精品解析：黑龙江省牡丹江市发展共同体第三子共同体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

协同发展共同体第三子共同体2024—2025学年度第一学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（　 ） A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知,则是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（    ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 若，则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为_____. 13. 若，，则实数的取值范围为___________. 14. 已知 在R上单调递减，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）求的值. 16. 已知幂函数的图象关于y轴对称. （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域. 17. 已知 （1）化简； （2）若，求的值： （3）若为第三象限角，且，求的值. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 函数的部分图象如图所示. （1）写出的最小正周期及图中、的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 20. 函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 协同发展共同体第三子共同体2024—2025学年度第一学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先将集合化简，然后利用交集的定义即可求解． 【详解】集合，， 则． 故选：A． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算及一元二次不等式的解法，属于基础题． 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 3. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求. 【详解】由题意，且，解得， 所以. 故选：D 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助函数的奇偶性、单调性及函数正负，利用排除法即可得. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称，又， 所以函数是奇函数，即的图象关于原点对称，故B错误； 当时，因为，所以，故C错误； 因为， 所以在上并不单调递增，故D错误. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将所求式子分子分母同时除以，再利用，可将所求式子转化为关于的式子，将代入即可求得结果. 【详解】∵，而， ∴. 故选：D. 6. 已知,则是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先解不等式，再根据不等式的解集即可得到答案. 【详解】因为或. 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了二次不等式，属于简单题. 7. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性和零点存在定理求解即可. 【详解】因为函数是上的增函数，是上的增函数， 故函数是上的增函数． 又，， 即，所以函数在区间内存在零点． 故选：C. 8. 已知函数，则（    ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 若，则的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质一一判断. 【详解】因为，所以的最小正周期，故A错误； 当，则，因为在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误； 当，则，所以， 所以在上不存在最小值，故D错误. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数单调性及，得到，进而判断出ABC正确，D错误. 【详解】AB选项，在是减函数，且，故， ，AB正确； CD选项，因为，，所以， ，C正确，D错误. 故选：ABC 10. 下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用奇函数定义、函数的单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，因为，所以为奇函数， 且单调递增函数，所以单调递增函数，故A正确； 对于B，的定义域为，因为， 所以为奇函数，且单调递增区间为，所以在整个定义域上不单调，故B错误； 对于C，的定义域为，因为， 所以为奇函数，因为为增函数，所以为增函数，故C正确； 对于D，的定义域为，因为，所以为奇函数，因为在上不单调，故D错误． 故选：AC． 11. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将平方后，解得，联立方程组分别算出，从而判断每个选项. 【详解】，两边同时平方可得， 即，解得，A选项正确； ， 为锐角，于是，则，B选项正确； 由，可得，，则， 注意到，则，故C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为_____. 【答案】2π 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积． 【详解】扇形的圆心角为，弧长为， 则扇形的半径为， 面积为． 故答案为：． 13. 若，，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式的最小值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】，，则， 由基本不等式可得， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知 在R上单调递减，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性的性质，求得的范围，即得所求． 【详解】若函数在上是单调减函数， 则，解得， 即， 故答案为：． 四、解答题：本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）求的值. 【答案】（1）47; （2）11 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. 【详解】（1）因为，所以，化简得， 所以，则. （2） . 16. 已知幂函数的图象关于y轴对称. （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求出m的值即可； （2）由（1）求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以，解得或． 当时，，则， ，则函数图象不关于轴对称，故舍去， 当时，则，定义域为，关于原点对称， 且，则此时为偶函数，图象关于轴对称， 故． 【小问2详解】 ， 因为， ， 故在上的值域为． 17. 已知 （1）化简； （2）若，求的值： （3）若为第三象限角，且，求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，从而得解； （2）利用（1）中结论，直接代入，结合三角函数的诱导公式即可得解； （3）根据题意，利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，从而得解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 在上单调递减，证明如下： 由（1）知， 任取，设， ， 因为在上是增函数，所以，， 又，所以，从而， 所以在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，求得，然后利用奇函数的定义验证即可； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可； （3）由为奇函数，把问题转化为恒成立，根据单调性可得恒成立，利用判别式可求得结果． 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数， 所以，所以，， 又，得，解得， 所以， 因为， 所以是奇函数，符合题意. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数，且恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递减， 所以恒成立，即恒成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 19. 函数的部分图象如图所示. （1）写出的最小正周期及图中、的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），，；（2）最大值0，最小值. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出；（2）把看作一个整体，从而求出最大值与最小值. （1）由题意知：的最小正周期为，令y=3，则，解得，所以，. （2）因为，所以，于是 当，即时，取得最大值0； 当，即时，取得最小值. 考点：本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 20. 函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域． 【答案】（1）最小正周期为，，． （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数解析式，结合周期和单调区间的求解方法可得答案； （2）根据图象变换求出，结合函数单调性可得值域. 【小问1详解】 ， 因为，所以的最小正周期为. 令，，解得，， 所以函数的单调减区间为，． 【小问2详解】 函数的图象先向左平移个单位得到， 将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到， 时，， 所以当时，解得，此时函数为增函数； 当时，解得，此时函数为减函数； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的最大值为，又因为，， 所以函数的最小值为，所以的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $