精品解析：贵州省遵义市播州区2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试题

播州区2024-2025学年度第一学期期末适应性考试试题 高二数学学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 设，，，则（ ） A B. C. D. 4. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列结论正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，，则 C. ，，则 D. ，，，则 6. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为（ ） A. 12 B. 18 C. 22 D. 24 8. 如图，在棱长为2正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体，与均相切，则该9部分的体积和的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列区间中存在函数零点的是（ ） A B. C. D. 10. 已知是圆上的动点，点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为6 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最大值为5 11. 已知曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于对称 B. 曲线刚好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C. 若点在曲线上，则 D. 曲线与直线有且只有一个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 若双曲线，满足，则的离心率为__________. 14. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量（单位：个），产品数量的分组区间为，，，，，频率分布直方图如图所示. （1）估计样本数据的75%分位数； （2）从产品数量在和的工人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行座谈，则这3名工人在同一组的概率是多少. 16. 已知圆经过点和原点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）过点作圆的切线，求切线方程. 17. 已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. （1）求； （2）求的取值范围. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，，是的中点，，将梯形沿着翻折成，使. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角正弦值； 19. 已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知. （1）若离心率，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； （3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 播州区2024-2025学年度第一学期期末适应性考试试题 高二数学学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线性质计算准线即可. 【详解】抛物线的准线方程是， 抛物线的准线方程是， 故选：D. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模求解即可. 【详解】 故选：B. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对数函数的性质比较大小即可. 【详解】根据题意，， 因为是减函数，， 由在上是增函数，所以， 所以． 故选：A. 4. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若灯亮，则需、闭合，结合相互独立的概率公式计算即可的. 【详解】若灯亮，则需、闭合，闭合与否都可， 故灯亮的概率为. 故选：B. 5. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列结论正确是（ ） A. ，，则 B. ，，，则 C. ，，则 D. ，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】借助空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可的得. 【详解】对A：由，，则或、异面，故A错误； 对B：若，，，则或、异面，故B错误； 对C：若，，则，故C正确； 对D：若，，，则或、异面或、相交，故D错误. 故选：C. 6. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助二倍角公式与同角三角函数基本关系，将弦化为切后计算即可得. 【详解】. 故选：C. 7. 设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为（ ） A. 12 B. 18 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出集合中元素个数，再计算出集合中满足的元素个数，两者相减即可得. 【详解】集合中元素个数共有个， 若，则有， 则可能，共1种； 或，或，共2种； 或，或，共2种； 故集合中满足的元素的个数为. 故选：C. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体，与均相切，则该9部分的体积和的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合正方体对角线及球的体积公式列式，再结合值域求解即可. 【详解】设球体的半径为，半径为， 所以，即得， 可得，所以， 开口向下，对称轴为， 所以， 该9部分的体积和为 ， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列区间中存在函数零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】依次验证各个区间端点的函数值，利用零点判定定理判断即可. 【详解】，， 可得，由函数零点存在性定理可得存在函数零点的区间是， ，可得， ，可得， ，可得， 由函数零点存在性定理可得存在函数零点的区间是. 故选：AD. 10. 已知是圆上的动点，点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为6 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最大值为5 【答案】CD 【解析】 【分析】的最大最小值分为为加减半径即可的A、B；结合及的几何意义计算可得C、D. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：的几何意义为过点与的直线的斜率， 设过点的直线为，则有，解得， 故的最小值为，故C正确； 对D：， 故的最大值为5，故D正确. 故选：CD. 11. 已知曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于对称 B. 曲线刚好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C. 若点在曲线上，则 D. 曲线与直线有且只有一个交点 【答案】ABC 【解析】 【分析】分类讨论求出曲线的方程，画出图象，结合图象逐项分析即可. 【详解】因为曲线的方程为， 当，时，曲线的方程为， 当，时，曲线的方程为， 是焦点在轴上的等轴双曲线右支的一部分. 当，时，曲线的方程为， 是焦点在轴上的等轴双曲线上支的一部分. 作出曲线的图象如图： 设点为曲线上的点， 则点关于对称的点为，代入方程成立， 所以曲线关于对称，A正确； 显然曲线上有点2个整点， 除此之外任意两个整数的平方差都不可能等于1，B正确； 由上可知直线为曲线中双曲线部分的渐近线， 设曲线中圆的部分切线为，即， 则，解得或（舍）， 即，曲线位于直线与之间， 所以若点在曲线上，则, 所以，即，C正确； 由于直线在下方，所以与曲线无交点，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：选项C中利用双曲线渐近线和圆的切线，发现曲线位于直线与之间是解题关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 分析】利用诱导公式化简，即可得解. 【详解】根据题意，， 所以. 故答案为：. 13. 若双曲线，满足，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式及关系即可求解. 详解】. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助赋值法可得，结合偶函数定义可得该函数为偶函数，借助函数单调性定义可得单调性，结合偶函数性质与函数单调性即可得解. 【详解】令，则，即， 令，则，则， 令，则， 又定义域为，故为偶函数， 设对任意，且，则，则， 故，即， 故在上单调递增， ， 即，则有， 解得且，故其解集. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数单调性、奇偶性定义得到该函数的单调性与奇偶性. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量（单位：个），产品数量的分组区间为，，，，，频率分布直方图如图所示. （1）估计样本数据的75%分位数； （2）从产品数量在和的工人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行座谈，则这3名工人在同一组的概率是多少. 【答案】（1）28； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义确定75%分位数所在的区间，设百分位数为x，列出关于x的方程求解即可； （2）根据题意先计算出在和区间抽取的人数，再计算 出3人在同一组内的概率即可. 【小问1详解】 由题可得，前三组频率之和为， 前四组频率之和为，则样本数据的75%分位数在区间内， 设75%分位数为x，则有，解得， ∴样本数据的75%分位数为28. 【小问2详解】 由图可得在内的工人为人，在内的工人为人， 故在内抽取4人，记为A，B，C，D；在内抽取2人，记为X，Y， 则从这6人中抽取3人的样本空间有20个样本点：，，且20个样本点发生的可能性是相等的， 其中3人在同一组的样本点有共4个， 设3人在同一组的概率为P，则有. 综上，3名工人在同一组的概率为. 16. 已知圆经过点和原点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标，根据两点距离公式建立关于m的方程，解方程，求出半径即可求解； （2）如图，当切线的斜率存在时，设切线方程，利用点到直线的距离公式计算求出斜率即可；易知当切线的斜率不存在时切线方程为. 【小问1详解】 由题意知，设， 则，解得， 所以，半径为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图所示，点在圆外，则过点的圆的切线方程有两条. 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 设圆心到直线的距离为，而圆的半径为， 则，解得，所以切线方程为； 当切线的斜率不存在时，则与圆相切. 综上，切线方程为或. 17. 已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. （1）求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【小问1详解】 由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； 【小问2详解】 由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，，是的中点，，将梯形沿着翻折成，使. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，可得，，利用向量法求出平面与平面夹角的余弦值，再根据同角关系式求出正弦值即可. 【小问1详解】 等腰梯形中，，是的中点，所以， 所以四边形为菱形，所以，即， 又，所以， ，所以，即， ，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，且， 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以，， 设面的法向量为， 则， 取，则，则， 设面的法向量为， 则， 取，则，则， 设平面与平面夹角为， 则， 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 19. 已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知. （1）若离心率，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； （3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点，并说明理由. 【答案】（1）是 （2） （3）是，定点 【解析】 【分析】（1）设，计算，根据二次函数的性质得到答案； （2）由（1）的方法判断，可得时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负是否满足条件得出的取值范围； （3）设，计算直线方程得到，，再根据得到答案. 【小问1详解】 由题意可得，因为， 所以椭圆方程为， 设，则， 二次函数开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减， 所以当时，函数取最大值，此时为椭圆的短轴的另一个端点， 所以椭圆是“圆椭圆”； 【小问2详解】 因为椭圆方程为，，设，则， 因为，所以，由题意得，当且仅当时，函数值达到最大值， 则有， 综上有的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）可得，则椭圆方程为，设， 则直线：，直线：， 所以， 若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上， 设，则，又， 所以，又因为， 解得，所以得定点. 【点睛】方法点睛：处理定点问题的三个常用策略： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研究出变化的量与参数无关，从而找到定点； （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该定点； （3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，从而确定证明方向再加以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$