第3节 反比例函数及其应用(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（福建专用）

2025福建 数 学 课堂精讲册 1 第一部分 追本溯源夯基础 第三单元 函数 第三节 反比例函数及其应用 2 【版本导航】人教：九下P1~P22；北师：九上P148~P162；华师：八下P54 ~P59. 3 一阶 教材知识全梳理 4 考点1 反比例函数的图象与性质重点 概念 一般地，形如为常数， 的函数，叫做反比例 函数，其中是自变量，是 的函数 解析式 为常数， 取值范围 ， 的符号 大致图象 所在象限 第①________象限 第②________象限 一、三 二、四 5 图象特征 双曲线，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 图象上点的 坐标特征 横坐标与纵坐标的积恒为③___ 增减性 在每个象限内，随 的增大 而④______ 在每个象限内，随 的增大 而⑤______ 对称性 中心对称：关于原点成中心对称 轴对称：关于直线 和直线⑥________对称 减小 增大 续表 6 【特别提醒】（1）反比例函数的增减性不能简单地说随 增大而增大 （或减小），应指明在每个象限内；（2）比较反比例函数图象上点的纵 坐标大小时，应分类讨论：①两点在同一象限，利用增减性比较；②两点 在不同象限，利用各象限点的纵坐标的符号比较. 7 考点2 反比例函数中 的几何意义 的几 何意义 如图，过双曲线上任一点分别作轴， 轴的垂线 ，，所得矩形的面积 ⑦____ __________________________________ 8 常见图 形面积 _______________________________________________ _____________________ ⑧_____ _______________________________________________________________ 续表 9 常见图 形面积 ______________________________________________________________ ⑨_____ ______________________________________________________________________________ ⑩_______ 续表 10 【特别提醒】（1）利用 的几何意义解题时，通常过图象上的点向坐标轴 作垂线段；（2）因为有正、负之分，所以用 表示三角形或四边形的面 积时，要给 加绝对值. . . 11 考点3 反比例函数解析式的确定 方法1：用待定系数法确定反比例函数的表达式. 方法2：利用 的几何意义确定反比例函数的表达式. 注意:结合函数图象所在象限确定的正负，从而得出 的值. 12 考点4 反比例函数的实际应用 反比例函数的实际应用中的常见类型和数量关系： （1）行程问题：路程一定，速度与时间 ； （2）面积问题：如矩形，面积一定，长和宽 ⑪__； （3）销售问题：总销售额一定，销量与售价：销量 ； （4）跨学科问题：①压强问题：压力一定，压强 ；②电 学问题：电压一定，电流⑫_ ______；③密度问题：质量 一定，密 度 . 13 【特别提醒】 一般情况下，在反比例函数的实际应用题中， 都是大于0 的， 的取值范围是⑬______，图象也都只在第一象限. 14 考点5 反比例函数与一次函数结合 1. 图象问题 假设法：针对每一个选项中的图象，先假设一次函数的图象正确，由此确 定<m></m>的符号，再根据<m></m>的符号判断反比例函数的图象，若符合，则图象正确； 若出现矛盾，则图象不正确. 15 2.交点个数问题 （1）大致图象判断法 与 同号 与 异号 结论 反比例函数 与正比例函数 ________________________ _________________________ ________________________ __________________________ 与 同号，两函数图象必有2个交点，且两个交点关于⑭_____成中心对称； 与 异号，两函数图象无交点 原点 16 反比例函 数 与 一次函数 ____________________________ ____________________________ ____________________________ ______________________________ 与 同号，两函数图象必有⑮ _____交点；与 异号，两函数图象交点可能有2个、1个或没有 2个 续表 17 （2）联立解析式判断法 令 ，化简得一元二次方程，根据⑯____________与0的关系判断 交点的个数. 根的判别式 18 3.不等式问题（此类题的设题背景通常为反比例函数和一次函数的图象有 两个交点） 步骤 举例 （1）确定反比例函数与一次函数图象的两个交点的横坐标 ， ___________________________________________________ （2）分区：过两个交点分别作 轴的平行线，连同 轴将坐标平面分为四个部分 区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ 19 步骤 举例 （3）观察函数图象找答案：根据图象在上方的函数值比图象在下方的函数值大，在各区域内找相应的 的取值范围 若 ，则位于区域Ⅰ，Ⅲ，此时 的取值范围为 或 ；若 ，则位于区域⑰________，此时 的取值范围为⑱____________________ ___________________________________________________ 续表 Ⅱ，Ⅳ 或 20 二阶 追本溯源练考点 21 考点1 反比例函数的图象与性质（6年4考） 1. （人教九下P6T2改编）对于函数 ，下列说法不正确的是 ( ) D A. 它的图象分布在第二、四象限 B. 点 在它的图象上 C. 图象是轴对称图形且关于原点中心对称 D. 的值随 的增大而增大 22 【变式设问】 已知点，， 在该函数的图象上， 则，， 的大小关系是_____________. 23 【技巧点拨】已知函数解析式比较函数值大小：（1）直接代值法；（2） 数形结合：根据点在坐标系中的上下位置比较；（3）利用反比例函数的 增减性比较（注意各点所在象限是否相同）. 24 2. （2022福建14题4分）已知反比例函数 的图象分别位于第二、 第四象限，则实数 的值可以是__________________.（只需写出一个符合 条件的实数） （答案不唯一） 25 3. （2021福建11题4分）若反比例函数的图象过点，则 的值等于___. 1 26 考点2 反比例函数中 的几何意义（2023.9） 4. （2023福建9题4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例 函数和 的图象的四个分支上，则实数 的值为( ) A A. B. C. D. 3 27 【解析】连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，点在函数图象上，如解图. 四边形是正方形，， ，，，. 点在第二象限，，故选. 5.（2024福州二检）在平面直角坐标系 中，反比例函数 和反比例函数 的图象如图所示.一 条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于， 两点，则的面积是____.（用含， 的式子表示） 【解析】由题意知轴，设为与轴交点，的图象位于第一象限，则，的图象位于第四象限，则，设，的横坐标为，则，,，，，，. 29 考点3 反比例函数综合题（6年2考） 考向1 反比例函数对称性与几何图形结合 6. （2024福建15题4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函 数的图象与交于， 两点，且点，都在第一象限.若， 则点 的坐标为______. 30 7.（2024宁德二检）如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象相交于，两点.已知点的横坐标是，则点 的坐标是________. 31 8. （2020福建16题4分）设，，，是反比例函数 图象上 的任意四点，现有以下结论： ①四边形 可以是平行四边形； ②四边形 可以是菱形； ③四边形 不可能是矩形； ④四边形 不可能是正方形. 其中正确的是______.（写出所有正确结论的序号） 32 【变式设问】 已知矩形的四个顶点均在反比例函数 的图象上， 且点的横坐标是2，则矩形 的面积为___. 33 考向2 反比例函数与一次函数结合 9. （人教九下P22T10改编）如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象有唯一交点，若直线与 反比例函数 的图象有2个交点，则 的取值范围是_______________. 或 34 10.（2024漳州一中模拟）如图，在平面直角坐标系中放置一块含 角的 三角板， ，，两点分别落在轴和轴上，直线 的 解析式为，右侧有一条直线到的距离为 . （1）用尺规作出直线 （保留作图痕迹，不写作法）； 解：作直线 如解图； 第10题图 第10题解图 35 （2）若直线与边交于点，双曲线经过点，求出 的值. 第10题图 解：由题易得，， 如解图，过点作 轴，垂足为 ， 在和 中， ， ，， . 根据（1）中作图可知，直线，直线垂直平分 ， 36 点为线段 的中点， ，，， . 点，在双曲线 上， . 考点4 反比例函数的实际应用 11. （人教九下P17T8改编）跨物理学科 在物理学中，功率表示做 功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率 与做功所用的时间 成反比例函数关系，图象如图所示，则下列说法不 正确的是( ) C A. 与的函数关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 随 的增大而减小 38 三阶 分层设问攻重难 39 重难点 反比例函数与一次函数的综合 12.如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交 于点，与轴的负半轴交于点，且 . （1）求 的长； 解： . （2）求点 的坐标； 解：， . 又 点在 轴的负半轴上， 点的坐标为 . 40 （3）求反比例函数和一次函数的表达式； 解：将点代入，得 ， 反比例函数的表达式为 . 将点，代入， 得解得 一次函数的表达式为 . 41 （4）若是反比例函数的图象上的一点，且 ，求 点 的坐标； 解：设点的坐标为，其中 . ，， ， ， 点的坐标为 . 42 （5）若点与点关于轴对称，试在轴上确定一点，使 最小， 求此时点 的坐标； 解图1 解：如解图1，连接 . 点与点关于轴对称，点在 轴上， ， . ， 当，，三点共线时，最小， 此时点 为一次函数的图象与轴的交点， 在 中，令，得 ， 当最小时，点的坐标为 . 43 （6）若在轴上存在一点，使是直角三角形，求此时点 的坐标. 解： 在轴上存在一点，使是直角三角形， 设 ， ①如解图2，当 时， 轴， 解图2 点，， ； 44 ②如解图3，当 时，过点作轴于点 . 解图3 点，，， ， ， ， ， ， ， ， ， . 综上所述，点的坐标为或 ． 45 温馨提示 请完成分层进阶练习册P27~P28习题 46 47 $$