精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

德强高中2024-2025学年度上学期期末考试 高二学年 数学试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求.） 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的中项求解. 【详解】解：由等差数列的性质可知， 所以． 故选：A． 2. 已知数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的定义即可代入求解. 【详解】, 故选：D 3. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是（ ） A. B. 1或 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行列方程求解即可. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 4. 直线被圆：截得的弦长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，根据弦长公式可得. 【详解】因为，圆心到直线的距离为， 所以，所截弦长为. 故选：D 5. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则数列的所有项的和为（ ） A. 384 B. 378 C. 372 D. 244 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由于数列的后7项成等比数列，所以， 由于为递增数列，所以， ，又且前3项成等差数列，所以 故数列的所有项的和为， 故选：A 6. 已知数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式求解． 【详解】∵，∴数列是等差数列，公差为， 又，∴，∴， 故选：B． 7. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得. 【详解】由可得， 因在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 而函数在上单调递减，则， 故，即a的取值范围是. 故选：A. 8. 设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，利用勾股定理可以求出的长度，进而通过，可以得到的长度，再次应用勾股定理，求出的长度，最后根据为椭圆上一点，运用椭圆的定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意，，， 因为直线与以为圆心、为半径的圆切， 所以， 因此由勾股定理可知， 又，所以，因此， 由勾股定理可得， 根据椭圆定义，， . 故选：B 二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2 分，有选错的得0分.） 9. 若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆和y轴相切 B. 圆关于直线对称 C. 对，直线与圆都相交 D. 为圆上任意一点，则的最大值为9 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由圆心到直线距离与圆的半径比较即可判断；对于B，由圆心在直线上易判断；对于C，由直线经过的定点在圆内，即可判断；对于D，利用所求式的几何意义，结合图形即可求得其最大值. 【详解】对于A，因圆心到直线的距离为2，小于半径4，即直线与圆相交，故A错误； 对于B，因圆心在直线上，故圆关于直线对称，即B正确； 对于C，对，直线即，则直线经过定点， 而该点在圆内，故，直线与圆都相交，即C正确； 对于D，依题意，在上， 而可理解为圆上的点与点的距离， 由图知，故D正确. 故选：BCD. 10. 过双曲线的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则（ ） A. 仅存在一条直线l，使 B. 双曲线C的离心率为2 C. 与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D. 若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据弦长大于通径长和实轴长可得符合题意的切线有四条；对于B，求出离心率即可判断；对于C，根据题意，设双曲线方程为，，将点代入即可求解；对于D，利用渐近线的斜率求解即可. 【详解】对于A，通径，实轴，则有四条直线l，使，故A错误； 对于B，，所以双曲线的离心率为，故B错误； 对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，， 代入点，得，解得， 所以该双曲线的标准方程为，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线斜率为， 若都在该双曲线的右支上， 则直线斜率的取值范围是，故D正确. 故选：CD. 11. 在等比数列 中，公比为 ，其前 项积为 ，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的值是 中最大的 D. 使 成立的最大自然数 等于198 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质公式，结合已知条件，逐个计算判定即可. 【详解】因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， .分析选项知， ，故A中结论正确； ，故B中结论正确； ，故C中结论错误； ， ，故D中结论正确. 故选：ABD. 三．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 12. 在等比数列中，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得答案. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 13. 烽火台是我国古代用于防御与通讯的军事建筑.如图为一类正四棱台状的烽火台，已知该烽火台底部边长为10米，顶部边长为8米，高为12米，忽略烽火台凹陷部分，则该烽火台的体积为________立方米. 【答案】 【解析】 【分析】先计算该烽火台的上下底面面积，再利用棱台的体积公式得到结果. 【详解】因为题目中的单位只涉及米、平方米、立方米，故我们可以在计算中忽略单位. 由于该烽火台是正四棱台，故上下底面都是正方形. 从而该烽火台的上底面面积，下底面面积，高. 故其体积. 故答案为：. 14. 如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式（或定义）求得点坐标，然后可计算三角形面积. 【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 设， 因为，可得， 则，即， 则的面积为． 故答案为：. 15. 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值.函数在区间上的拉格朗日中值________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得，进而求得的值即可. 【详解】，则 由拉格朗日中值的定义可知，函数在区间上的拉格朗日中值满足， 所以 所以，即，则 故答案为： 四．解答题(本大题共70分) 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1）； （2）9. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合给定的极值点求出值. （2）利用导数求出在上的单调性，进而求出最大值. 【小问1详解】 函数，求导得， 由在处取得极值，得，即，解得， 此时，当时，，当时， 即函数在处取得极值，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以函数在区间上的最大值为9. 17. 已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. （1）求C的方程； （2）已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的定义并将已知点代入椭圆求出椭圆的标准方程；（2）根据已知条件求出直线斜率，用点斜式写出直线方程. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个交点，设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，，两式作差得， 由于是的中点，故，代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到：. 故以为中点的弦所在直线方程为：. 18. 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形． （1）求证：平面； （2）若，，，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，平面，从而得到，即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，通过求解法向量的夹角余弦值来求解平面和平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，所以，． 因为四边形为矩形，平面， 所以，，则平面， 又因为平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面． 【小问2详解】 因为，平面， 以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为，则， 令，得，所以． 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 19. 已知曲线. （1）求在处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，，即切点为， 又，所以切线方程为，即； 【小问2详解】 因为， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，，且当时，， 所以的图象如下所示： 由图可得实数的取值范围为． 20. 已知各项均为正数的数列满足，且. （1）写出，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）3，5 ， （2） 【解析】 【分析】（1）分别令，依次求出，再根据数列的递推关系求通项公式； （2）由（1）求出分段数列的通项公式，进而得的通项，再利用错位相减法求和即可 【小问1详解】 因为，，， 所以当时，，，解得； 当时，，，解得． 当时， ， 所以． 当时，也符合上式． 综上，． 【小问2详解】 由（1）得，， 又∵ ，∴. ∴， 则， 即，① ，② 由①②得， ， 故. 21. 已知，动点满足与的斜率之积为定值. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 设，联立， 得， 设， 结合题意有， 解得，且， 又直线BD的方程为， 令，则 ， 故直线过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）设动点的坐标，由题意列式并化简，即可得答案； （2）（i）设直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，求出m的范围，利用直线BD的方程求出其与x轴交点坐标的表达式，化简即可证明结论； （ii）结合根与系数的关系式，求出面积的表达式，利用换元，并结合函数的单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 设动点的坐标为，由动点 满足与的斜率之积为定值， 得，即， 故动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题意知， 故的面积为 ， 令，则， 则， 由于在上单调递减，故在上单调递增， 故当，即时，面积取最小值. 【点睛】难点点睛：本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了直线过定点问题以及双曲线中的三角形面积的最值问题，综合性较强，解答时要设直线方程，并联立双曲线方程，结合根与系数的关系式进行化简，难点在于计算过程比较复杂，计算量较大，并且基本都是有关字母参数的运算，因此要十分细心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德强高中2024-2025学年度上学期期末考试 高二学年 数学试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求.） 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 已知数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是（ ） A. B. 1或 C. D. 6 4. 直线被圆：截得的弦长是（ ） A. B. C. D. 5. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则数列的所有项的和为（ ） A. 384 B. 378 C. 372 D. 244 6. 已知数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 19 7. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2 分，有选错的得0分.） 9. 若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆和y轴相切 B. 圆关于直线对称 C. 对，直线与圆都相交 D. 为圆上任意一点，则的最大值为9 10. 过双曲线的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则（ ） A. 仅存在一条直线l，使 B. 双曲线C的离心率为2 C. 与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D. 若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是 11. 在等比数列 中，公比为 ，其前 项积为 ，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的值是 中最大的 D. 使 成立的最大自然数 等于198 三．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 12. 在等比数列中，若，则______. 13. 烽火台是我国古代用于防御与通讯的军事建筑.如图为一类正四棱台状的烽火台，已知该烽火台底部边长为10米，顶部边长为8米，高为12米，忽略烽火台凹陷部分，则该烽火台的体积为________立方米. 14. 如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为______. 15. 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值.函数在区间上的拉格朗日中值________. 四．解答题(本大题共70分) 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值. 17. 已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. （1）求C的方程； （2）已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 18. 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形． （1）求证：平面； （2）若，，，求平面和平面夹角的余弦值. 19. 已知曲线. （1）求在处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 20. 已知各项均为正数的数列满足，且. （1）写出，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 21. 已知，动点满足与的斜率之积为定值. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $