2.1等式的性质与不等式性质 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式的性质与不等式性质 1 相等关系与不等关系 在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等.类似于这样的问题,反映在数量关系上,就是相等与不等. 用不等式表示 用等式表示 知识点一 不等关系与不等式 2不等关系在实际生活中的体现 ①常量与常量之间的不等关系,如铁的密度大于水的密度; ②变量与常量之间的不等关系,如某卡车的载重量G小于或等于10t; ③函数与函数之间的不等关系,如当x＞a时,方案一的费用f(x)小于方案二的费用g(x); ④一组变量之间的不等关系,如买圆珠笔的费用2r与买作业本的费用y的和不超过20元. (1)等式 定义:用数学符号“＝”连接两个数或代数式,以表示它们之间的相等关系,含有等号的式子叫做等式. 形式:把相等的两个数(或字母表示的数)用“＝”连接起来. 分类:分为含有未知数的等式和不含未知数的等式. (2)不等式 定义:用数学符号“≠”“＞”“≥”“＜”“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. 分类:在不等式中,依据不等号可分为两类: ① 严格不等式:用不等号“＜”“＞”表示不等关系的式子叫做严格不等式. ② 非严格不等式:用不等号“≤”“≥”表示不等关系的式子叫做非严格不等式. 3等式与不等式 文字语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不大于 不小于 数学符号 ＞ ＜ ≥ ≤ ≤ ≥ ≤ ≥ 4用不等式(组)表示不等关系 (1)常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下: (2)当问题中包含两个或两个以上的不等关系时,需要用不等式组来表示. (3)在列不等式组时,需要设出变量,并且要根据每个变量的实际意义确定变量的取值范围,最后一并写在不等式组内. 示例某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示就是(　　) A. D D 1借助数轴比较大小 由于数轴上的点与实数一一对应,∴可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系:如图2-1-1,设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B,那么,当点A在点B的左边时、a＜b;当点A在点B的右边时,a＞b. 知识点二实数的大小比较 数形结合思想. 如果a-b是正数,那么a＞b; 如果a-b等于0,那么a＝b; 如果a-b是负数,那么a＜b; 反过来也对. 即a＞ba-b＞0; a＝ba-b＝0; a＜ba-b＜0. (1)“”是等价符号,其含义是由左边不等式可推得右边不等式成立,反之也成立; (2)“”符号的左边反映的是实数的大小关系,右边反映的是实数的运算性质,合起来就是实数的大小关系与实数的运算性质之间的关系; (3)从基本事实可知,比较两个实数的大小,只需比较它们的差与0的大小. 作差法 2实数大小比较的基本事实 示例已知x∈R,m∈R,比较x2+x+1与-2m2+2mx的大小. 解:∵x2+x+1-(-2m2+2mx)(作差) = = = ∴ 例已知a＞0,b＞0,,则(　　) A.M＞N B.M＝N C.M＜N D.不能确定 解析由题设及算术平方根的定义可知M＞0,N＞0. 因为M2-N2,∴M＞N. 3基本事实的应用--作差比较法 A (1)重要不等式:一般地,,b∈R,有a2+b2≥2ab. 当且仅当a＝b时,等号成立.即两个数的平方和不小于它们积的2倍. (2)变形形式: ① ab≤,当且仅当a＝b时,等号成立. ② ,当且仅当a＝b时,等号成立. 4由基本事实得出的一个重要结论→重要不等式. 性质1:如果a＝b,那么b＝a. 性质2:如果a＝b,b＝c,那么a＝c. 性质3:如果a＝b,那么a±c＝b±c. 性质4:如果a＝b,那么ac＝bc. 性质5:如果a＝b,c≠0,那么   1.性质1,2反映了相等关系自身的特性:对称性和传递性. 2.性质3,4,5反映了等式对四则运算的不变性;运算中的不变性就是性质. 3.等式的基本性质为探究不等式的基本性质指明了方向. 知识点三等式的基本性质 知识点四不等式的基本性质 性质名称 别名 性质内容 注意 性质1 性质2 性质3 性质3的推论 性质4 性质5 性质6 性质7 对称性 可逆 传递性 同向 可加性 可逆 移项法则 可逆 可乘性 c的符号 同向可加性 同向 同向同正可乘性 同向同正 可乘方性 同正 知识剖析 (1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向. 性质3是不等式移项法则的基础.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边 (2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正,异号相乘得负“的法则来完成的.一定要注意性质4中c的符号,因为c的符号不同,结论也会不同.性质4中的a,b可以是实数,也可以是式子. (3)性质5中,同向不等式可相加,但不能相减,即由a＞b,c＞d,可以得出a+c＞b+d,但不能得出a-c＞b-d. (4)性质6是同向不等式相乘法则的依据,可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相乘,即若,, …, n ∈N*, 则a1a2…an＞b1b2…bn,(n∈N*). (5)不等式的性质中,对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,即符号“”表示等价关系,可以互相推出,而符号“”只能从左边推右边,该性质不具备可逆性.尤其在证明不等式时,要注意是否可逆. 示例[多选题]对于实数a,b,c,下列命题中正确的是(　　) A.如果a＞b且ab＞0,那么 B.如果且c＞0,那么a＞b C.如果a＞b＞0,c＜d＜0,那么 D.如果a＞b＞0,c＞d＞0,那么 解:∵ab＞0,∴∴,∴,即,故A正确. ∵,c＞0,∴当a＜0,b＞0时,此式成立,但不满足a＞b,故B错误. ∵c＜d＜0,∴-c＞-d＞0,∴又a＞b＞0,∴,∴,故C错误. ∵a＞b＞0,c＞d＞0,∴,∴,∴,故D正确. AD 随堂练习1 题型一用不等式(组)表示不等关系 1某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车,有9名驾驶员,此车队每天至少要运360t矿石到冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式组. 分析:首先分别设出每天派出甲型卡车和乙型卡车的数量,然后明确问题中的不等关系: (1)甲型卡车的数量不超过4辆且为自然数,乙型卡车的数量不超过7辆且为自然数; (2)驾驶员不能超过9名; (3)每天至少要运360t矿石.最后用不等式组表示出来即可. 解:设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则 即 随堂练习2 题型二比较两数(式)的大小 2.已知a＞0,b＞0,试比较与的大小. (方法3:平方法)∵()2＝, , ∴()2 ∵a＞0,b＞0, ∴≥0,, ∴   解(方法1:作差法) ＝ ∵a＞0,b＞0,∴,()2≥0, ∴, ∴ (方法2:作商法)= ∵a＞0,b＞0,∴,∴ 随堂练习3 3.设x∈R,且x≠-1,比较与1-x的大小. 解(1-x), 由于1+x的符号不确定,所以需对1+x分大于0、小于0进行讨论,同时还要注意对差为0的讨论.而x2≥0, ①当x＝0时,,所以; ②当1+x＜0,即x＜-1时,,所以; ③当1+x＞0,且x≠0,即-1＜x＜0或x＞0时,,所以 综上可知,当x＝0时,;当x＜-1时,; 当-1＜x＜0或x＞0时, 随堂练习4 4.对于实数a,b,c,下列命题中真命题的个数为(　　) ① 若a＞b,则ac＞bc; ② 若ac2＞bc2,则a＞b; ③ 若c＞a＞b＞0,则; ④ 若a＞b,,则a＞0＞b. A.1 B.2 C.3 D.4 解: 对于① ,令c＝0,则有ac＝bc,故① 是假命题. 对于② ,由ac2＞bc2,知c≠0,所以c2＞0,所以ac2＞bc2＝ a＞b,故② 是真命题. 对于③,,故③ 是真命题. 对于④,, 故④ 是真命题. C 随堂练习5 5.(1)已知a＞b＞0,求证:; (2)已知a＞b,,求证:ab＞0. 证明(1)∵a＞b＞0,∴① 又∵a＞b＞0,两边同乘正数,得② 由① ② 得 (2),∵a＞b,∴b-a＜0. 又∵,∴,∴∴ab＞0. 随堂练习6 6.已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围. 分析将a-b与a+b都当作一个整体看待,利用待定系数法或换元法将4a-2b用a-b与a+b表示出来,然后应用不等式的性质求代数式的范围. 解(方法1:待定系数法) 设4a-2b＝m(a-b)+n(a+b)＝(m+n)a+(n-m)b, ∴,∴ ∵1≤a-b≤2,∴3≤3(a-b)≤6.又2≤a+b≤4, ∴5≤3(a-b)+(a+b)≤10,即5≤4a-2b≤10. (方法2:换元法) 令a+b＝p,a-b＝q,则1≤q≤2,2≤p≤4.由解得 ∴ 而2≤p≤4,3≤3q≤6, 则5≤p+3q≤10,即5≤4a-2b≤10. 随堂练习7 7某地规定民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件就越好,试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了？请说明理由. 解:采光条件变好了.理由如下: 设住宅的窗户面积、地板面积分别为a,b,同时增加的面积为m,根据题意,得a＜b,且≥10%. 由于,于是 又≥10%,因此≥10%. ∴,同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了.   随堂练习8 8.下列命题中正确的有(　　) A.若a＜b,c＜0,则 B.若ac-3＞bc-3,则a＞b C.若a＞b且k∈N*,则ak＞bk D.若则 解:A.当ab＜0时,不成立,故A不正确. B.当c＜0时,a＜b,故B不正确. C.当a＝1,b＝-2,k＝2时,命题不成立,故C不正确 D.∵a＞b＞0,∴-a＜-b＜0.又c＞a＞b＞0,∴0＜c-a＜c-b, 两边同时乘,得·又a＞b＞0,∴,故D正确. D 随堂练习9 9.已知-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,则a+3b的取值范围为_________________. -≤a+3b≤1 解:设a+3b＝m(a+b)+n(a-2b)＝(m+n)a+(m-2n)b, 则,解得   又≤(a+b),-2≤(a-2b)≤, ∴≤a+3b≤1. ∴a+3b的取值范围是≤a+3b≤1. 随堂练习10 10.若a＞b＞0,c＜d＜0,则一定有(　　) 分析(思路1)根据不等式的性质直接推导. (思路2)根据给出的字母的取值要求,取特殊值验证. 解析(方法1)∵c＜d＜0,∴-c＞-d＞0,∴ 又a＞b＞0,∴,∴ (方法2)令a＝3,b＝2,c＝-3,d＝-2,则,排除选项A,B; 又,∴,∴选项 C 错误, 选项 D 正确、 D 随堂练习11 11.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x＜y＜z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a＜b＜c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是(　　) A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz 解:(方法1)∵x＜y＜z,a＜b＜c, ∴ax+by+cz-(az+by+cx)＝a(x-z)+c(z-x)＝(x-z)(a-c) ＞0,故ax+by+cz＞az+by+cx; 同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)＝b(z-x)+c(x-z)＝(x-z)(c-b)＜0,故ay+bz+cx＜ay+bx+cz. 又az+by+cx-(ay+bz+cx)＝a(z-y)+b(y-z)＝(a-b)(z-y)＜0,故az+by+cx＜ay+bz+cx. 综上可得,最低的总费用为az+by+cx. B (方法2:特值法) 令x＝1,y＝2,z＝3,a＝1,b＝2,c＝3. A项:ax+by+cz＝1+4+9＝14; B项:az+by+cx＝3+4+3＝10; C项:ay+bz+cx＝2+6+3＝11; D项: ay+bx+cz＝2+2+9＝13. 故选B $$