(5-3x),的最大值为_________. 解:∵,∴2x＞0,5-3x＞0, ∴y＝2x(5-3x)(5-3x) ≤, 当且仅当3x＝5-3x,即时,等号成立. →验证“一正”. 配凑:使3x与(5-3x)的和为定值. →验证等号成立的条件 随堂练习11 11.已知x＞0,y＞0,且x+2y＝1,则的最小值为(　　) 解:∵x+2y＝1,且x＞0,y＞0, ∴(x+2y)(≥, 当且仅当时,等号成立.又∵x+2y＝1, ∴ 故当时,的最小值为 C 随堂练习12 12.设0＜a＜b,则下列不等式中正确的是(　　) 解:(方法1)∵0＜a＜b,∴,排除A,C两项. 又)＞0,即,排除D项,故选B. (方法2)取a＝2,b＝8,则,∴ B 随堂练习13 13.已知5x2y2+y4＝1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是___________. 解:由题意知y≠0.由5x2y4+y4＝1,可得x2, ∴x2+y2+y2 ≥, 当且仅当＝4y2,即y＝±时,等号成立,∴x2+y2的最小值为 随堂练习14 14.已知a＞0,b＞0,且ab＝1,则的最小值为____________. 解:∵a＞0,b＞0,ab＝1,∴原式≥, 当且仅当,即a+b＝4时,等号成立. 故的最小值为4. 4 随堂练习15 15.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是_________. 解:一年购买次,设总运费与总存储费用之和为y万元, 则)≥8＝240,当且仅当x＝30时,等号成立, 故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30. 30 $$