专题08 相交线与平行线全章复习（二大考点10种题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版2024）

专题08 相交线与平行线全章复习 目录 【题型一 对顶角的概念与性质的应用】 2 【题型二 利用垂直的定义求角度】 2 【题型三 垂线的画法】 3 【题型四 利用垂线、垂线段的性质解题】 4 【题型五 认识“三线八角”】 5 【题型六 平行线的画法】 6 【题型七 平行线的3种判定方法】 7 【题型八 平行线性质的应用】 7 【题型九 平行线的判定与性质的综合应用】 9 【题型十 平行线中的拐点问题】 10 【题型一 对顶角的概念与性质的应用】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两直线交于点O，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线、相交于点O，若，，则 ． 2．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）如图，的度数是 ． 【题型二 利用垂直的定义求角度】 例题：（24-25七年级上·重庆·期末）如图，是北偏西方向的一条射线，，则表示的方位角是（    ） A．东偏北 B．东偏北 C．北偏东 D．北偏东 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，若，，则图中互余的角共有 对． 2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，，都过点，且，平分，，则 ． 【题型三 垂线的画法】 例题：（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）利用三角尺或量角器判断，图中的两点所成的直线能与直线l垂直的是（　　） A．点M和点N B．点P和点Q C．点M和点Q D．点N和点P 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，用三角尺过点P作直线的垂线． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 【题型四 利用垂线、垂线段的性质解题】 例题：24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【题型五 认识“三线八角”】 例题：如图，直线a，b被直线c所截，则与的位置关系是（    ）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【变式训练】 1．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图所示，与是 角，与是 角，与是 角． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图， （1）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （2）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （3）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角． 【题型六 平行线的画法】 例题：（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1．    (1)过点C画的垂线，交于点D； (2)过点C画的平行线； (3)线段的长度是点C到______的距离． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·福建福州·期中）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图 (1)过点P作PQAB，交CD于点Q； (2)过点P作PR⊥CD，垂足为R； (3)若∠DCB＝130°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由． 2．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线与直线相交于C，根据下列语句画图 (1)过点P作，交于点Q (2)过点P作，垂足为R (3)若，求是多少度？ 【题型七 平行线的3种判定方法】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b被直线c所截，若，当 时，． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）小亮将一副三角板和按如图所示方式摆放，其中边和边重合，由此判定，他的判定依据是 ． 【题型八 平行线性质的应用】 例题：探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，，经灯碗反射以后平行射出，其中，，则的度数是 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于点O，．垂足为点D，已知米，请根据上述信息求标语的长度．    2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【题型九 平行线的判定与性质的综合应用】 例题：（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，下列四个选项中，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 【题型十 平行线中的拐点问题】 例题：（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，ABCD，∠α＝（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【变式训练】 1．（21-22七年级下·浙江金华·期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4= ． 2．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，平行线，被直线所截，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）下列说法不正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．两点确定一条直线 C．互余两角度数的和等于 D．同角的补角相等 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，、为入射光线，、为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）将一副直角三角板按如图所示各位置摆放，其中与一定互余的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，直线被直线所截，下列条件不能证明的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在中，于点D，点E在上．若，那么线段的长可以是 ．（写出一个即可） 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点在同一条直线上，分别平分和． （1） ． （2）如果， ． 8．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）大雁迁徙时常排成“人”字形，这个“人”字形的一边与其飞行方向夹角，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行最佳，所受阻力最小，则的补角的度数是 ． 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）将一把直尺与一块含的三角板如图放置（点G在上），若平分，则的度数为 ． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线分别与直线，相交于点G，H，已知，平分交直线于点M，则的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知是直线上的一点，过点作，且，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，请求出的度数． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：． 13．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，已知，垂足分别为D、F，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴（垂直的定义） ∴（                ）（同位角相等，两直线平行） ∴（                    ） ∵（                    ） ∴（                    ） ∴（                    ） ∴（                    ） 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，，试说明：． 15．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，D为三角形的边上一点，交于点E，的延长线交的平行线于点F，试说明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 相交线与平行线全章复习 目录 【题型一 对顶角的概念与性质的应用】 2 【题型二 利用垂直的定义求角度】 3 【题型三 垂线的画法】 5 【题型四 利用垂线、垂线段的性质解题】 7 【题型五 认识“三线八角”】 9 【题型六 平行线的画法】 11 【题型七 平行线的3种判定方法】 14 【题型八 平行线性质的应用】 16 【题型九 平行线的判定与性质的综合应用】 18 【题型十 平行线中的拐点问题】 21 【题型一 对顶角的概念与性质的应用】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两直线交于点O，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角；由对顶角的性质得，由邻补角得，即可求解；掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线、相交于点O，若，，则 ． 【答案】/49度 【分析】本题考查对顶角相等，角度的和差． 根据对顶角相等得到，再根据角的差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）如图，的度数是 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握三角形内角和是是正确解答的前提． 根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图， ，，， ， ， 故答案为：． 【题型二 利用垂直的定义求角度】 例题：（24-25七年级上·重庆·期末）如图，是北偏西方向的一条射线，，则表示的方位角是（    ） A．东偏北 B．东偏北 C．北偏东 D．北偏东 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．由题意得：，再根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系求出的度数，再根据方向角的定义即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴表示的方位角是北偏东． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，若，，则图中互余的角共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查的是互余的含义，垂直的定义，根据垂直的定义可得，，，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴互余的角共有4对． 故答案为： 2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，，都过点，且，平分，，则 ． 【答案】/149度 【分析】此题考查了角平分线定义，垂直的定义，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．根据对顶角相等得出，进而利用互余和角平分线的定义得出的度数，进而解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三 垂线的画法】 例题：（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）利用三角尺或量角器判断，图中的两点所成的直线能与直线l垂直的是（　　） A．点M和点N B．点P和点Q C．点M和点Q D．点N和点P 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂直的定义，三角尺和量角器的使用方法，理解垂直的定义，三角尺和量角器的使用方法是解决问题的关键．作直线交于，交于，交于，交于，根据垂直的定义，利用三角尺或量角器即可得出答案． 【详解】解：作直线交于，交于，交于，交于，如下图所示： 利用三角尺可得出直线（或利用量角器量出，，，的度数即可得出直线）． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，用三角尺过点P作直线的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线的能力．用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿直角边向画直线即可． 【详解】解∶如图，直线l即为所求． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短： （1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可； （2）过点B作于C，根据垂线段最短可知点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点B作于C，点C即为所求． 【题型四 利用垂线、垂线段的性质解题】 例题：24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 【详解】如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，， ∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，作答即可． 【详解】解：过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论． 【详解】解：∵，且， 根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短， 所以，的最小值为的长， 所以，的最小值为6， 故答案为：6． 【题型五 认识“三线八角”】 例题：如图，直线a，b被直线c所截，则与的位置关系是（    ）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可． 【详解】解：如图所示，与两个角都在被截直线a，b同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故与是直线a，b被c所截而成的同位角． 故选：A． 【变式训练】 1．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图所示，与是 角，与是 角，与是 角． 【答案】 同位 同旁内 内错 【分析】根据同位角、内错角及同旁内角的定义：两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角；在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可得，∠1与∠2是同位角；∠2与∠4是同旁内角；∠2与∠3是内错角． 故答案为：同位、同旁内、内错． 【点睛】此题考查了同位角、内错角及同旁内角的知识，属于基础题，掌握定义是关键． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图， （1）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （2）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （3）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 内错 同位 【分析】此题考查了同位角、内错角等知识． （1）根据角的位置关系进行解答即可； （2）根据角的位置关系进行解答即可； （3）根据角的位置关系进行解答即可． 【详解】（1）和是由直线与直线被直线所截形成的内错角； （2）和是由直线与直线被直线所截形成的内错角； （3）和是由直线与直线被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，内错，，，，内错，，，，同位 【题型六 平行线的画法】 例题：（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1．    (1)过点C画的垂线，交于点D； (2)过点C画的平行线； (3)线段的长度是点C到______的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查作图，以及垂线的定义，平行线的定义，点到直线的距离，熟练掌握作图的方法是解题的关键． （1）根据网格特点，垂线的定义画图即可； （2）根据网格特点，平行线的定义画图即可； （3）根据点到直线的距离进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的垂线；    （2）解：如图，为所求作的平行线；    （3）解：线段的长度是点C到的距离． 