专题01 相交线重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题01 相交线重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 相交线 题型二 对顶角的定义 题型三 对顶角相等 题型四 邻补角的定义理解 题型五 找邻补角 题型六 利用邻补角互补求角度 题型七 垂线的定义理解 题型八 画垂线 题型九 垂线段最短 题型十 点到直线的距离 题型十一 同位角、内错角、同旁内角 题型十二 相交线的多结论问题 题型十三 相交线的综合 知识点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点3：同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【经典例题一 相交线】 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 【答案】45 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 3．（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    【经典例题二 对顶角的定义】 【例2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）下面四个图形中∠1与∠2为互为对顶角的说法正确的是（   ）    A．都互为对顶角 B．图1、图2、图3中的∠1、∠2互为对顶角 C．都不互为对顶角 D．只有图3中的∠1、∠2互为对顶角 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：C中∠1、∠2属于对顶角， 故选：D． 【点睛】本题考查对顶角的定义，是需要熟记的内容． 1．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）平面上五条不同的直线两两相交，最多能构成的对顶角的对数是（    ） A．5对 B．10对 C．20对 D．40对 【答案】C 【分析】根据五条直线两两相交最多有10个交点，每个交点处有两对对顶角，从而可得出结果． 【详解】解：如图，五条直线两两相交最多有10个交点， ∴最多能构成20对对顶角． 故选：C． 【点睛】本题考查了相交直线构成的对顶角的对数以及交点的个数，作出图形是解题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）【真实问题情境】如图，为了测量古塔外墙底角的度数，王明设计了如下方案：作，的延长线，，量出的度数，就得到了的度数，王明这样做的依据是 ．      【答案】对顶角相等 【分析】根据对顶角的定义和性质即可求得答案． 【详解】根据对顶角的定义和性质可知，与为对顶角，． 故答案为：对顶角相等． 【点睛】本题主要考查对顶角，牢记对顶角的定义和性质（对顶角相等）是解题的关键． 3．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如图，直线相交于点O，，垂足为O． (1)直接写出的对顶角和邻补角； (2)若，则的度数为________． 【答案】(1)对顶角；邻补角、 (2) 【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据对顶角、邻补角的定义，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而求出，利用邻补角进行计算即可解答． 【详解】（1）解：的对顶角是的邻补角是和； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【经典例题三 对顶角相等】 【例3】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，直线，相交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质和邻补角的性质，根据对顶角相等求出的度数，根据，求出，再由邻补角的性质求出的度数即可，掌握对顶角相等，邻补角之和等于是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 1．（23-24七年级下·福建莆田·期末）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算，对顶角相等．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图所示，若，则 ；当剪刀口增大时，增大 ． 【答案】 /145度 /5度 【分析】本题主要考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，熟练掌握对顶角相等和邻补角互补是解题的关键． 根据邻补角的性质和对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 对顶角相等， ， 当剪刀口增大时，增大． 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角互补，对顶角相等．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． （1）由，平分，根据对顶角的性质，即可求解． （2）由，，可得，，结合对顶角相等求解即可． 【详解】（1）解：平分 ． 又 ． 又 ． （2），． 平分， ， ， 又， ． 【经典例题四 邻补角的定义理解】 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，，与的关系是（    ）． A．互余 B．互补 C．相等 D．和是钝角 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再根据可得出，，可推出． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴与的关系是互补． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是对顶角以及邻补角，掌握对顶角以及邻补角的定义是解此题的关键． 1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知∠BOC与∠BOD是邻补角，于是有∠BOC+∠BOD=180°，从而只需求出∠BOD的度数；根据OM⊥AB可知∠BOM=90°，而∠BOM=∠BOD+∠MOD，结合已知即可推出∠BOD的度数. 【详解】∵直线AB，CD相交于点O，∠BOC与∠BOD是邻补角， ∴∠BOC+∠BOD=180°. ∵OM⊥AB， ∴∠BOM=∠BOD+∠MOD=90°， ∴∠BOD=90°-∠MOD=90°-30°=60°， ∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-60°=120°. 故选：C 【点睛】此题考查对顶角、邻补角，解题关键在于明确各角之间的数量关系. 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）通过画图，寻找对顶角和邻补角（不含平角）： （1）若2条直线相交于一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （2）若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （3）若4条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （4）通过（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角． 【答案】 2 4 6 12 12 24 【分析】（1）（2）（3）分别根据对顶角和邻补角的定义计算即可得解； （4）根据对顶角的对数、邻补角的对数和直线的条数的规律写出即可； 【详解】解：由画图可得， （1）两条直线相交于一点，形成2=1×2对对顶角，4=2×1×2对邻补角； （2）三条直线相交于一点，形成6=2×3对对顶角，12=2×2×3对邻补角； （3）4条直线相交于一点，形成12=3×4对对顶角，24=2×3×4对邻补角； （4）依次可找出规律，若有n条直线相交于一点，则可形成n（n-1）对对顶角，2n（n-1）对邻补角； 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数、邻补角的对数的规律是解题的关键． 3．（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （1）根据图形直接得出答案即可； （2）根据图形直接得出答案即可； （3）根据图形直接得出答案即可； （4）由特殊情况总结出一般规律； （5）再由（4）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 【经典例题五 找邻补角】 【例5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点， 则图中与互补的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据对折的性质可知，∠FEG=∠FEC，找出与∠FEC互补的角即可． 【详解】∵将长方形纸片沿翻折得到如上图形 ∴∠FEG=∠FEC，∠EFD=∠EF 由图形知，∠FEC与∠FCB互补 ∵AD∥BC，∴∠FEC与∠EFD互补 ∴∠EF与∠EFD也互补 故选：C 【点睛】本题考查对折的性质和互补的性质，解题关键是将∠FEG转化为∠FEC． 1．（24-25七年级·湖北恩施·阶段练习）如图，直线 AB，CD 交于点 O，则图中互为补角的角对数有（    ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 【答案】D 【分析】根据补角的概念，得到答案． 【详解】根据图形可得，∠2与∠3互为补角；∠3与∠1互为补角；∠1与∠DOB互为补角；∠2与∠DOB互为补角；共4对． 故选：D． 【点睛】本题考查的是补角的概念，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角． 2．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：的邻补角为和， 故答案为：和． 3．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，已知直线、相交于，，平分. (1)图中的对顶角为________，的邻补角为________； (2)若，求的度数. 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查几何图形中求角的度数，对顶角及邻补角定义，角平分线定义， （1）根据对顶角定义及邻补角定义解答即可； （2）先根据垂直定义及角平分线定义求出的度数，再利用邻补角求出的度数． 【详解】（1）的对顶角是， ∵， ∴的邻补角是， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， 平分， ， ． 【经典例题六 利用邻补角互补求角度】 【例6】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 1．（24-25七年级下·安徽·期末）如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线定义得到，因此，由邻补角的性质得到． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角，角平分线定义，掌握以上知识点是解题的关键． 2．（24-25七年级上·广东珠海·期末）如图，O是直线上一点，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查平角的定义、邻补角、角的运算等知识点，掌握角度制是解题的关键． 直接根据互为邻补角的两个角和为列式计算即可． 【详解】解：由题意可知，是平角， ∴， ∴． 故答案为． 3．（24-25七年级上·北京延庆·期末）已知，点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，当射线在的外部时，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：O是直线上的一点， ．（理由：__________） ， ． 平分， ．（理由：__________） _______． ，且， ______． 已知，点O是直线上的一点，，平分． (2)如图2，当射线在的内部时， ①补全图形； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)邻补角互补；角平分线的定义；； (2)①图见详解；② 【分析】本题考查了邻补角互补；角平分线的定义，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据邻补角互补，可得，根据角平分线的定义，根据角的和差可得． （2）①补全图形即可； ②根据角的和差可得，根据角平分线的定义可得，根据邻补角互补，可得． 【详解】（1）解：O是直线上的一点， ．（理由：邻补角互补） ， ． 平分， ．（理由：角平分线的定义） ． ，且， ， 故答案为：邻补角互补；角平分线的定义；；． （2）解：①补全图形，如图所示： ②解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵O是直线上的一点， ∴． 【经典例题七 垂线的定义理解】 【例7】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，根据三角形内角和得到，根据平行线的性质，即可求解， 此题考查了平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形内角和． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 1．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点在直线上，，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义、求一个角的邻补角，由垂直的定义得到，求出的度数，由邻补角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可． 【详解】解：当在同侧时，如图， ，， ； 当在异侧时，如图， ，， ； 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，相交于点O，，平分． (1)的对顶角是________，的邻补角是________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的定义、与角平分线有关的计算、垂直，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键． （1）根据对顶角的定义（有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角）和邻补角的定义（两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角）即可得； （2）根据角平分线定义得出，设，则，根据图形得出，求出，根据垂线定义得出，求出，最后根据对顶角相等得出答案即可． 【详解】（1）解：的对顶角为， 的邻补角为或． （2）解：∵平分， ∴， 设，则，根据题意得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 画垂线】 【例8】（23-24·浙江金华·二模）甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（　　） A．只有甲的画法正确 B．只有乙的画法正确 C．甲，乙的画法都正确 D．甲，乙的画法都不正确 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确． 【详解】∵CD＝CE， ∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C， ∴甲，乙的画法都正确． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断. 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段， 故选A． 【点睛】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知直线 AB，CB ， l  在同一平面内，若 AB⊥ l ，垂足为 B，CB⊥ l ，垂足也为 B，则符合题意的图形可以是如图中的图 (填甲或乙)， 你选择的依据是 （写出你学过的一条公理）. 【答案】 乙 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【分析】根据题意可得，过点B作l的垂线即可. 【详解】根据题意可得图形 故答案为乙，根据：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【点睛】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 3．（24-25七年级上·北京昌平·期末）如图，已知在同一平面内有三个点，，，请按要求完成下列问题． (1)连接，画射线； (2)取线段的中点A，过点A作的垂线，交于点； (3)量一量的度数，________°； (4)量一量线段与线段的长度，用等式表示线段与线段之间的数量关系是_________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)30； (4)（或） 【分析】本题考查作图—复杂作图、角的计算、线段的和差，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段、射线的定义画图即可． （2）根据中点的定义取点A，再根据垂线的定义画垂线即可． （3）通过测量可得答案． （4）通过测量可得结论． 【详解】（1）如图，线段、射线即为所求． （2）如图，点A和直线即为所求． （3）测量可得，． 故答案为：30． （4）测量可得，线段与线段之间的数量关系是． 故答案为：． 【经典例题九 垂线段最短】 【例9】（23-24七年级下·山西大同·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质、平行线公理，点到直线的距离，解题关键是准确掌握相关性质和概念，正确进行判断．根据平行线公理，点到直线的距离、垂线的性质、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：（1）对顶角相等，正确； （2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误； （4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 故选：A． 1．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（     ） A．变短 B．变长 C．先变短，后变长 D．先变长，后变短 【答案】D 【分析】本题考查垂线段的性质，摆动过程中系小球的线长度不变，系小球的线在水平线上方部分的长度先变短后变长，由此可解． 【详解】解：如图，过点A作轴与点E，交弧于点G， 由“垂线段最短”可知，， ，， 即，， 系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是：先变长，后变短， 故选D． 2．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，，点是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据垂线段最短得出当时，的长度最小，再运用等面积法求解即可； 【详解】由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图． ， ， ， ． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）根据下列要求画图： (1)画直线； (2)画线段交直线于点E； (3)点P是直线上的一动点，且的长度最小，画出点P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画射线，画直线，画垂线，掌握射线、直线、垂线的性质是解题的关键． （1）根据题意画直线； （2）根据几何语言画出对应的几何图形即可； （3）过D点作的垂线，垂足为P点，根据垂线段最短可得到P点满足条件． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 【经典例题十 点到直线的距离】 【例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是  (    ) A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 【答案】D 【分析】根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可． 【详解】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短； 因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm， 所以三条线段的最短的是2 cm， 所以点P到直线l的距离不超过2 cm． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短． 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）点P是直线l外一点，A为垂足，，且，则点P到直线l的距离（   ） A．小于 B．等于 C．大于 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义得出P到直线l的距离是等于， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键，注意：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期中）定义：平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是 ． 【答案】2 【分析】由已知定义可知，“距离坐标”是的点表示到直线的距离为0，到直线的距离为2，即该点在直线上，据此分析即可得到答案． 【详解】解：解： 由已知定义可知，“距离坐标”是的点在直线上，可以在交点O的两侧各找到1个， 所以满足条件的点的个数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，正确理解“距离坐标”的定义是解题关键． 3．（24-25七年级下·全国·期中）利用网格画图． (1)过点C画的平行线： (2)过点C画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点C到直线__________的距离； (4)连接，，在线段，，中，线段__________最短，理由：____________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图和据垂线段最短． ①根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可； ②根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； ③根据点到直线的距离概念回答； ④根据垂线段最短直接回答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （4）连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【经典例题十一 同位角、内错角、同旁内角】 【例11】（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案． 【详解】解：A.、与是内错角，符合题意； B、与不是内错角，不符合题意； C、与不是内错角，不符合题意； D、与不是内错角，不符合题意； 故选：A． 1．（24-25七年级下·上海·期中）如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意； （2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意； （3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意； （4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系． 2．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .    【答案】① 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角． 【详解】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确； 与构成同位角的角的是，有1个，故②错误； 与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 【答案】见解析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，同位角：在两条直线被第三条直线所截的同侧，被截两直线同侧的两个角称为同位角；内错角：在两条直线被第三条直线所截的两侧，且夹在两条被截直线之间的一对角称为内错角；同旁内角：在两条直线被第三条直线所截的同旁，被截两直线之间的两个角称为同旁内角；由此即可得出答案． 【详解】解：由图可得： 同位角：与，与； 内错角：与，与； 同旁内角：与，与． 【经典例题十二 相交线的多结论问题】 【例12】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中正确的有（　　） ① 相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查了对顶角的性质、邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离、同旁内角的定义等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：① 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角不一定互为邻补角，故原说法错误； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误； ⑤如图，和不是同旁内角，故原说法错误； 综上可知，正确的说法是③，共1个， 故选：B 1．（24-25七年级下·广西钦州·期末）如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角相等，根据角平分线的性质，垂直的定义，对顶角相等，结合角的和差关系，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故①正确； ∴；故②正确； ；故③正确； 故选D． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的说法有（    ）个 ①同位角相等②由两条射线组成的图形叫做角③同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这一点到直线的距离⑤相等的角是对顶角⑥两条相交直线所得的四个角相等，则这两条直线一定互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质；角的定义；垂线的基本事实；点到直线的距离；对顶角的性质，根据平行线的性质；角的定义；垂线的基本事实；点到直线的距离；对顶角的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，不是所有的同位角都相等，故①说法错误； ②由共端点的两条射线组成的图形叫做角，故②说法错误； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这一点到直线的距离，故④说法错误； ⑤对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故⑤说法错误； ⑥两条相交直线所得的四个角相等，则四个角都等于，故这两条直线一定互相垂直，故⑥说法正确； 综上正确的是③⑥，共有2个． 故选：B 3．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）下列说法错误的是（    ） A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线． B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线． C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等． D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短． 【答案】C 【分析】根据对两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线、互余、邻补角、两点之间线段最短即可判断． 【详解】解：A、应用了知识“两点确定一条直线”，故正确，不符合题意； B、应用了知识“经过两点有且只有一条直线”，故正确，不符合题意； C、应用了知识邻补角，而不是等角的余角相等，故错误，符合题意； D、应用了知识“两点之间线段最短”，故正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线、互余、邻补角、两点之间线段最短等知识，解题的关键是读懂实际情境，结合数学知识进行理解． 【经典例题十三 相交线的综合】 【例13】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知直线和相交于点 ，射线 于点 ，射线 于点 ，且，求 与 的度数．    【答案】， 【分析】本题考查垂线, 邻补角，熟练掌握垂线和邻补角的性质是解题的关键．根据垂线以及邻补角的定义进行计算，求出各个角之间的度数即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ， ，， 1．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）已知为直线上一点，，．    (1)如图1，下面是判断与的数量关系的部分说理过程，请完成填空： 因为__________°，__________°；（第一步） 所以__________；（第二步） 在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是：__________． (2)若将绕点旋转至图②的位置． ①直接写出图中所有相等的角（直角除外）__________． ②作的平分线，若，则__________（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，，，同角的余角相等 (2)①，；② 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握角的计算是解决本题的关键； （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）①根据，，进而得，根据，得到，，进而求解； ②根据角平分线的性质可得，即，由①可知：，进而求解； 【详解】（1）解：，； （同角的余角相等）； 故答案为：，，，同角的余角相等 （2）①，，理由如下： ，， ，， ； ，， ，， ， 故答案为：，； ②平分， ， 即， 由①可知：， ， ， 由①可知：， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)图中的余角是__________（把符合条件的角都填上）； (2)如果，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等的性质、互为余角关系；熟练掌握对顶角相等的性质和角平分线的定义是解决问题的关键． （1）由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果； （2）由角平分线的定义求出，由对顶角相等得出的度数，再由角的互余关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是，； 故答案为：，； （2）∵平分， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，点是直线上的一点． (1)如图，，，求的度数： (2)在中，绕着点顺时针转动（与重合即停止）如图，、分别平分、，则在转动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，请说明理由； (3)在中，线段、绕着点顺时针转动，速度分别为每秒和每秒当与重合时停止转动，、分别平分、，设转动的时间为秒，则当等于多少时？ 【答案】(1) (2)不变； (3)秒 【分析】本题考查直角的定义，互余角的关系，角平分线的定义，解题关键是结合图形找出各个角之间的倍数关系； （1）根据直角的定义求出，再根据可得的度数，又因为与互余，即可解答； （2）根据（1）求出的度数，从而求得的值， 再利用角平分线定义求出，最后根据即可解答； (3) 设秒时，；用含的式子表示出、，从而列出方程求解； 【详解】（1）解：是直角， ， ， ， ； （2）不会变化，理由如下： 、分别平分、， ，， ， ， ； （3）如图， 设运动时间为秒， 则，， ，， ， 解得， 所以秒时． 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中，与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义判断解答即可． 本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是对顶角的是： 故选：C． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级上·四川巴中·期末）下列说法中：①两个有理数相加，和一定大于每一个加数；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③相等的角是对顶角；④两点确定一条直线．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则，垂线的性质，对顶角的性质，直线的性质逐一分析即可． 【详解】解：①两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，如：，和比加数2小，故不正确； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；故不正确； ④两点确定一条直线，正确． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的加法法则，垂线的性质，对顶角的性质，直线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列四个选项中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了内错角“两条直线被第三条直线所截，若两个角都在这两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样的一对角叫做内错角”，熟记内错角的定义是解题关键．根据内错角的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是内错角，则此项不符合题意； B、与是内错角，则此项符合题意； C、与不是内错角，则此项不符合题意； D、与不是内错角，则此项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练运用这些定义解决问题是本题的关键．由对顶角、邻补角，角平分线的定义，余角和补角进行依次判断即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 当时，，故①正确； 平分， ， ， 不一定等于， 不一定是的平分线，故②不正确； 平分， ， ，故③正确 ，故④正确 故其中正确的结论为①③④． 故选：C． 6．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如图，，，点B，O，D在一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的概念和角的和差计算． 根据邻补角的性质求出的度数，再根据垂直的定义求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算，根据角平分线定义求出，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在直线上任取一点，过点作射线，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角、补角性质，分射线在直线的同侧、异侧两种情况讨论，是解题的关键． 先根据题意可得分在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数． 【详解】解：当在直线同侧时， ∵，， ∴； 当在直线异侧时， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 9．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如果与的两边分别垂直，比的2倍少，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角的计算，解决问题的关键是理解如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补．根据比的2倍少得，再根据与的两边分别垂直得或，由此可求出与的值． 【详解】解：比的2倍少， ， 与的两边分别垂直， 或， 当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：， ． 综上所：的度数是或． 故答案为：或． 10．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若在上方， 平分， ， ， ，即， 设，则，， 为平角， ， 即， 解得， ， 又， ， ； ②如图2所示，若在下方， 同理可得，， 又， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)过点P画的垂线段，垂足为H； (3)请判断线段这三条线段长度的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）利用方格线画垂线； （2）利用方格线画垂线； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到 ，即可得到线段 的大小关系． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． （3）解：． 理由如下：线段的长度是点P到直线的距离，所以；线段的长度是点C到直线的距离，所以． 故． 12．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）如图，是直线上一点，，平分，过点作垂直． (1)求的度数； (2)是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，再由垂线的定义得到，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ ， ∵垂直， ∴， ∴； （2）解：平分，理由如下： 理由：∵，， ∴， ∴， ∴平分． 13．（24-25七年级上·重庆永川·期末）如图，直线，交于点，，垂足为O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了垂直的定义，平角、邻补角． （1）根据垂直定义求出，进而求出的度数，再利用平角的定义得到答案； （2）根据和，求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了垂直、角平分线，熟练掌握与角平分线有关的运算是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据可得，最后根据求解即可得； （2）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得； （3）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，认真审题并仔细观察图形，找到各个角之间的和差关系是解题的关键． （1）根据邻补角互补求出，再利用角的和差关系求得，然后求出时间即可； （2）根据角平分线的定义求出，再利用角的和差关系求得，然后利用邻补角互补即可求出的度数； （3）用和分别表示出，然后列出关系式，整理后即可得解． 【详解】（1）解：如图， ∵，（即）恰好与在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故与之间的数量关系为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 相交线 题型二 对顶角的定义 题型三 对顶角相等 题型四 邻补角的定义理解 题型五 找邻补角 题型六 利用邻补角互补求角度 题型七 垂线的定义理解 题型八 画垂线 题型九 垂线段最短 题型十 点到直线的距离 题型十一 同位角、内错角、同旁内角 题型十二 相交线的多结论问题 题型十三 相交线的综合 知识点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点3：同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【经典例题一 相交线】 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 3．（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【经典例题二 对顶角的定义】 【例2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）下面四个图形中∠1与∠2为互为对顶角的说法正确的是（   ）    A．都互为对顶角 B．图1、图2、图3中的∠1、∠2互为对顶角 C．都不互为对顶角 D．只有图3中的∠1、∠2互为对顶角 1．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）平面上五条不同的直线两两相交，最多能构成的对顶角的对数是（    ） A．5对 B．10对 C．20对 D．40对 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）【真实问题情境】如图，为了测量古塔外墙底角的度数，王明设计了如下方案：作，的延长线，，量出的度数，就得到了的度数，王明这样做的依据是 ．      3．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如图，直线相交于点O，，垂足为O． (1)直接写出的对顶角和邻补角； (2)若，则的度数为________． 【经典例题三 对顶角相等】 【例3】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，直线，相交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·福建莆田·期末）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图所示，若，则 ；当剪刀口增大时，增大 ． 3．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； 【经典例题四 邻补角的定义理解】 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，，与的关系是（    ）． A．互余 B．互补 C．相等 D．和是钝角 1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）通过画图，寻找对顶角和邻补角（不含平角）： （1）若2条直线相交于一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （2）若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （3）若4条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （4）通过（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角． 3．（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【经典例题五 找邻补角】 【例5】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点， 则图中与互补的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25七年级·湖北恩施·阶段练习）如图，直线 AB，CD 交于点 O，则图中互为补角的角对数有（    ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 2．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 3．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，已知直线、相交于，，平分. (1)图中的对顶角为________，的邻补角为________； (2)若，求的度数. 【经典例题六 利用邻补角互补求角度】 【例6】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·安徽·期末）如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东珠海·期末）如图，O是直线上一点，若，则 ．    3．（24-25七年级上·北京延庆·期末）已知，点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，当射线在的外部时，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：O是直线上的一点， ．（理由：__________） ， ． 平分， ．（理由：__________） _______． ，且， ______． 已知，点O是直线上的一点，，平分． (2)如图2，当射线在的内部时， ①补全图形； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【经典例题七 垂线的定义理解】 【例7】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点在直线上，，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，相交于点O，，平分． (1)的对顶角是________，的邻补角是________； (2)若，求的度数． 【经典例题八 画垂线】 【例8】（23-24·浙江金华·二模）甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（　　） A．只有甲的画法正确 B．只有乙的画法正确 C．甲，乙的画法都正确 D．甲，乙的画法都不正确 1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知直线 AB，CB ， l  在同一平面内，若 AB⊥ l ，垂足为 B，CB⊥ l ，垂足也为 B，则符合题意的图形可以是如图中的图 (填甲或乙)， 你选择的依据是 （写出你学过的一条公理）. 3．（24-25七年级上·北京昌平·期末）如图，已知在同一平面内有三个点，，，请按要求完成下列问题． (1)连接，画射线； (2)取线段的中点A，过点A作的垂线，交于点； (3)量一量的度数，________°； (4)量一量线段与线段的长度，用等式表示线段与线段之间的数量关系是_________． 【经典例题九 垂线段最短】 【例9】（23-24七年级下·山西大同·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（     ） A．变短 B．变长 C．先变短，后变长 D．先变长，后变短 2．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，，点是边上的动点，则线段的最小值是 ． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）根据下列要求画图： (1)画直线； (2)画线段交直线于点E； (3)点P是直线上的一动点，且的长度最小，画出点P的位置． 【经典例题十 点到直线的距离】 【例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是  (    ) A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）点P是直线l外一点，A为垂足，，且，则点P到直线l的距离（   ） A．小于 B．等于 C．大于 D．不确定 2．（24-25七年级下·山东临沂·期中）定义：平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是 ． 3．（24-25七年级下·全国·期中）利用网格画图． (1)过点C画的平行线： (2)过点C画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点C到直线__________的距离； (4)连接，，在线段，，中，线段__________最短，理由：____________________． 【经典例题十一 同位角、内错角、同旁内角】 【例11】（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·上海·期中）如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .    3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 【经典例题十二 相交线的多结论问题】 【例12】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中正确的有（　　） ① 相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（24-25七年级下·广西钦州·期末）如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的说法有（    ）个 ①同位角相等②由两条射线组成的图形叫做角③同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这一点到直线的距离⑤相等的角是对顶角⑥两条相交直线所得的四个角相等，则这两条直线一定互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）下列说法错误的是（    ） A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线． B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线． C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等． D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短． 【经典例题十三 相交线的综合】 【例13】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知直线和相交于点 ，射线 于点 ，射线 于点 ，且，求 与 的度数．    1．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）已知为直线上一点，，．    (1)如图1，下面是判断与的数量关系的部分说理过程，请完成填空： 因为__________°，__________°；（第一步） 所以__________；（第二步） 在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是：__________． (2)若将绕点旋转至图②的位置． ①直接写出图中所有相等的角（直角除外）__________． ②作的平分线，若，则__________（用含的代数式表示）． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)图中的余角是__________（把符合条件的角都填上）； (2)如果，求和的度数． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，点是直线上的一点． (1)如图，，，求的度数： (2)在中，绕着点顺时针转动（与重合即停止）如图，、分别平分、，则在转动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，请说明理由； (3)在中，线段、绕着点顺时针转动，速度分别为每秒和每秒当与重合时停止转动，、分别平分、，设转动的时间为秒，则当等于多少时？ 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中，与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为(    ) A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·四川巴中·期末）下列说法中：①两个有理数相加，和一定大于每一个加数；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③相等的角是对顶角；④两点确定一条直线．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列四个选项中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如图，，，点B，O，D在一条直线上，则的度数为 ． 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 8．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在直线上任取一点，过点作射线，使，当时，的度数是 ． 9．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如果与的两边分别垂直，比的2倍少，则的度数是 ． 10．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)过点P画的垂线段，垂足为H； (3)请判断线段这三条线段长度的大小关系，并说明理由． 12．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）如图，是直线上一点，，平分，过点作垂直． (1)求的度数； (2)是否平分？并说明理由． 13．（24-25七年级上·重庆永川·期末）如图，直线，交于点，，垂足为O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 14．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 15．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$