第四章 三角形（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记巧练（广东专用，北师大版）

第四章 三角形（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则的重心是（     ） A．点D B．点E C．点F D．点G 4．如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，能直接用“”证明的条件是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的中线，点是的中点，连接．若的面积为12，则的面积为（   ） A．12 B．8 C．6 D．3 7．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（   ） A．1，2，4 B．2，3，4 C．2，2，4 D．2，3，6 8．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个图形定是全等图形 B．两个正方形一定是全等图形 C．形状相同的两个图形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 9．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 10．如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．已知一个三角形的两边长分别是2和7，若第三边的长a为奇数，则 ． 12．如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可以判断，则判定这两个三角形全等的依据是 ． 13．如图， ，垂足为E，交于点F，连接．请写出一对面积相等但不全等的三角形 ． 14．如图，，，则的度数是 ． 15．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 17．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 18．已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，是中边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 20．（1）如图1所示的折叠凳的设计所运用的数学原理是什么？ （2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料的宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，折叠凳的宽为，则的长度是多少？ 21．如图，点D，E分别在上，，，相交于点O，．试说明：．小虎同学的说理过程如下：    解：因为， 所以． 因为， 所以，             第一步 又，， 所以，     第二步 所以．              第三步 (1)小虎同学的说理过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值； ②试判断的形状． 23．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：A 3．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则的重心是（     ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点．三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是重心． 故选A． 4．如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 又， ∴， 故选：B． 5．如图，已知，能直接用“”证明的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故选：． 6．如图，是的中线，点是的中点，连接．若的面积为12，则的面积为（   ） A．12 B．8 C．6 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了依据三角形的中线求解面积，解题的关键是利用中线求得三角形面积之间的关系．根据三角形的面积公式，确定三角形面积之间的关系，即可求解． 【详解】解：为的中线， 则， E为的中点， 则． 故选：D． 7．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（   ） A．1，2，4 B．2，3，4 C．2，2，4 D．2，3，6 【答案】B 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长分别为1，2，4的三根木棒不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长分别为2，3，4的三根木棒能组成三角形，符合题意； C、∵， ∴长分别为2，2，4的三根木棒不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长分别为2，3，6的三根木棒不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 8．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个图形定是全等图形 B．两个正方形一定是全等图形 C．形状相同的两个图形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等图形和全等图形的性质，掌握全等图形和全等图形的性质是解题关键； 利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案； 【详解】解：选项A中，周长相等的两个图形一定全等，故选项A错误； 选项B中，两个正方形不一定是全等图形，故选项B错误； 选项C中，形状相同的两个图形不一定是全等图形，故选项C错误； 选项D中，两个全等图形的面积一定相等，故选项D正确； 故选：D 9．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键． 【详解】A、∵D是的中点，∴，但不一定等于，故本选项结论错误，不符合题意； B、∵是的角平分线，∴，本选项结论正确，符合题意； C、∵是的角平分线，不是高线，∴不等于，故本选项结论错误，不符合题意； D、与的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．已知一个三角形的两边长分别是2和7，若第三边的长a为奇数，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边长为x，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：设第三边长为x，根据题意得： ， 即， ∵第三边的长为奇数， ∴x的值为7， 即第三边的长是7． 故答案为：7． 12．如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可以判断，则判定这两个三角形全等的依据是 ． 【答案】/边边边 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握证明全等三角形的判定定理．根据已知条件结合公共边，即可根据“”证明两三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故答案为：． 13．如图， ，垂足为E，交于点F，连接．请写出一对面积相等但不全等的三角形 ． 【答案】和（或和，或和，或和） 【分析】此题主要考查了三角形面积公式应用及全等三角形的概念，根据已知得出三角形的高与底边是解题关键．根据要找出三角形面积相等但不全等的三角形，利用三角形面积公式等底等高面积相等，即可得出答案． 【详解】 解：四边形是长方形， ， 与，底边为，高为， ， ， 与，底边为，高为， ， 与，等底，等高， ，图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对，即和，和，和，和， 故答案为：和（或和，或和，或和）． 14．如图，，，则的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，由题意得，，据此即可求解； 【详解】解：∵是边上的中线， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为： 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定．作射线，以为圆心，长度为半径画弧，交于点；分别以、为圆心，、长度为半径画弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 【详解】解：如图：即为所求． 17．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 【答案】(1)8； (2)的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是 (3)以线段为边的三角形有 (4)以为内角的三角形有 【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可； （2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可； （3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可； （4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为内角的三角形即可． 【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是： ． （2）解：的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是． （3）解：以线段为边的三角形有． （4）解：以为内角的三角形有． 18．已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键．利用全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，是中边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 【答案】； 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高，先根据是的高得出，再在中利用三角形内角和求出，接着根据平分得出，最后求的度数． 【详解】解：是中边上的高， ， ， 平分， ， ． 20．（1）如图1所示的折叠凳的设计所运用的数学原理是什么？ （2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料的宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，折叠凳的宽为，则的长度是多少？ 【答案】（1）三角形具有稳定性；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理； （1）利用三角形的性质进行解答； （2）利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：（1）这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； （2）是和的中点， ，， 在和中， ， 又， ． 21．如图，点D，E分别在上，，，相交于点O，．试说明：．小虎同学的说理过程如下：    解：因为， 所以． 因为， 所以，             第一步 又，， 所以，     第二步 所以．              第三步 (1)小虎同学的说理过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）因为，，，不符合全等三角形的判定方法，故第二步是错误的； （2）先证明，得到，，再证明，即可进一步证明，从而得出结论． 【详解】（1）解：因为，，，不符合全等三角形的判定方法， 所以不能判断，   所以小虎同学的说理过程中，第二步出现错误； 故答案为：二； （2）解：因为， 所以， 在和中，， 所以， 所以，， 因为， 所以， 即， 在和中，， 所以， 所以． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①②为等腰三角形 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，化简绝对值： （1）根据三边关系结合绝对值的意义，进行化简即可； （2）根据三角形的三角关系求出的值，根据三角形的分类判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴原式； （2）①∵，， ∴， ∴， ∵三角形的周长为偶数，为奇数， ∴为奇数， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 23．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$