故答案为：． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·福建福州·期中）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图 (1)过点P作PQAB，交CD于点Q； (2)过点P作PR⊥CD，垂足为R； (3)若∠DCB＝130°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)∠PQC=50°．理由见解析 【分析】（1）过点P作PQAB，交CD于点Q即可； （2）过点P作PR⊥CD，垂足为R即可； （3）利用两直线平行，同旁内角互补，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图所示：PQ即为所求； （2）解：如图所示：PR即为所求； （3）解：∠PQC=50°． 理由：∵PQCD， ∴∠DCB+∠PQC=180°， ∵∠DCB=130°， ∴∠PQC=180°-130°=50°． 【点睛】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题是解题关键． 2．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线与直线相交于C，根据下列语句画图 (1)过点P作，交于点Q (2)过点P作，垂足为R (3)若，求是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题是解题关键． （1）过点作，交于点； （2）过点作，垂足为； （3）利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题． 【详解】（1）解：画出如图直线，即为所求； （2）解：画出如图直线，即为所求； （3）解： 理由是：∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型七 平行线的3种判定方法】 例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，结合同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，且结合图形以及角的位置关系进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，所以，故该选项符合题意； B、因为，但这两个角既不是同位角，也不是内错角，所以不能判定，故该选项不符合题意； C、因为不是内错角，所以不能证明，故该选项不符合题意； D、因为，所以不能证明，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b被直线c所截，若，当 时，． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的判定和对顶角的性质．根据对顶角的性质得到，根据同位角相等两直线平行得到即可． 【详解】解：如图， 当时， ∵， ∴ ∴． 故答案为： 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）小亮将一副三角板和按如图所示方式摆放，其中边和边重合，由此判定，他的判定依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判断，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法求解即可． 【详解】解：∵与都为直角三角板， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【题型八 平行线性质的应用】 例题：探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，，经灯碗反射以后平行射出，其中，，则的度数是 【答案】116 【分析】过O点作OE∥AB，则OE∥CD，利用平行线的性质，得内错角相等，从而求解． 【详解】解：过O点作OE∥AB，则OE∥CD， ∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO， ∵∠ABO=38°，∠DCO=78°， ∴∠EOB=38°，∠EOC=78°， 即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°． 故答案为：116． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于点O，．垂足为点D，已知米，请根据上述信息求标语的长度．    【答案】15米 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线间的距离，灵活选用判定三角形全等的方法是解题的关键．由题意证明即得出答案． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以． 因为相邻两平行线间的距离相等， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 答：标语的长度为15米． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解． 【详解】解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 所以（平角的定义）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；． 【题型九 平行线的判定与性质的综合应用】 例题：（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，下列四个选项中，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，利用平行线的判定定理进行分析即可． 【详解】解：A、当时，由内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意； B、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故B不符合题意； C、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，而不能得到，故C符合题意； D、当时，由内错角相等，两直线平行得，故D不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 先根据“同位角相等，两直线平行”证明，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，最后根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得出答案． 【详解】解：∵， ∴（等式的性质）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵， ∴（补角定义）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；补角定义；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线．熟练掌握余角定义，对顶角性质，平行线的判定定理，是解题的关键． 根据垂线的定义，结合，得，进而得到，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【题型十 平行线中的拐点问题】 例题：（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，ABCD，∠α＝（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】D 【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·浙江金华·期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4= ． 【答案】30°/30度 【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解． 【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2， ∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8， ∵直线l1l2， ∴ABCD， ∴∠6=∠7， ∵∠2比∠3大10°， ∴∠2-∠3=10°， ∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3， ∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°， ∴40°-∠4=10°， 解得∠4=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键． 2．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． （1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系； （3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系． 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：，理由见解析， 如图：过点作，过点作，过点作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，平行线，被直线所截，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．根据对顶角相等可得，再由平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）下列说法不正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．两点确定一条直线 C．互余两角度数的和等于 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了基本平面图形的性质应用，根据基本平面图的性质判断即可；准确分析判断是解题的关键． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，原说法错误，故本选项符合题意； B、两点确定一条直线，原说法正确，故本选项不符合题意； C、互余两角度数的和等于，原说法正确，故本选项不符合题意； D、同角的补角相等，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，、为入射光线，、为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质．由得到，则，由得到，最后由可得出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的即， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）将一副直角三角板按如图所示各位置摆放，其中与一定互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角的定义，以及三角板有关的角度计算，解题的关键在于熟练掌握相关知识．依据余角的定义，以及三角板中角度的特点对各选项中的摆放方式进行判断，即可解题． 【详解】解：A、与不互余，选项不符合题意； B、与不互余，选项不符合题意； C、与相等但不一定互余，选项不符合题意； D、因为， 所以与互余，选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，直线被直线所截，下列条件不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴由同位角相等，两直线平行，可得，该选项不合题意； 、和是一对对顶角， ∴不能证明 、∵， ∴由内错角相等，两直线平行，可得，该选项不合题意； 、∵， ∴由同旁内角互补，两直线平行，可得，该选项不合题意； 故选：． 二、填空题 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在中，于点D，点E在上．若，那么线段的长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：根据垂线段最短可得，， ∵点E在上， ∴， ∴， 故答案为：3（答案不唯一） 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点在同一条直线上，分别平分和． （1） ． （2）如果， ． 【答案】 【分析】（1）根据角的平分线的定义，平角定义，角的和计算即可． （2）根据角的平分线的定义，平角定义，角的和计算即可． 本题考查了角的平分线的定义，平角定义，角的和，熟练掌握角的平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）∵分别平分和 ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵分别平分和 ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）大雁迁徙时常排成“人”字形，这个“人”字形的一边与其飞行方向夹角，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行最佳，所受阻力最小，则的补角的度数是 ． 【答案】125°20′ 【分析】本题主要考查了补角的定义， 根据定义可知的补角为，再将度转化为分，然后根据角的和差计算即可． 【详解】解：的补角为． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）将一把直尺与一块含的三角板如图放置（点G在上），若平分，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的的性质，先根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶由题意，知∶ ， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶ ． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线分别与直线，相交于点G，H，已知，平分交直线于点M，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的判定可得，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知是直线上的一点，过点作，且，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，请求出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何图形中互余、互补的计算，理解图示，掌握角平分线的定义，互余、互补的计算方法是解题的关键． （1）根据互补可得，由即可求解； （2）根据图示可得由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，掌握角平分线的定义及平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据平分，平分，得到，，由，得到，即可求解； （2）根据题意可得，由平行线的判定即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，已知，垂足分别为D、F，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴（垂直的定义） ∴（                ）（同位角相等，两直线平行） ∴（                    ） ∵（                    ） ∴（                    ） ∴（                    ） ∴（                    ） 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，同角的补角相等知识，根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（垂直的定义） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴（同角的补角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据对顶角的性质并结合已知可得出，然后根据“同位角相等，两直线平行”得出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得出，再根据补角的性质得出，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可得证． 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 15．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，D为三角形的边上一点，交于点E，的延长线交的平行线于点F，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据平行线的性质得出，然后根据平行线的传递性得出，再根据平行线的性质得出，然后根据角的和差即可得证． 【详解】解：因为， 所以． 因为，， 所以， 所以． 因为， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$