专题03 平行线的性质重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题03平行线的性质重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 两直线平行同位角相等 题型二 两直线平行内错角相等 题型三 两直线平行同旁内角互补 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 平行线的性质在生活中的应用 题型七 根据平行线判定与性质求角度 题型八 根据平行线判定与性质证明 题型九 求平行线间的距离 题型十 利用平行线间距离解决问题 题型十一 判断命题的真假 题型十二 定理、证明的相关概念 知识点：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【经典例题一 两直线平行同位角相等】 【例1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）一把直尺和一个三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质定理，平角的定义，熟练掌握是解题的关键． 直接利用“两直线平行，同位角相等”结合平角即可求解． 【详解】如图，由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 1．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线b相交，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算，再根据，得到，解答即可． 本题考查了平角的定义，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∵， ∴， 故选A． 2．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，如在同一直线上，平分，，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查了邻补角，角平分线，平行线的性质等知识．熟练掌握邻补角，角平分线，平行线的性质是解题的关键． 由题意得，由平分，可得，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在直角三角形中，，在三角形内有一点． (1)在上找一点，使得是点到的最短距离； (2)过点作直线，作直线；并直接写出直线与所夹的角与有怎样的大小关系？ 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，相等或互补 【分析】（1）过点作于点，则点即为所求作； （2）按照画平行线的方法作出直线、，然后利用平行线的性质及互补的定义即可得出直线与所夹的角与之间的大小关系． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作； （2）解：如图，直线、即为所求作， 答：直线与所夹的角与相等或互补． 【点睛】本题主要考查了画垂线，垂线段最短，画平行线，两直线平行同位角相等，互补的定义等知识点，熟练掌握基本的作图方法与技巧及与之相关的性质是解题的关键． 【经典例题二 两直线平行内错角相等】 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧． 过点作，根据平行线的性质即可推出，，从而求得的度数． 【详解】解：过点向左作， 直线， ， ，， 又， ， ， 故选：D． 1．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角相等得出，最后由，可得结论．解题的关键是根据对顶角相等求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是 度． 【答案】 【分析】根据题意，得，，，过点C作，根据平行线的判定得到，利用平行线的性质计算即可． 本题考查了方向角的应用，平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，， 过点C作， 根据平行线的判定得， ∴，， ∴， 故答案为：130． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，，．若是的平分线，求证：是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，余角的性质等知识，根据角平分线的定义得出，利用垂直的定义可得出，利用余角的性质可得出，利用平行线的性质可得出，，等量代换可得出，即可得证． 【详解】证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即是的平分线． 【经典例题三 两直线平行同旁内角互补】 【例3】（2024·内蒙古包头·三模）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，先根据补角的定义求出的度数，进而可得出的度数，由平行线的性质即可得出结论．掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 1．（2024七年级下·天津·专题练习）如图，已知，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质和平行线公理推论，过点作，进而利用平行线的性质解答即可，解题的关键是掌握根据两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴∠， 故选：． 2．（23-24七年级下·山东泰安·期中）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为 ．    【答案】/96度 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，由平行线的性质求，继而得到，根据平行公理的推论得，最后根据两直线平行，同旁内角互补得．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 故答案为：．    3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）已知：直线，直线分别交、于点、． (1)如图1，的平分线与的平分线交于点，试说明与的位置关系； (2)如图2，点为直线、间一点，作的平分线，与的平分线交于点，试探究与的关系． 【答案】(1)互相垂直 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论， （1）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，根据角平分线的定义得，，推出，可得结论； （2）如图，过点作，过点作交于点，设，，，，则，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，根据角平分线的定义得，，推出，根据平行线的性质进一步推出，可得结论； 解题的关键是通过作辅助线构造平行线并熟练掌握平行线的性质。 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴与的位置关系为：互相垂直； （2）与的关系：。 理由：如图，过点作，过点作交于点，设，，，，则， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴ ， ∴。 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、垂线、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 由可得，由平分可得可判定①；根据垂直的定义、交的和差可判定②正确；再结合角平分线的定义可判定③；先说明，而不一定成立即可判定④． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴，即①正确； ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴,，即③正确； ∴ ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴， 而题目中不能得到，故④错误． 故选：B． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴  ， 即． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）C；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质及角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及等式的的性质求解即可； （2）过点作，再根据平行线的性质与判定求解； （3）利用（1）（2）的结论及角平分线的定义求解． 【详解】解：（1）， ，， ， 故选：C； （2）． 理由：过点作，点在点的左侧， ． ， ， ， ； （3）． 理由：，分别平分和， ，． 由（1）可得， ， 即． 由（2）可得， ． 【经典例题五 根据平行线的性质求角的度数】 【例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，添加平行线是解题的关键．过点C作，根据平行线的性质可求得，从而，再根据平行线的传递性可得，最后根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A 1．（2024·全国·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则∠4的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质求解即可，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为 ． 【答案】#100度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，最后由平行线的性质和角度和差即可求解，掌握平行线的性质，平行公理推论的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）．理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 【经典例题六 平行线的性质在生活中的应用】 【例6】（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向的垂直方向上前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质找到两次拐弯后的方向逐项判断即可． 【详解】解：A、两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意； B、两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意； C、两次拐弯后，相当于在原方向向左拐，方向与原方向垂直，故符合题意； D、两次拐弯后，相当于在原方向向右拐，方向与原方向的反方向夹角，故不符合题意， 故选：C． 1．（24-25八年级上·重庆璧山·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（  ）    A．102° B．112° C．120° D．128° 【答案】A 【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c）． 【详解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°， ∴∠BFE=∠DEF=26°， ∴∠EFC=154°（图a）， ∴∠BFC=154°-26°=128°（图b）， ∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键． 2．（24-25七年级·江西南昌·阶段练习）“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，假定主道路是平行的，即，且，则的度数为 ． 【答案】 3．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题七 根据平行线判定与性质求角度】 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）乐乐画出了电子屏幕上显示的数字“6”抽象出来的几何示意图，如图．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，过点B作，先由平行线的性质推出，，再由平行线的性质推出，，再由可得答案． 【详解】解：如图，过点B作． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得出，再由平行线的性质得出，进而求出的度数； （2）根据，得出，得，再由，得出，由此可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴． 即． （2）证明：∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题八 根据平行线判定与性质证明】 【例8】（24-25七年级下·全国·期中）如图，点在上，点，分别在，的延长线上，平分交于点，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与（不含）相等的角有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质的知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先证明，易得，；结合角平分线的性质可得，进而可得；结合，易知，进而可得，易知，即有，故在不添加辅助线的条件下，图中与相等的角有5个，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在不添加辅助线的条件下，图中与相等的角有5个． 故选：B． 1．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如图，在三角形中，已知，，．对于下列五个结论：①；②；③；④；⑤与互补．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互余的概念，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．根据平行线的判定与性质即可进行逐一判断． 【详解】解：①， ； 故①正确； ②， ， ， ， ； 故②正确； ③， ； 故③正确； ④， ， ， ； 故④正确； ⑤． ， 与互余． 故⑤错误． 其中正确的有①②③④4个． 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则．其中正确的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出和的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论． 【详解】， ， ， 平分， 故①正确； ， ， 故②正确； ， 与互余的角有，，，，有个， 故③错误， ， ， ， ， 故④错误 故答案为：①② 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，以及角平分线的性质， （1）根据平行线的性质得，结合已知即可求得； （2）根据角平分线的性质得，结合平行线的性质得，进一步依据平行线的判定即可判定． 【详解】（1）解：∵， ． 又∵， ∴； （2）证明：平分，， ． 又∵， ． ， ． 【经典例题九 求平行线间的距离】 【例9】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）线段a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为(   )厘米 A．3 B．7 C．3或7 D．2或7 【答案】C 【分析】本题应分两种情况分析一种是b在a、c之间a与c的距离为：（厘米）；一种是c在a、b之间a与c的距离为：（厘米）． 【详解】应分两种情况： ①如图：   a与c的距离为： （厘米）． ②如图   a与c的距离为： （厘米）． 综上所述，a与c的距离为7厘米或3厘米． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离．解决本题的关键是熟练掌握会计算平行线间的距离． 1．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）在同一平面内，直线b、c是通过直线a平移而得到的，已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离为（       ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．2cm或3cm 【答案】C 【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解． 【详解】如图，①直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm， ∴a与c的距离为5+2=7cm， ②直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm， ∴a与c的距离为5−2=3cm， 综上所述，a与c的距离为3cm或7cm. 故选C. 【点睛】此题考查平行线之间的距离，解题关键在于画出图形. 2．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在同一平面内，已知，与之间的距离是2厘米，与之间的距离是6厘米，则与距离为 厘米. 【答案】8或4 【分析】分两种情况：（1）平行线从上至下的顺序为；（2）平行线从上至下的顺序为，分别得出与距离即可. 【详解】（1）当平行线从上至下的顺序为时， 与距离=2+6=8厘米； （2）当平行线从上至下的顺序为时， 与距离=6-2=4厘米 所以与距离为8或4厘米. 故填：8或4. 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离的定义，熟练掌握相关定义是解题关键. 3．（24-25七年级下·北京海淀·开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记． (1)若，则线段与的公共点个数可能为______； (2)若取最小值且，则的取值范围是______． 【答案】(1)0或1 (2) 【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线上方且到的距离相等时；当点A和B在直线，之间时，作出相应图形即可求解； （2）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在上方或下方时，当点P在，之间时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点A和B均在直线上方且到的距离相等时， 此时线段与的公共点个数为0；    当点A和B在直线，之间时，如图所示： 此时线段与的公共点个数为1；    故答案为：0或1； （2）当取最小值且时，如图所示： 此时点A恰好在，的中间直线上， ∴，之间的距离为2，即，    当点P在上方或下方时，如图所示：    此时即为，之间的距离为2； 当点P在，之间时，如图所示：    ∵， ∴当点P在，的中间直线上时，， 当点P不在，的中间直线上时，； 综上可得：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 【经典例题十 利用平行线间距离解决问题】 【例10】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，点是平面内任意一点，点到直线的距离为，且到直线的距离为，则符合条件的点的个数是（    ）    A． B． C． D．无数个 【答案】C 【分析】由于到直线l1的距离是2的点在与直线l1平行且与l1的距离是2的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是3的点在与直线l2平行且与l2的距离是3的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求． 【详解】解：如图：    ∵到直线l1的距离是2的点在与直线l1平行且与l1的距离是2的两条平行线a1、a2上， 到直线l2的距离是3的点在与直线l2平行且与l2的距离是3的两条平行线a3、a4上， ∴符合条件的点是P1、P2、P3、P4，一共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线，点在上，若，，的面积为16，则的面积为(　　) A．14 B．12 C．10 D．11 【答案】C 【分析】过点作于点，根据三角形面积公式，求出平行线间的距离，可求出三角形的高，再求面积． 【详解】过点作于点， ∵的面积为16，， ∴， 解得， ∵的长是的高， ∴． 故答案为：10． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线间的距离．根据三角形面积求出两平行线间的距离是关键． 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离，根据平行线间距离处处相等得到，则，得到，由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】(1)，同底等高的两个三角形的面积相等 (2)与，与 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 【详解】（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 【经典例题十一 判断命题的真假】 【例11】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质、举反例，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．找出满足，但的选项即可得． 【详解】解：A、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； B、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； C、此项中，但，能作为反例，则此项符合题意； D、此项中，不能作为反例，则此项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果，那么 C．若，则，， D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键． 先写出逆命题，后逐一判断正误即可． 【详解】解：A．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故A不符合题意； B．选项逆命题为：如果，那么，根据还可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．选项逆命题为：，，，那么，根据条件，无法判定，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故D符合题意； 故选：D 2．（24-25八年级上·广西百色·期中）给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【分析】本题主要考查命题与定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理进行判断即可． 【详解】解：①垂线段最短，是真命题； ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题为假命题； ③互补的角不一定是邻补角，故本小题为假命题； ④同旁内角互补，两直线平行，故本小题为假命题． 故答案为：①． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 定理、证明的相关概念】 【例12】（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 【答案】（1）垂线段最短；（2） ， ， ， . 【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可； （2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短． 故答案为垂线段最短． （2）根据题意，当时， 有：（SSS）， 所依据的数学公理是SSS； 故答案为 ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS证明全等三角形的判定定理. 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论．再根据选项解答即可． 【详解】解：A、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故A选项不符合题意； B、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故B选项不符合题意； C、满足条件“与互补”，不满足结论“”， 故C选项符合题意； D、不满足条件“与互补”， 也不满足结论，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． ①由题意得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；②由题意得，利用邻补角即可求出的度数；③过点作，可得，从而得到，可求得，再利用平行线的性质即可求出；④利用角的计算可求出，从而可判断． 【详解】解：因为， 所以，故①正确； 因为，， 所以， 所以，故②正确； 过点作，如图所示： 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以，故③正确； 因为，， 所以， 所以，故④正确． 综上分析可知：正确的是①②③④． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是一款可坐可躺的婴儿推车，图②是其简化示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将木条与c钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转的度数至少是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质及平行线的性质，根据两直线平行同位角相等和对顶角相等，求出旋转后与的度数关系，继而用旋转后即可得到木条a旋转的度数． 【详解】解：如答图，当直线a顺时针旋转到位置时，直线，即． ． ∴旋转的角度为． 故选：A． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是含有角的三角板， ∴，，， ∵是含有的三角板， ∴，， ∵在旋转的过程中(转动角度小于)，与的一边平行， ∴有以下三种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为的平分线，即， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了垂直、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的判定可得，由此即可判断③正确；根据平行线的性质即可判断①正确；过点作，则，根据平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，，由此即可判断②正确；假设，则，再根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵， ∴，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 如图，过点作， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，则结论②正确； 假设， ∵， ∴， ∴， 由①②可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，但根据已知条件不能得出， ∴假设不成立，即结论④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故答案为：①②③． 7．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定并灵活运用． 过点作，得出，即可得，结合，得出，然后根据得出，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 【答案】60 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． 9．（24-25七年级上·海南·期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 【答案】 平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行公理即可判断与的位置关系；过点A作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； 如图，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：平行；． 10．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）小红同学以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动．如图，在直角三角形中，已知，，，直线． （1）如图1，直线与线段相交不过点，若，求 度； （2）如图2，小红同学把直线继续向上平移，使得直线与线段相交不过点，设，，求与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）利用两直线平行同位角相等，求出的同位角即可； （2）综合利用两直线平行，同位角和内错角相等，用表示出，通过等量代换即求出． 【详解】（1）如图， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图（2），过点作，则， ． 由（1）知， ， 即 ． 即． 故答案为：． 11．（陕西省榆林市2024—2025学年上学期八年级期末数学教学素养测评（四））如图，在中，，平分，交的延长线点F． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义． （1）根据等边对等角得，，再证明，进而可证； （2）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，鸡儿可出的度数． 【详解】（1）证明：， ，． 在中，， ， ，即 ， ， ． （2）解：，， 平分， ， ， ． 12．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）25°；（2）垂直，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补． （1）先得出，根据平行线的性质得出，，进而得出，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的性质得出，进而得出，再推出，得出，证得结论； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴；  （2）与的位置关系是垂直． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一点，连接，在射线上取点，连接，使得，当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，结合，可得，即可证明； （2）设，则，由，可得，，进而得到，由角平分线的定义可得，根据，列方程即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）设， ，， ， 由（1）知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵， ， ，， ， 故答案为：80； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ∵， ， ，， ， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点构造平行线： （1）过点作，利用平行线的性质和角的和差关系即可得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结果； （3）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：成立．理由： 如图，过点作． ， ， ，， ． （2）如图，过点作． ， ． ， ． 平分， ， ． 平分，， ， ， ． （3）如图，过点作． ， ． 平分，平分， ，， ，， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03平行线的性质重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 两直线平行同位角相等 题型二 两直线平行内错角相等 题型三 两直线平行同旁内角互补 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 平行线的性质在生活中的应用 题型七 根据平行线判定与性质求角度 题型八 根据平行线判定与性质证明 题型九 求平行线间的距离 题型十 利用平行线间距离解决问题 题型十一 判断命题的真假 题型十二 定理、证明的相关概念 知识点：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【经典例题一 两直线平行同位角相等】 【例1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）一把直尺和一个三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线b相交，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，如在同一直线上，平分，，若的度数为，则的度数为 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在直角三角形中，，在三角形内有一点． (1)在上找一点，使得是点到的最短距离； (2)过点作直线，作直线；并直接写出直线与所夹的角与有怎样的大小关系？ 【经典例题二 两直线平行内错角相等】 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是 度． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，，．若是的平分线，求证：是的平分线． 【经典例题三 两直线平行同旁内角互补】 【例3】（2024·内蒙古包头·三模）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·天津·专题练习）如图，已知，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东泰安·期中）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为 ．    3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）已知：直线，直线分别交、于点、． (1)如图1，的平分线与的平分线交于点，试说明与的位置关系； (2)如图2，点为直线、间一点，作的平分线，与的平分线交于点，试探究与的关系． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，， ，，则 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 【经典例题五 根据平行线的性质求角的度数】 【例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（2024·全国·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则∠4的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为 ． 3．（24-25七年级下·全国·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【经典例题六 平行线的性质在生活中的应用】 【例6】（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向的垂直方向上前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 1．（24-25八年级上·重庆璧山·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（  ）    A．102° B．112° C．120° D．128° 2．（24-25七年级·江西南昌·阶段练习）“中欧铁路”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，假定主道路是平行的，即，且，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【经典例题七 根据平行线判定与性质求角度】 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）乐乐画出了电子屏幕上显示的数字“6”抽象出来的几何示意图，如图．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为 ． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【经典例题八 根据平行线判定与性质证明】 【例8】（24-25七年级下·全国·期中）如图，点在上，点，分别在，的延长线上，平分交于点，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与（不含）相等的角有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 1．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如图，在三角形中，已知，，．对于下列五个结论：①；②；③；④；⑤与互补．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则．其中正确的是 ． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 【经典例题九 求平行线间的距离】 【例9】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）线段a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为(   )厘米 A．3 B．7 C．3或7 D．2或7 1．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）在同一平面内，直线b、c是通过直线a平移而得到的，已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离为（       ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．2cm或3cm 2．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在同一平面内，已知，与之间的距离是2厘米，与之间的距离是6厘米，则与距离为 厘米. 3．（24-25七年级下·北京海淀·开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记． (1)若，则线段与的公共点个数可能为______； (2)若取最小值且，则的取值范围是______． 【经典例题十 利用平行线间距离解决问题】 【例10】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，点是平面内任意一点，点到直线的距离为，且到直线的距离为，则符合条件的点的个数是（    ）    A． B． C． D．无数个 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线，点在上，若，，的面积为16，则的面积为(　　) A．14 B．12 C．10 D．11 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【经典例题十一 判断命题的真假】 【例11】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果，那么 C．若，则，， D．若，则 2．（24-25八年级上·广西百色·期中）给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【经典例题十二 定理、证明的相关概念】 【例12】（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③ 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是一款可坐可躺的婴儿推车，图②是其简化示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将木条与c钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转的度数至少是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）． 7．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 9．（24-25七年级上·海南·期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 10．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）小红同学以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动．如图，在直角三角形中，已知，，，直线． （1）如图1，直线与线段相交不过点，若，求 度； （2）如图2，小红同学把直线继续向上平移，使得直线与线段相交不过点，设，，求与之间的关系式为 ． 11．（陕西省榆林市2024—2025学年上学期八年级期末数学教学素养测评（四））如图，在中，，平分，交的延长线点F． (1)求证：． (2)若，求的度数． 12．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一点，连接，在射线上取点，连接，使得，当，时，求的度数； 14．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$