第3节 一元二次方程及其应用(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（福建专用）

2025福建 数 学 课堂精讲册 1 第一部分 追本溯源夯基础 第二单元 方程(组)与不等式(组) 第三节 一元二次方程及其应用 2 【版本导航】人教：九上P1~P26；北师：九上P30~P58；华师：九上P18~P46. 3 一阶 教材知识全梳理 4 考点1 一元二次方程的有关概念 相关 概念 ______________________________________________________________________________________________________ 三个 条件 （1）整式方程；（2）只含有①______未知数；（3）未知数的最 高次数是②___ 一个 2 5 【特别提醒】（1）若题目中有“一元二次方程 ”说法，则 必然隐含着 这一条件； （2）若未说明方程类型，则需分类讨论时是一次方程和 时是 一元二次方程两种情况. . . 6 考点2 一元二次方程的解法重点 解法 适用情况 方程的解 直接开 平方法 形如 或 的形式 ③______或 配方法 二次项系数化为1后，一次项 系数为偶数，形如： ，配方后为 ④_______________ 7 解法 适用情况 方程的解 公式法 适用所有一元二次方程，应先化为一般形式 （需满足 ，否则 不能使用求根公式） ⑤_ __________ 因式 分解法 能化成 的形 式 ⑥___， ⑦___ 续表 8 【温馨提示】（1）用因式分解法解一元二次方程时，若等号两边有含未 知数的公因式，勿直接约去公因式，避免漏解； （2）四种解法的优先选择顺序：直接开平方法 因式分解法 公式法 配方法. . . 9 【即时自测】 用适当的方法解下列方程： （1） ； 解： ， ， ， 即或 ， ， ； 10 （2） . 解：配方，得 ， ， ， . 11 考点3 一元二次方程根的判别式 根的判别式与方程的根的关系（根的判别式为，用 表示）： （1） 一元二次方程 有两个 ⑧________的实数根； （2） 一元二次方程 有两个 ⑨______的实数根； （3） 一元二次方程 ⑩________实数根. 不相等 相等 没有 12 【特别提醒】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母， 那么要加上二次项系数不为0这个限制条件. 【怎么考？】常见考查类型： （1）不解方程，由根的判别式直接判断根的情况；（2）根据根的情况， 确定参数系数的取值范围；（3）证明含参方程的根的情况. . . 13 考点4 一元二次方程根与系数的关系重点（2022版课标调整为考 查内容） 如果一元二次方程 的两根分别是 ，，那么⑪____， ⑫__. 14 【拓展变形】 根据完全平方公式 和分式的性质 完成下列填空： （1） ； （2）⑬___________ ； （3） ； （4） ； （5） . x1+x2 2x1x2 15 考点5 一元二次方程的实际应用（在根据实际问题列方程或几何 问题中涉及） 1. 列一元二次方程解实际应用题的步骤：审、设、列、解、验、答. 16 2.常见类型及数量关系 常见类型 等量关系 变化率问题 设为原来的量， 为变化后的量. （1）若平均增长率为，增长次数为2，则 ； （2）若平均下降率为 ，下降次数为2，则⑯____________ 17 常见类型 等量关系 面积问题 在矩形中，设阴影部分的宽为，则图1中 ⑰ _________________，图2中 ⑱______________，图3 中 ⑲______________ ______________________________________________________________________ 图1 图2 图3 续表 18 常见类型 等量关系 每每问题 （1）常用公式：①每件利润 ⑳__________-每件成本；② 总利润 每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨元，少卖件，则涨价 元 时，少卖的数量为㉑_____件 每件售价 续表 19 常见类型 等量关系 传播、循环 问题 （1）病毒传播问题：若初始数据为，每次传播 个，则第 一轮后共有 个，第二轮后共有㉒__________个； （2）握手、单循环赛问题：若共有 人，则握手 （单循环赛）总次数为㉓_______； （3）互赠礼物问题：若共有 人，则送礼物总份数为㉔ _________ 续表 20 二阶 追本溯源练考点 21 考点1 一元二次方程的有关概念 1. （人教九上P4T1改编）已知关于的方程 . （1）若该方程是一元二次方程，则 的取值范围是_________； （2）若该方程是一元一次方程，则 的值是____； （3）若 ，则该方程的二次项是____，二次项系数是___，一次项是 _____，一次项系数是____，常数项是___. 1 2 22 考点2 一元二次方程的解法 2. （北师九上P56T2改编）选择合适的方法解下列一元二次方程. （1） ； 解： ， ， ， ； 23 （2） ； 解：移项，得 ， 配方，得，即 ， ， ， ； 24 （3） ； 解：，，， ， ， ， ； （4） . 解：移项，得 ， 因式分解，得 ， 或，， . 25 【易错提醒】使用公式法时，注意先把方程化为一般形式，各项系数与常 数项均包含前面的符号（特别是负号），且先验证是否满足 . 26 考点3 一元二次方程根的判别式 3.【易错题】（T1变式）已知关于的方程 有实数 根，下列关于 的可能取值错误的是( ) C A. 0 B. C. 1 D. 27 【易错提醒】若一元二次方程有实数根包括有两个不相等的实数根和两个 相等的实数根两种情况；若方程有实数根，则需考虑方程是一元一次方程 的情况. 28 4.（2024南平一检）已知关于的一元二次方程 . （1）求证：无论 为何值，此方程总有实数根； 证明：，， ， ， 无论 为何值，此方程总有实数根； 29 （2）若直角三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两根，求 的值. 解：由（1）得 ， ，解得， . 直角三角形的另两边长恰好是这个方程的两根， 这个直角三角形的三边长分别是3，3， ， 该直角三角形的斜边长只能为 ， ，解得 ， ， ， 答：<m></m>的值是<m></m>. 30 考点4 一元二次方程根与系数的关系（2024.23涉及，2021.25涉及） 5. （人教九上P17T7改编）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为， . （1）当 时， ①___， ____； ②___， ____； 2 5 （2）若，则 的值为___. 2 31 考点5 一元二次方程的实际应用（2023.6，2021.6） 6. （2023福建6题4分）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地 区生产总值为亿元，2022年的地区生产总值为 亿元.设 这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为 ，根据题意可列方程为 ( ) B A. B. C. D. 32 【变式设问】 某地区2021年生产总值为3万亿元，已知2021年到2023年各 年生产总值的和为10.92万亿，设2021年到2023年生产总值的变化率均为 ， 则可列方程为________________________________. 33 7. （北师九上P55T1改编）某品牌童装平均每天可售出20件，每件 盈利40元，为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量， 增加盈利，并尽快减少库存.经市场调查发现：若每件童装每降价1元，则 每天可多售出2件.如果每天销售这种童装要赢利1 200元，那么每件童装应 降价多少元？ （1）填空：设每件童装降价 元，那么降价后，平均每天就可多售出____ 件，一天可售出__________件，每件盈利_________元； 34 （2）列方程求解上述问题. 解：根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得， . 要扩大销售量，并尽快减少库存， . 答：每件童装应降价20元. 35 8. （人教九上P25T8改编）如图，利用一面墙（墙的长度为 ） 和 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道 宽的门，设的长为 . （1）若两个鸡场的面积和为，求关于 的关系式； 解：由题意可得， ， 即关于的关系式是 ； 36 （2）两个鸡场的面积和能否等于？若能，求出此时 的值；若 不能，请说明理由. 解：不能，理由如下： 令 ， 即 . ， 原方程无实数解， 两个鸡场的面积和不能等于 . 37 温馨提示 请完成分层进阶练习册P15~P16习题 38 39 $$