精品解析：湖南省岳阳市平江县2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

平江县2024年下学期教学质量监测 高二数学 考生注意：所有答案请务必填写在答题卡上，时量 120 分钟，满分 150 分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线,满足，所以，则. 所以准线方程是. 故选A. 2. 已知向量，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直，解方程即得解. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：C. 3. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方程，先求斜率，结合直线的方向向量的定义，即可得到答案． 【详解】解：因为的斜率， 结合选项可知直线的一个方向向量为． 故选：． 4. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A 12或3 B. 1或 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到方程组，解出后进一步计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则，， 则， 化为， 解得或， 则或， 故选：A. 5. 函数在点处的切线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程. 【详解】函数的导数为，则， 则函数在点处的切线方程为，即． 故函数在点处的切线方程为. 故选：B 6. 如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】 . 故选：B 7. 已知直线与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】由已知可得，解得或. 故选：C. 8. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据上递增，利用同构法求解即可． 【详解】解：构造， 则在上显然递增， 由得 ， 即， ， ， 令， 则， 由得，递增， 由得，递减， ， ． 故选：B． 【点睛】本题解题的关键是看到 “指对跨阶”要想到同构，同构后有利于减少运算，化烦为简． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和，则（     ） A. B. C. 当或6时，数列有最小项 D. 是等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】对于A：因为，当时，故A正确； 对于B：当时， 所以， 经检验时也成立，所以，故B正确； 对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，即数列有最大项，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确. 故选：ABD 10. 已知曲线C方程为，则下列说法正确的为（     ） A. 曲线C可以是圆 B. 若，则曲线C为椭圆 C. 曲线C可以表示抛物线 D. 若曲线C为双曲线，则或 【答案】AD 【解析】 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断． 【详解】对于A，若曲线C是圆，则，解得，A正确； 对于B，由选项A知，当时，曲线C是圆，不是椭圆，B错误； 对于C，曲线C有两条对称轴，不可能为抛物线，C错误； 对于D，若曲线C为双曲线，则，解得或，D正确. 故选：AD 11. 已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 存在点，使得平面 D. 动点在一条抛物线上运动 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，选项A，利用向量法来证明线线垂直，通过计算得到，即可判断出选项A的正误；选项B，先计算出在方向上的投影向量的模为，再利用点到线的距离的向量法即可得出结果，从而判断出选项的正误；选项C，先求出平面的一个法向量为和，再判断是否存在使，即可判断出选项的正误；选项D，根据条件得出点到直线的距离即点到点的距离，再利用抛物线的定义即可求出结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 对于选项A，易知，设， 所以，又， 得到，所以，故选项A正确； 对于选项，因为，所以，又， 则在方向上的投影向量的模为，又， 所以点到直线的距离为，故选项B错误； 对于选项C，设平面的一个法向量为， 由选项A知，，， 由，得到， 取，所以平面的一个法向量为， 由，得到， 所以不存在点，使得平面，故选项C错误； 对于选项D，因为平面平面，所以， 所以点到直线的距离即点到点的距离，又点到直线与直线的距离相等， 即点到点的距离等于点到直线的距离，又面，面， 由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，所在直线为准线的抛物线的一部分，故选项正确， 故选：AD. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于建立空间直角坐标系，利用向量法来解决线线垂直、点线距离和线面平行，对于选项D，将点线距离转化点到点的距离，再利用抛物线的定义来解决. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，为其前n项的和，若，则________． 【答案】42 【解析】 【分析】由已知列出方程求出首项和公差即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 则. 故答案为：. 13. 已知直线和两点，若点为直线上一动点，则的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，再求出点的坐标，利用两点间线段最短求出最小值. 【详解】如图，作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则， 于是，当三点共线，即与重合时取等号， 设，则，解得，即， 所以的最小值. 故答案为：12 14. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，E上存在点P，使得，且的内切圆与y轴相切，则E的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的运算得到，然后利用双曲线的性质和三角形内切圆的几何关系得到有关的方程求解即可. 【详解】不妨设点在第一象限， 因为，所以， 所以，， 又，联立可得：， 所以，即， 设的内切圆半径为，过圆心往三边作垂线，垂足分别为，如图所示， 因为的内切圆与y轴相切，故， ，， 所以， 即，即， 两边平方得， 即，则， 两边同时除以，得，解得， 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，圆， （1）证明圆与圆相交； （2）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【解析】 【分析】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【小问1详解】 证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. 【小问2详解】 将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 16. 在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形是边长为2的菱形，，E是AD的中点. （1）判断直线BE与平面的位置关系，并证明； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）平面，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，通过证明，可得到平面. （2）以E为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 平面，证明如下： 如图，连接BD. 因为为等边三角形，E是AD的中点，所以，且. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，所以， 因为平面，，所以平面. 【小问2详解】 以E为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PAB的法向量为，则， 令，则，故， 设平面PBC的法向量为，则， 令，则，故， 所以， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 17. 已知椭圆：的焦距为8，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与C交于两点，点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意分别求得的值即可确定椭圆方程； （2）首先利用几何关系找到三角形面积最大时点的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点到直线的距离即可求得三角形面积的最大值. 【小问1详解】 根据题意，即，又，所以，因为，所以 所以椭圆C的标准方程为：． 【小问2详解】 由方程组消去y，得． ① 设,，,，可得: 则 设与直线平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为此时的面积取得最大值. 由方程组 消去y，得． ② 方程②的根的判别式． 由，得，．此时方程②有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点． 与距离比较远的直线方程：， 直线方程为： 点到直线的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 所以的面积的最大值：. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 18. 已知函数 （1）当时，求在区间上的最值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）最大值，无最小值 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最值； （2）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按、进行讨论，写出单调区间； （3）对按、进行讨论，分析函数的单调性，在时，根据函数的单调性直接验证即可；在时，求出函数的最小值，结合零点存在定理可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 则在区间上单调递减，所以，，无最小值. 【小问2详解】 函数的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减； （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问3详解】 分析以下几种情况讨论： （ⅰ）若，函数在上为减函数，则至多有一个零点； （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 当时，由于，故只有一个零点； 当时，由于，此时，函数没有零点； 当时，， 又，故在有一个零点. 设正整数满足， 则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 数列、满足：等比数列，，，且． （1）求数列、的通项公式. （2）求集合中所有元素的和． （3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试判断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）数列是“和稳定数列”， 不是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式； （2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果； （3）根据“和稳定数列”的定义可判定. 【小问1详解】 根据题意可知，所有可得， 又因是等比数列，所以设的公比为，则， 所以， 因①， 当时，②， ①式减去②式可得， 将，可得， 将之化简可得， 所以数列是为首项，公差为的等差数列， 故. 【小问2详解】 由题意知集合， 则化简转化为， 设前项和为， 数列前项和为， 且解之可得， 所以集合所有元素之和为 . 【小问3详解】 数列是“和稳定数列”，理由如下： 当时，是的正整数倍， 故一定不是数列中的项； 当时，，不是数列中的项； 当时，，是数列中的项； 综上，数列是“和稳定数列”，； 数列不是“和稳定数列”，理由如下： 不妨设：，则， 且， 故不是数列中的项. 数列不是“和稳定数列”. 【点睛】方法点睛：解决新定义的综合性数列题目，常用思想及方法有： （1）数列的公式法；（2）数列定义法；（3）阅读理解能力应用；（4）分类与整合思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平江县2024年下学期教学质量监测 高二数学 考生注意：所有答案请务必填写在答题卡上，时量 120 分钟，满分 150 分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 2 已知向量，向量，且，则（ ） A B. C. D. 3. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 12或3 B. 1或 C. 12 D. 5. 函数在点处的切线方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（ ） A B. C. D. 7. 已知直线与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和，则（     ） A. B. C. 当或6时，数列有最小项 D. 是等差数列 10. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的为（     ） A. 曲线C可以是圆 B. 若，则曲线C为椭圆 C. 曲线C可以表示抛物线 D. 若曲线C为双曲线，则或 11. 已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 存在点，使得平面 D. 动点在一条抛物线上运动 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，为其前n项的和，若，则________． 13. 已知直线和两点，若点为直线上一动点，则的最小值为______． 14. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，E上存在点P，使得，且的内切圆与y轴相切，则E的离心率为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，圆， （1）证明圆与圆相交； （2）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 16. 在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形是边长为2的菱形，，E是AD的中点. （1）判断直线BE与平面的位置关系，并证明； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 17. 已知椭圆：的焦距为8，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与C交于两点，点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 18 已知函数 （1）当时，求在区间上的最值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围. 19. 数列、满足：是等比数列，，，且． （1）求数列、的通项公式. （2）求集合中所有元素和． （3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试判断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $