三角函数特征量ω，φ的求解 学案-2025届高三数学二轮复习

16 三角函数特征量ω，φ的求解（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）根据图像得到ω，φ的值 （2）三角函数的单调性求ω、φ的值（范围） （3）三角函数的零点求ω、φ的值（范围） 2、易错易混点归纳 （1）未掌握整体思想去解题 （2）未了准确的判断三角函数的增减性 （3）零点、极值点的定义错误，特别注意极值点的定义 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 （1）化简转化：将函数解析式进行化简，转化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，通过整体代换，结合正弦函数y＝sin x的性质求解； （2）三类问题： ①求单调区间：将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数的单调递增（减）区间，求出x的范围即为原函数的单调递增（减）区间； ②求函数在闭区间上的最值：先根据x所在的区间求出ωx＋φ的取值范围，再结合正弦函数的图象确定函数的最值； ③判断对称轴或对称中心：可根据对称轴经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是y＝Asin（ωx＋φ）的零点进行判断. 提醒　尽量把ω化成ω＞0的形式，避免出现错误. 【典例探究】 考点一　由三角函数的最值（值域）求ω、φ的值（范围） 学法指导：由三角函数的最值（值域）求ω、φ的值（范围），主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围. 【例1】　将函数f（x）＝2cos2－cos（x＋）图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象.若对任意的x∈R，均有g（x）≤g（）成立，则φ的最小值为　 【解析】f（x）＝2cos2－cos（x＋）＝1＋cos x－cos（x＋）＝sin x＋cos x＋1＝sin（x＋）＋1.由题意可知，g（x）＝sin（2x＋2φ＋）＋1，若对任意的x∈R，g（x）≤g（）成立，则2×＋2φ＋＝2kπ＋（k∈Z），即φ＝kπ＋（k∈Z）.又φ＞0，所以当k＝0时，φ最小，最小值为. 考点二　由三角函数图象的对称中心、对称轴间的距离求ω、φ的值（范围） 学法指导：利用最小正周期T，根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于T，ω，φ的方程使问题获解. 【例2】　　已知函数f（x）＝2cos（ωx－）＋1（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（，］ C.［，） D.［，＋∞） 【解析】A　因为x∈（0，2π），ω＞0，所以ωx－∈（－，2ωπ－），设z＝ωx－，画出y＝2cos z＋1的大致图象如图.要使f（x）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，则2ωπ－∈（－，3π］.解得ω∈（0，］. 考点三　由三角函数的单调性求ω、φ的值（范围） 学法指导：由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的一个单调区间[m，n]（区间也可以是开区间或半开半闭区间）求解ω的取值范围，可将区间端点值代入后，去对应［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）或［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）列出不等式求解.另外，因为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在一个周期内的单调递减（增）区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围. 【例3】已知函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＜0）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　） A.［－，－］ B.［－，0） C.［－，－］ D.［－，－］ 【解析】A　因为函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＜0）的最小正周期T＝，所以π－≤×，即－2≤ω＜0.当x∈（，π）时，ωπ＋≤ωx＋≤＋，依题意知－π＋2kπ≤ωπ＋＜ω＋≤2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤ω≤－＋4k，k∈Z.又－2≤ω＜0，所以当k＝0时成立，ω∈［－，－］. 考点四　由三角函数的零点求ω、φ的值（范围） 学法指导：利用三角函数的零点与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围. 【例4】（2022甲卷）　设函数f（x）＝sin在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　） A.［，） B. C. D. 【解析】C　由x∈（0，π），得ωx＋∈.根据函数f（x）在区间（0，π）恰有三个极值点，知＜πω＋≤，得＜ω≤.根据函数f（x）在区间（0，π）恰有两个零点，知2π＜πω＋≤3π，得＜ω≤.综上，ω的取值范围为（，］. 【训练检测】 　1、若函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）在［0，］上的值域是［－，1］，则ω的取值范围是（　　） A.（0，］ B.［，3］ C.［3，］ D.［，］ 【解析】B　因为ω＞0，所以当x∈［0，］时，ωx－∈［－，－］，因为函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）在［0，］上的值域是［－，1］，所以≤－≤，解得≤ω≤3. 2、已知ω＞0，函数f（x）＝cos的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有（　　） A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 【解析】A　注意正、余弦型函数的对称中心与对称轴的最短距离为，依题意，可得－≥.将T＝代入上式，得ω≥2，故选A. 3、已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx，g（x）＝cos ωx－sin ωx，ω＞0，在区间（0，）上，若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则ω的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（0，1] C.（0，］ D.［，］ 【解析】A　由题意得f（x）＝sin（ωx＋），g（x）＝cos（ωx＋）.令t＝ωx＋，由x∈（0，），得t∈（，π＋）.因为在区间（0，）上，f（x）单调递增，g（x）单调递减，所以得ω≤，所以0＜ω≤.故选A. 4、（多选）已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0），若f（x）在区间（，π］内没有零点，则ω的值可以是（　　） A. B. C. D. 【解析】AB　由f（x）在区间（，π］内没有零点，得π－＜＝，得ω＜，同时需满足k∈Z，解得3k＋≤ω＜k＋，k∈Z，显然当k＝0和k＝－1时符合条件，且ω＞0，所以ω的取值范围为（0，）∪［，）.故选A、B. 【预习要求】 1、 认真阅读课本第二册41——48，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 结合预习，说出ω、φ的求法。 3、说出零点、极值点的定义。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16 三角函数特征量ω，φ的求解（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）根据图像得到ω，φ的值 （2）三角函数的单调性求ω、φ的值（范围） （3）三角函数的零点求ω、φ的值（范围） 2、易错易混点归纳 （1）未掌握整体思想去解题 （2）未了准确的判断三角函数的增减性 （3）零点、极值点的定义错误，特别注意极值点的定义 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 （1）化简转化：将函数解析式进行化简，转化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，通过整体代换，结合正弦函数y＝sin x的性质求解； （2）三类问题： ①求单调区间：将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数的单调递增（减）区间，求出x的范围即为原函数的单调递增（减）区间； ②求函数在闭区间上的最值：先根据x所在的区间求出ωx＋φ的取值范围，再结合正弦函数的图象确定函数的最值； ③判断对称轴或对称中心：可根据对称轴经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是y＝Asin（ωx＋φ）的零点进行判断. 提醒　尽量把ω化成ω＞0的形式，避免出现错误. 【典例探究】 考点一　由三角函数的最值（值域）求ω、φ的值（范围） 学法指导：由三角函数的最值（值域）求ω、φ的值（范围），主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围. 【例1】　将函数f（x）＝2cos2－cos（x＋）图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象.若对任意的x∈R，均有g（x）≤g（）成立，则φ的最小值为　 考点二　由三角函数图象的对称中心、对称轴间的距离求ω、φ的值（范围） 学法指导：利用最小正周期T，根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于T，ω，φ的方程使问题获解. 【例2】　　已知函数f（x）＝2cos（ωx－）＋1（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（，］ C.［，） D.［，＋∞） 考点三　由三角函数的单调性求ω、φ的值（范围） 学法指导：由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的一个单调区间[m，n]（区间也可以是开区间或半开半闭区间）求解ω的取值范围，可将区间端点值代入后，去对应［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）或［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）列出不等式求解.另外，因为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在一个周期内的单调递减（增）区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围. 【例3】已知函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＜0）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　） A.［－，－］ B.［－，0） C.［－，－］ D.［－，－］ 考点四　由三角函数的零点求ω、φ的值（范围） 学法指导：利用三角函数的零点与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围. 【例4】（2022甲卷）　设函数f（x）＝sin在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　） A.［，） B. C. D. 【训练检测】 　1、若函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）在［0，］上的值域是［－，1］，则ω的取值范围是（　　） A.（0，］ B.［，3］ C.［3，］ D.［，］ 2、已知ω＞0，函数f（x）＝cos的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有（　　） A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 3、已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx，g（x）＝cos ωx－sin ωx，ω＞0，在区间（0，）上，若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则ω的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（0，1] C.（0，］ D.［，］ 4、（多选）已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0），若f（x）在区间（，π］内没有零点，则ω的值可以是（　　） A. B. C. D. 【预习要求】 1、 认真阅读课本第二册41——48，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 结合预习，说出ω、φ的求法。 3、说出零点、极值点的定义。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$