2025年中考数学一轮复习与圆有关的切线证明专项训练

中考一轮复习与圆有关的切线证明专项训练 1．（2023·江苏淮安·一模）如图，已知是的弦，C为上一点，． (1)请判断是否为的切线，并证明你的结论； (2)若于点B，，求半径． 2．（2024·全国·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，点在的延长线上，且． (1)证明：直线是的切线： (2)若的半径是4，求的长． 3．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在中，，以的边为直径作，交于点D，过点D作，垂足为点E．    (1)试证明是的切线； (2)若的半径为5，，求此时的长． 4．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 5．（2023·广西北海·三模）如图，为的直径，，点E为上一点，点F为延长线上一点，．连接，交于点G．    (1)证明：为的切线； (2)证明：； (3)若的半径为2，G为的中点，求的长． 6．（2024·广东深圳·二模）如图，以的边为直径作分别交，于点D，E，过点E作，垂足为F，与的延长线交于点G． (1)以下条件： ①E是劣弧的中点： ②； ③． 请从中选择一个能证明是的切线的条件，并写出证明过程： (2)若是是的切线，且，求的长． 7．（2024·山东青岛·一模）如图，点C为上一点，连接并延长至点D，使得．过点D作的切线，点B为切点，连接．点A为上一点， ，连接，，，． (1)证明：为的切线； (2)判断四边形OACB的形状，并证明你的结论． 8．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接． (1)证明：是的切线． (2)若，求的半径．（结果精确到） 9．（2024·广西·三模）如图，为的直径， 点C为上一点，于点 D， 且平分， 延长和交于点E． (1)证明：是的切线； (2)若 ，求的长． 10．（2023·广东江门·一模）如图，矩形中，＝13，＝6，点E是上的动点，以为直径的⊙O与交于点F，过点F作于点G． ​ (1)当E是的中点时：tan的值． (2)在（1）的条件下，证明：是圆O的切线． 11．（2023·江苏淮安·一模）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，为边的中点，连．    (1)请判断是否为的切线，并证明你的结论． (2)当时，时，求的半径r． 12．（2023·吉林长春·三模）如图，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分． (1)证明：是的切线； (2)若，，则的长为______________． 13．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，点C是中点，与分别相交于点D，E，延长交于点F，，连接． (1)求证：直线是的切线． (2)证明：． (3)求的长． 14．（2023·广东阳江·二模）如图，在⊙O中，半径OA垂直弦BC于点D，点E在CD上，使∽，点F在EA的延长线上，连接FB，且FE=FB．    (1)证明：EA=EC； (2)证明：FB是⊙O的切线； (3)若AD=10，，求EF的长． 15．（2024·湖南长沙·二模）如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接． (1)证明：为的切线； (2)若． ①求的半径； ②求阴影部分的面积． 参考答案 1．(1)为的切线，理由见解析 (2)半径为 【分析】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，并延长交于点E，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，最后可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而可得，进而可得点E、B、D三点在同一条直线上，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用（1）的结论证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：为的切线， 理由：连接，并延长交于点E，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴为的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴点E、B、D三点在同一条直线上， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴半径为． 2．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理，切线的判定定理，等边对等角，勾股定理， （1）由是直径得到，证得，即，，即可证得与相切． （2）先证明，得到，求出．证得，利用勾股定理求出． 【详解】（1）证明：是直径， ， ， ， ，即，． 又是半径， 是的切线． （2）∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． ． 3．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得D为中点，根据三角形中位线定理可得，由平行线定理可得，再根据切线的判定定理即可得证； （2）由（1）知，，利用勾股定理求得，由等腰三角形的性质可得，进而证得，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接、，    ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴D为中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线；     （2）解：由（1）知，点D为中点， ∴，     ∵的半径为5， ∴， ∴，     ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定定理、三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质及平行线定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．(1)见解析； (2)8． 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：设， 在中，，， ， 由勾股定理，得：， 解得：， ， ． 5．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据切线的判定，证明即可． （2）根据圆的内接四边形的性质，证明即可． （3）连接，证明，运用勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接， ∵G为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴， ∴的长为 ． 【点睛】本题考查了切线的证明，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 6．(1)详见解析 (2) 【分析】（1）选择：①连接，根据圆周角定理求得，再根据垂径定理得，即可证明． （2）先证明，再根据相似三角形的性质得到，即可解答． 【详解】（1）我选择的条件是第①个； 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 或（1）我选择的条件是第②个； 方法1：证明：连接BD，OE， 是直径， ，即， ， ， ∴， 又， 是的中位线， ， ， 是的切线． 方法2：证明：连接， ， 垂直平分线段， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）由（1）可知， ， ， ， ， ，即． 解得：． 【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质． 7．(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆的切线的证明、直角三角形的性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握相关性质和判定定理成为解题的关键． （1）由圆的性质可得，根据圆周角定理可得，切线的性质可得，然后证明，进而得到即可证明结论； （2）根据直角三角形的性质可得、，再结合可得，最后根据菱形的定义即可解答． 【详解】（1）证明：、、在圆上 ， ， 为的切线 ， 在和中 ， ， ， 为的切线． （2）解：四边形为菱形，证明如下： 在中，， ， 为边上的中线， ， 同理，在中，， ， ， 四边形为菱形． 8．(1)见解析 (2) 【分析】主要考查了切线的判定方法、解直角三角函数、圆周角定理等知识点．灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）如图1，连接，然后根据圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质可得，即可证明结论； （2）根据直角三角形两锐角互余得，根据，然后代入数据可求得，进而确定的半径． 【详解】（1）证明：如图1，连接； ∵是的直径， ∴， ∴． ∵E为边上的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∵D为上的点， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． ∴的半径为． 9．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线和等腰三角形证明即可解答； （2）由，结合，先求出，得到，利用勾股定理求出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，圆的基本性质，解题的关键是掌握证明切线的方法，以及熟练运用直角三角形的特征求线段长度． 10．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可得，利用E为中点即可求得； （2）连接，矩形的性质证明，得出，利用等边对等角得角相等，等量代换得，得出平行从而有，则结论得证． 【详解】（1）（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． （2）证明：连接， 在矩形中，，， 又， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵是⊙O的半径， ∴是⊙O的切线． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、切线的判定．熟练掌握切线的判定是解题的关键． 11．(1)是的切线，证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，，，根据全等三角形的判定，易得进而可得，故是的切线； （2）连接，证明，由相似三角形的性质得到，设， ，代入数据可得关于的方程，解可得答案． 【详解】（1）解：是的切线， 证明：连接，，，如图所示：     是圆的直径， ， 在中，为边的中点， ， 在和中， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，如图所示：    ∵是的直径， ， ， 为的中点， ， ，， ， ， ， 设，， ， 或（负值舍去）， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 的半径． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 12．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由平分，，可得，，根据，即可证明是的切线； （2）由是的直径，可法度得半径，由，可得，从而求得，然后由弧长公式可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， 又， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴的长． 【点睛】本题考查切线的判定，弧长计算，熟练掌握切线的判定定理和弧长公式是解题的关键． 13．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 （1）连接，易得，利用三线合一，求出的长，进而得到为圆的半径，即可得证； （2）连接，易证，再证明，即可得证； （3）设与交于点，根据，得到，求出的长，勾股定理求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，利用（2）的结论进行计算求解即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵，点是中点， ∴． ∴， ∵，为圆的直径， ∴的半径为． ∴是的半径， ∵， ∴直线是的切线； （2）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ ∴； （3）设与交于点，如图， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴，即： ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查圆与三角形的综合应用，主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 14．(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据相似三角形的性质及圆周角定理可得结论； （2）连接，根据圆心角与圆周角定理可得．然后由余角性质及切线的判定可得结论； （3）由三角函数及勾股定理得．由相似三角形的性质得，，．作，垂足为，然后根据直角三角形性质及平行线截线段定理可得答案． 【详解】（1）证明：， ． 半径垂直弦于点， ． ． ． ； （2）连接，   ． ，． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 为的切线； （3）解：，， ． ，． ， ． ． ，，． 作，垂足为，   ， ． ， ． ． ． 【点睛】此题考查的是圆的综合题，掌握圆的性质、切线的判定与性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的性质是解决此题关键． 15．(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，求扇形面积． （1）先根据圆周角定理得出，结合中位线定理推出，进而得出即可求证； （2）①设的半径为，推出则，即可求解；②由①知，，推出，最后根据阴影部分的面积的面积扇形的面积，即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 点是的中点，点是的中点， ∴， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：①设的半径为， ， 由（1）知， ②由①知，， ， 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$