精品解析：内蒙古呼和浩特市2024-2025学年高一上学期期末学业质量监测数学试卷

呼和浩特市2024-2025学年第一学期高一年级学业质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上. 2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在本试卷上，否则无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”的充要条件是（ ） A. a，b中至少有一个为1 B. a，b都不为0 C. a，b都为1 D. 不都为1 4. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B独立 C. D. 5. 设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为S的概率是P，则P最大时S等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 13 8. 已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 的充分不必要条件是 B. 关于的方程的解集是空集，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 在中，若点满足，则为的重心 D. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 11. 已知函数，，，与中的最小值记为，则（ ） A. 函数有且只有一个零点 B. 方程有5个解 C. 函数在上单调递增 D. 方程最多有3个解 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 若幂函数的图象经过、、、中的三个点，写出满足条件的一个值_____. 14. 直角坐标平面内两点P，Q满足条件： （1）P，Q都在函数的图象上； （2）P，Q关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与点对看作同一个“友好点对”）. 已知函数存在两个“友好点对”，则的取值范围为_____. 三、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 计算： （1） （2） 16. 已知函数， （1）比较与在区间上的平均变化率的大小； （2）若，恒成立，求的取值范围. 17. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求a值和该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率. 18. 如图，在函数图像上有三点，，（其中） （1）当时，求的值； （2）设，求关于的函数及其最小值； （3）求三角形的面积的最大值. 19. 在由个方格组成的棋盘中的每个方格上各放一个钱币.第一次搬动是将某一个方格上的钱币放在相邻的一个方格中的钱币上，左边或右边都可以，但是不能出棋盘.以后的每次搬动是将某个方格中的所有钱币（设有个）搬到与此方格相邻的第个位置的方格中，左或右都可以，但是不能出棋盘. （1）当时，搬动两次，写出所有可能结果； （2）当时，试写出一种搬动过程，使得最终所有钱币都在一个方格中； （3）试证：能经过次搬动，将所有钱币都集中在一个方格中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市2024-2025学年第一学期高一年级学业质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上. 2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在本试卷上，否则无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定全集中元素，然后根据集合运算的定义计算. 【详解】， ∵，∴， 又， ∴. 故选：B. 2. 下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数为非奇非偶函数，且在上单调递增； 对于B选项，函数为偶函数，且在上单调递增； 对于C选项，函数为奇函数，且在上单调递增； 对于D选项，函数为偶函数，且在上单调递减. 故选：D. 3. 设，则“”的充要条件是（ ） A. a，b中至少有一个为1 B. a，b都不为0 C. a，b都为1 D. 不都为1 【答案】A 【解析】 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 4. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B独立 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型的计算公式先求出和，再由互斥事件、独立事件和对立事件的性质即可逐项判断. 【详解】因为，，， 所以，，； 对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，故A不正确； 对于B，，所以事件A与事件B不独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，由，得， 所以，故D正确； 故选：D. 5. 设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得函数单调性，利用函数单调性得不等式解集. 【详解】因为，所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时，， 当时，代表同号， 所以等式的解集是. 故选：B. 6. 掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为S的概率是P，则P最大时S等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】求出点数之和的所有情况，算出出现的次数，即可得解. 【详解】 第一枚 第二枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 根据上图可知：点数之和为7时出现的次数最多即概率最大. 故选：B 7. 建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分层抽样计算出抽取人中男生、女生的比例，然后根据总体方差的计算公式求得正确答案. 【详解】名高一学生，男生人，则女生人， 所以抽取的人中，男生人，女生人， 总体平均数为， 所以总体方差为. 故选：C 8. 已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，， 设，且，由，整理得，结合进而可得结果. 【详解】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 的充分不必要条件是 B. 关于的方程的解集是空集，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】通过举反例及运用充分条件知识可判断A；通过分式方程的求解可判断B；运用基本不等式知识可判断C；一元二次不等式的解法求解选项A和选项D的结果，并对其进行判断，根据不等式恒成立和二次函数的性质，可判定D 【详解】对于A，取，则，但得不到，所以不是的充分条件，故A不正确； 对于B，由得，因原方程的解集是空集，所以是增根，即，得，故B正确； 对于C，，但，，所以取不到等号，故C不正确； 对于D，由不等式恒成立，得或，所以得. 故D正确； 故选：BD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 在中，若点满足，则为的重心 D. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据为零向量，不合题意判断A；对两边平方，得，判断B；根据重心性质判断C；对两边平方，求出向量夹角判断D. 【详解】对于A，若为零向量，则，成立，但可以不共线，故A错误； 对于B，，则，即，所以，故B正确； 对于C，若，如图，取中点为， ，，， 即，，，所以则为的重心，故C正确； 对于D，两个非零向量，，若，， 设，夹角为，则，即，可得，即与共线且反向，故D正确， 故选：BCD. 11. 已知函数，，，与中的最小值记为，则（ ） A. 函数有且只有一个零点 B. 方程有5个解 C. 函数在上单调递增 D. 方程最多有3个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出图象，根据图象特征判断A，C；画出的图象判断B；结合图象，换元，令，，判断D. 【详解】依题意，画出图象， 对于A，根据图象可知，函数有且只有一个零点，故A正确； 对于B，画出图象， 由图象可知，方程有5个解，故B正确； 对于C，由可知，函数在上不为单调递增函数，故C错误； 对于D，令， ，由图象可知，最多有3个解，其中，故D正确， 故选：ABD． 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可. 【详解】因为向量，，且，则， 即，解得或. 故答案为：或. 13. 若幂函数的图象经过、、、中的三个点，写出满足条件的一个值_____. 【答案】（或） 【解析】 【分析】对幂函数的图象过点进行分类讨论，将相应点的坐标代入幂函数解析式，即可求得的值. 【详解】若幂函数的图象过点、、，则，解得； 若幂函数的图象过点、、，则，解得. 故答案为：（或）. 14. 直角坐标平面内两点P，Q满足条件： （1）P，Q都在函数的图象上； （2）P，Q关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与点对看作同一个“友好点对”）. 已知函数存在两个“友好点对”，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的一个“友好点对”的定义，将问题转化为与在上有两个交点问题，结合函数图象单调性等性质得到不等式组，解之即得. 【详解】当时，函数关于原点对称的函数为：，即， 要使函数有两个“友好点对”，需使在上有两个实根， 也即使与在上有两个交点(如图). 对于函数，因为增函数，且，在上为增函数， 由复合函数的单调性原则，知在上单调递减， 且当时，，当时，. 而的对称轴为直线， 因，可得， 依题意只需成立，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据函数的一个“友好点对”的定义，将其转化成与在上有两个交点的问题来解决. 三、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质计算可得出所求代数式的值； （2）利用指数、对数的运算性质以及换底公式计算可得出所求代数式的值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数， （1）比较与在区间上的平均变化率的大小； （2）若，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）在区间上的平均变化率比大； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平均变化率的定义分别求出与在区间上的平均变化率，进而结合指数函数的单调性比较大小即可； （2）转化问题为在时恒成立，令，则，可得恒成立，进而结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 在区间上的平均变化率的为： ， 在区间上的平均变化率的为： ， ，， 又在上单调递增， ，， 在区间上的平均变化率比大. 【小问2详解】 由题意可知：，恒成立， 即在时恒成立， 令，则，恒成立， 又函数在上单调递增， 则在上恒成立，所以， 所以满足题意的的取值范围为. 17. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求a值和该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率. 【答案】（1）0.030，第75百分位数为82 （2）平均分为71 （3） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数定义结合题意计算即可； （2）根据频率直方图中的平均数计算方法求解即可； （3）利用分层抽样、列举法及古典概型即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 解得：； 因为，， 所以该样本的第百分位数在区间， 所以设该样本的第百分位数为，则可得方程： ， 解得：， 即该样本的第百分位数为. 【小问2详解】 因为， 故估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为. 【小问3详解】 采用分层抽样从和抽取名同学， 因为， 则应在成绩为的学生中抽取人，记为，； 在成绩为的学生中抽取人，记为，，； 再从抽取的这名同学中随机抽取名同学有如下结果， ，，，，， ，，，，共种可能结果； 其中在，各一人的共种； 所以所求概率， 则这名同学分数在，各一人的概率为. 18. 如图，在函数图像上有三点，，（其中） （1）当时，求的值； （2）设，求关于的函数及其最小值； （3）求三角形的面积的最大值. 【答案】（1） （2），最小值为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算律计算求解； （2）应用基本不等式计算求解； （3）应用对数运算及值域求解最大值即可. 【小问1详解】 当时，，，， 则；；， ， 【小问2详解】 ；；； ； 令；当且仅当时候取等号； 当且仅当时，. 【小问3详解】 过分别过A，B，C作轴，轴，轴分别交轴于D，E，F， 则 要使得最大，则要求的最大值； 当；取得最大值 . 19. 在由个方格组成的棋盘中的每个方格上各放一个钱币.第一次搬动是将某一个方格上的钱币放在相邻的一个方格中的钱币上，左边或右边都可以，但是不能出棋盘.以后的每次搬动是将某个方格中的所有钱币（设有个）搬到与此方格相邻的第个位置的方格中，左或右都可以，但是不能出棋盘. （1）当时，搬动两次，写出所有可能结果； （2）当时，试写出一种搬动过程，使得最终所有钱币都在一个方格中； （3）试证：能经过次搬动，将所有钱币都集中在一个方格中. 【答案】（1）所有可能的结果为：、、、、 （2）答案不唯一，例如： （3） 设为奇数，记，考虑第个方格，将其中钱币向左运动一次， 于是第个方格中有两个钱币，而第个方格中无钱币. 将第个方格中的钱币搬到第个方格中，这样依次从左到右，再从右到左， 经过次运动，便将钱币都放在最右边那个方格中，而其余方格中无钱币， 设为偶数，记，考虑第个方格，将其中钱币向右运动一次， 于是第个方格中有两个钱币，而第个方格中无钱币， 将第个方格中的钱币搬到第个方格中， 这样依次从右到左，再从左到右，经过次运动，便将钱币都放在最右边那个方格中， 而其余方格中无钱币. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出搬动两次的所有结果； （2）当时，根据题意可得出一种搬动过程，使得最终所有钱币都在一个方格中； （3）分为奇数和偶函数两种情况讨论，为奇数，记，考虑第个方格，将其中钱币向左运动一次，依次从左到右，再从右到左可证得结论成立；为偶数，记，考虑第个方格，将其中钱币向右运动一次，依次从右到左，再从左到右，可证得结论成立. 【小问1详解】 所有可能的结果为：、、、、（数字表示从左到右各个方格中的钱币数）. 【小问2详解】 答案不唯一，例如： 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决本题第三问题的关键在于对为奇数和偶数进行分类讨论，根据题意进行推理论证即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $