第4节 二次函数的图象与性质(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（福建专用）

2025福建 数 学 课堂精讲册 1 第一部分 追本溯源夯基础 第三单元 函数 第四节 二次函数的图象与性质 2 【版本导航】人教：九上P27~P57；北师：九下P28~P45，P51~P63；华师： 九下P1~P34. 3 一阶 教材知识全梳理 4 考点1 二次函数的概念及三种表达式 1. 概念：一般地，形如，，是常数， 的函数， 叫做二次函数.其中，是自变量，，， 分别是函数解析式的二次项系 数、一次项系数和常数项. 2. 表达式的三种形式： （1）一般式：，，为常数且 ； （2）顶点式：， 为顶点坐标）； （3）交点式：（，，是抛物线与 轴交点的 横坐标）. 5 考点2 二次函数的图象与性质必考（二次函数的图象为抛物线） 解析式 的符号 大致图象 ___________________________________ _____________________________________ 开口方向 开口向①____ 开口向②____ 对称轴 直线 ③_____ 顶点坐标 （④_____，⑤_ ______） 上 下 6 增减性 在对称轴左侧，随 的增 大而⑥______； 在对称轴右侧，随 的增 大而⑦______ 在对称轴左侧，随 的增大而⑧ ______； 在对称轴右侧，随 的增大而⑨ ______ 最值 有最⑩____值 有最⑪____值 当⑫_____时， 取得最值，最值为⑬_ ______ 减小 增大 增大 减小 小 大 续表 7 考点3 二次函数的图象与系数的关系重点 问题导入 已知二次函数 ，完成下列填空. （1）当二次函数图象为图1时，⑭___0，⑮___0，⑯___0， ⑰ ___0，⑱___0， ⑲___0； 图1 8 （2）当二次函数图象为图2时，⑳___0，㉑___0， ㉒___0. 图2 9 方法梳理 系数 ， 符号 图象特征 开口 向上 开口 向下 对称轴为㉓ _____ 对称轴 在 轴 左侧 对称轴 在 轴 右侧 经过 ㉔ _____ 与 轴 正半轴 相交 与 轴 负半轴 相交 轴 原点 10 特殊关系 （先把含， ， 的项移到 式子的同一边） ，图象与 轴有㉕____个交点 ，图象与 轴没有交点 看到，比较 和1的大小 看到，比较 和㉖____ 的大小 看到 ，找当 ㉗___时 的值 看到，找当时 的值 看到 ，找 当时 的值 看到，找当 ㉘ ____时 的值 两 1 续表 11 考点4 二次函数图象的几何变换 函数图象的平移、翻折（对称）与旋转 变换方式 一般式 顶点式 图象特点 向左平移 个单位长度 不变，即 开口方向和 大小不变 向右平移 个单位长度 ㉙_________ ____________ 12 变换方式 一般式 顶点式 图象特点 向上平移 个单位 长度 不变，即 开口方向和 大小不变 向下平移 个单位 长度 ㉚_________ ____________ 沿 轴翻折 （关于 轴对称） ㉛_________ __________ 续表 13 变换方式 一般式 顶点式 图象特点 沿 轴翻折 （关于 轴对称） 变为相反 数，即开口 方向相反， 开口大小 不变 绕顶点旋转 绕原点旋转 ㉜_________ ___________ 续表 14 【注意】（1）口诀：“左加右减”自变量，“上加下减”常数项；（2）二次函 数解析式可先化为顶点式，再进行变换；（3）二次函数图象的变换过程中， 图象开口大小不变，即 不变. 15 考点5 二次函数解析式的确定 1. 基本方法：待定系数法； 2. 步骤：设解析式 代入已知点坐标得方程（组） 解方程（组） 得 解析式； 16 3.根据已知条件，设适当形式的解析式 已知条件 应设解析式 任意三个点的坐标 一般式： 顶点坐标 其他一个点坐标 顶点式： ㉝_________ 与轴的两个交点的坐标，其他一个点坐标 交点式： ㉞___________ ___________ 17 【技巧点拨】（1）当抛物线与轴的两个交点为， 时，对称 轴为直线；（2）当已知抛物线与 轴的一个交点和对称轴时，可 求出抛物线与 轴的另一个交点，仍可设交点式. 18 考点6 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系（2022版课标新增） （1）抛物线与 轴交点的横坐标可看作是一元二次方程 的解. 抛物线 方程 _________________________________ 与 轴有㉟______交点 有两个不相等的实数 根 两个 19 与 轴有一个交点 有㊱______相等的实数根 与 轴没有交点 没有实数根 两个 续表 20 （2）抛物线与直线 的交点，可换转 为一元二次方程㊲______________________的解的问题. 21 2.二次函数与不等式的关系（拓展） 不等式 解集 _____________________________________________________ 函数 的图象位于函 数 图象㊳____方对应的 点的横坐标的取值范围（如图，解 集为或 ） 函数 的图象位于函 数 图象㊴____方对应的 点的横坐标的取值范围（如图，解 集为 ） 上 下 22 二阶 追本溯源练考点 23 考点1 二次函数的图象与性质（必考） 1. （人教九上P41T7改编）已知二次函数 . （1）该二次函数的图象开口向____，与 轴交于点______，对称轴为直线 ________； 上 （2）该二次函数的顶点坐标为________； （3）当________时，随 的增大而减小； 24 （4）该函数值的取值范围是_______；当时，函数值 的取值 范围是__________； （5）若二次函数的图象经过，，则___ ；若二次函数的图 象经过，，则___.（填“ ”“ ”或“ ”） 25 2. （2024福建10题4分）已知二次函数 的 图象经过， 两点，则下列判断正确的是( ) C A. 可以找到一个实数，使得B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 【解析】由题意得，二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，；当时，，，故，错误，不符合题意； 26 当时，，由二次函数图象对称性可知点和点关于对称轴对称，在对称轴右侧，随的增大而增大， 当时，；当时，，由二次函数图象对称性可知点和点关于对称轴对称，在对称轴左侧，随的增大而减小，所以当时，不一定大于0，故正确，符合题意；错误，不符合题意.故选. 3. （2023福建16题4分）已知抛物线 经过 ，两点，若， 分别位于抛物线对称轴的两侧， 且，则 的取值范围是____________. 【解法点拨】分类讨论：①点在对称轴的左侧，点 在对称轴右侧；② 点在对称轴左侧，点 在对称轴右侧.根据点到对称轴的距离和函数值大 小关系列不等式组. 28 【解析】抛物线的对称轴为直线，， 抛物线开口向上，， 若点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，由题意可得不等式组无解；若点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，由题意可得解得，的取值范围为. 29 考点2 二次函数的图象和系数的关系 4. （北师九下P41T1改编）已知二次函数的图象 如图所示，则点 所在的象限是( ) A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 30 5.如图，抛物线与 轴负半轴交于点， 对称轴为直线.以下结论： ； ； ；； ； . 其中正确的是__________（填序号）. 31 考点3 二次函数图象的几何变换 6. （人教九上P35例3改编）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 所得抛物线的函数表达式为( ) D A. B. C. D. 32 【变式设问】 将抛物线 向右平移___个单位长度，再向下 平移___个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.（写一种即可） 1 6 33 考点4 二次函数解析式的确定 7. （人教九上P47T4改编）已知抛物线 . （1）若函数图象与轴交于点， ，则抛物线的对称轴是____ _____； （2）若抛物线的顶点坐标为，且经过点 ，则抛物线的解析式 是_________________； 直线 34 （3）已知抛物线经过点， ，则该抛物线的解 析式是_________________； （4）已知抛物线的对称轴为直线 ，且经过点 ，则抛物线的解析式是_________________. 35 考点5 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 8. （北师九下P53T4改编）如图，已知一次函数 和二次函数的图象交于点 和点 . （1）方程 的解为_________________； ， （2）方程 的解为_________________； （3）不等式 的解集是____________； （4）若，则方程 的根的个数为___. ， 2 36 三阶 分层设问攻重难 37 重难点 二次函数图象与性质综合题 9.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于 ， 两点，与轴交于点，，顶点为，对称轴交轴于点 . 图1 38 （1）二次函数的解析式为________________； （2）二次函数图象的对称轴为直线________，顶点 的坐标为__________； 图1 39 （3）已知，是该函数图象上两点，且 . 图1 ①若，判断与 的大小，并说明理由； 解： .理由如下： ，， . 由（1）可知，二次函数图象的对称轴为直线， 点， 在对称轴右侧，且 . ，二次函数图象的开口向上， 在对称轴右侧，随 的增大而增大， ； 40 ②若，求点 的坐标. 解： ， 轴，且，关于直线 对称. ， ，， . 将代入，得 ， 点的坐标为 . 图1 41 图2 （4）（2024福建21（2）题变式）如图2，若 是该二次函数图象上一点，且 点在第二象限，线段交轴于点 ，的面积是的面积的倍， 求点 的坐标； 解：由题意，设 ， 又的面积是的面积的 倍， . 又 ， . 由 ，解得， （舍去）. 点的坐标为 . 42 （5）直线下方的抛物线上是否存在一点，使得 的面积最大？若 存在，求出的最大面积及此时点 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：设直线的解析式为， 则把点， 代入得： 解得 直线的解析式为 ， 图2 43 过点作轴，交于点 ，如解图所示： 设点，则有， 其中 ， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为， 点 的坐标为 . 44 【方法总结】二次函数与面积问题为近5年必考点，解函数与面积问题常 见方法如下： 方法 宽高法：（宽×高） 定义 过三角形的一个顶点作 轴的平行线与这个顶点的对边（或延长线）相交，交点到这点的距离为这个三角形的高；另外两个顶点的水平距离为该三角形的宽 常见 解法 _______________ 45 温馨提示 请完成分层进阶练习册P29~P30习题 46 47 $$