15.4.3特殊的平行四边形的判定第三课时正方形判定定理（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

15.4.特殊的平行四边形的性质与判定 15.4.3 特殊的平行四边形的判定 第三课时 正方形判定定理 第十五章 四边形 北京版八年级数学下册 学习目标 1 2 探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 0 会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . 复习回顾 0 正方形的概念 平行四边形 菱形 有一组邻边相等 正方形是特殊的平行四边形. 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 且有一个角是直角 复习回顾 0 角：四个角都是直角; 对角线：对角线相等且互相垂直平分. 边：四条边都相等; 正方形的性质 01 03 02 目录 1 正方形的判定 2 典例解析 学习过程 3 当堂练习 新知探究 探究1 1 正方形的判定定理1 怎样判定一个四边形或一个平行四边形是正方形呢？它可以有几种不同的途径？ 思 考 四边形 平行四边形 正方形 新知探究 探究1 1 正方形的判定定理 四边形 平行四边形 矩形 菱形 定 义 四个判定定理 三个角是直角 四条边相等 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 新知探究 探究1 1 正方形的判定定理 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 思 考 四边形 菱形 正方形 四条边相等 有个角是直角 对角相等 你的理论依据呢？ 新知探究 探究1 1 正方形的判定定理 已知：如图,在菱形ABCD中,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形. A B C D O 对角线相等的菱形是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 新知探究 1 　　 知识归纳 正方形的判定定理1： 对角线相等的菱形是正方形 探究1 正方形的判定定理1 几何语言描述： ∵在菱形ABCD中,AC=DB ∴四边形ABCD是正方形 A B C D 菱形ABCD A B C D O 新知探究 探究1 1 正方形的判定定理1 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC C A B C D O 新知探究 探究2 1 正方形的判定定理2 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 思 考 四边形 正方形 四条边相等 有一组邻边相等 对角线互相垂直 你的理论依据呢？ 矩形 新知探究 探究2 1 正方形判定的定理2 已知在矩形ABCD中，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形. A B C D O 对角线互相垂直的矩形是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. 新知探究 1 　　 知识归纳 正方形的判定定理2： 对角线互相垂直的矩形是正方形 探究2 正方形的判定定理2 几何语言描述： 四边形 是矩形，且 ， 四边形 是正方形. A B C D O 新知探究 探究2 1 正方形判定的定理2 如图，在四边形 中， ，下列条件能使四 边形 成为正方形的是( ) D A. B. C. D. 新知探究 探究3 1 正方形的判定定理3 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 思 考 四边形 正方形 四条边相等 有一组邻边相等 一个角是直角 平行四边形 菱形 矩形 新知探究 1 　　 知识归纳 正方形的判定定理3： 有一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形。 探究3 正方形的判定定理3 几何语言描述： 四边形 为平行四边形， ， ， 四边形 是正方形. A B C D O 新知探究 探究3 1 正方形判定的定理3 满足下列条件的四边形是正方形的是__________.（填序号） ①对角线互相垂直且相等的平行四边形；②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形. ①②③④ 典例解析 2 例1：如图，在平面直角坐标系中，顺次连接点 A ( - 2，0 )， B ( 0，- 2 )，C ( 2，0 )，D ( 0，2 ) 所得到的四边形 ABCD 是怎样的四边形？并说明理由 . 解：四边形 ABCD 是正方形 . 理由如下： ∵ A ( - 2，0 )，B ( 0，- 2 )， C ( 2，0 )，D ( 0，2 )， ∴ OA = OB = OC = OD = 2. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 又∵ AC = BD，且 AC ⊥ BD， ∴ 四边形 ABCD 是正方形 . 典例解析 2 例2：如图，将一张矩形纸片 折叠，使 落在边 上，然后打开，折痕为 ，顶点 的落点为点 .试 判断四边形 是什么特殊的四边形？并说明理由. 典例解析 2 解：四边形 是正方形.理由： 四边形 是矩形， . 与 折叠后重合， . 四边形 是矩形. ， 折叠后重 合， 矩形 是正方形. 典例解析 2 例3如图， ， ， ， 分别是正方形 的四条边上的点，并且 .求证： （1） . 典例解析 2 证明： 四边形 是正方形， ， . ， . 在 和 中， . 同理可证 ， ， . 课堂练习 3 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 课堂练习 3 2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC C A B C D O 课堂练习 3 3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB=BC(答案不唯一) A B C D O 课堂练习 3 4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是______________（只填写序号）． ②③或①④ 课堂练习 3 5.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB． （1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由； （2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？ 解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形. （2）∵四边形AEDF为菱形， ∴AD平分∠BAC， ∴当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形. 课堂练习 3 （3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由． 解：由四边形AEDF为正方形， ∴∠BAC=90°， ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可． 课堂小结 　　 知识归纳 正方形的判定定理 1.定义：________________ ______________的平行四 边形是正方形. 有一组邻边相等， 一个角是直角 课堂小结 　　 知识归纳 正方形的判定定理 2.矩形 正方形： ①________________的矩 形是正方形； ②________________的矩 形是正方形. 有一组邻边相等 对角线互相垂直 课堂小结 　　 知识归纳 正方形的判定定理 3.菱形 正方形： ①________________的菱 形是正方形； ②____________的菱形是 正方形. 有一个角是直角 对角线相等 北京版八年级数学下册 感谢聆听 $$