精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷 数 学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……，按此规律，则第9项为（ ） A. 13 B. 21 C. 34 D. 55 2. 直线关于轴对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知四面体，，分别是棱，的中点，且，，，则向量用，，表示为（ ） A. B. C. D. 4. 过三点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三个数成等比数列，它们的和等于，积等于，则这个等比数列的公比为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知双曲线一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，棱长为1的正方体中，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则下列判断正确的是（ ） A. 有一条切线方程为 B. 有一条切线方程为 C. D. 四边形的面积为2 10. 已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（ ）. A. 有相同的焦距 B. 有相同的焦点 C. 有相同的离心率 D. 有相同的渐近线 11. 设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则下列描述正确的是（ ） A. 是唯一最大值 B. 是最大值 C. D. 12. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，（在第一象限）两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线方程为 B. 弦长为4 C. D. 过点作准线的垂线，垂足为，则三点共线 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线与所成角的大小为_____. 14. 当抛物线上一点到直线的距离最短时，点的坐标为_____. 15. 已知数列满足，，则数列前8项的和为_____. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知圆与圆相交于两点. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程. (2)求两圆的公共弦长. 18. 如图，在棱长为的正方体中，，，，，分别是，，，，，各棱的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 19. 若数列的首项，且满足， （1）证明数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 20. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 21. 已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知，，若过点A的直线与椭圆交于M，N两点，若，求出直线的方程. 22. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷 数 学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……，按此规律，则第9项为（ ） A. 13 B. 21 C. 34 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】根据斐波那契数列规律求解. 【详解】根据题意， ， ， . 故选：C 2. 直线关于轴对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率及与x轴的交点，从而得到所求直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】直线斜率为，且过点， 则直线关于x轴对称的直线的斜率为，且过点， 所以所求直线方程为，即. 故选：B 3. 已知四面体，，分别是棱，的中点，且，，，则向量用，，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理结合图像即可得出答案. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 4. 过三点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，利用待定系数法求出并化成标准方程形式. 【详解】设圆的方程为， 由圆过三点，得，解得， 则圆的方程为，所以该圆的标准方程为. 故选：A 5. 已知三个数成等比数列，它们的和等于，积等于，则这个等比数列的公比为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这三个数分别为，根据条件列方程组，求出，再得到这个等比数列的公比即可. 【详解】设这三个数分别为，则. 因为这三个数的和等于14，积等于64，所以. 联立方程组，可得或， 所以当时，这个等比数列的公比为； 当时，这个等比数列的公比为， 所以等比数列的公比是或. 故选：A. 6. 已知双曲线一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，再利用即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 因为渐近线的倾斜角为， 所以， 所以. 故选：C 7. 如图，棱长为1的正方体中，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】根据题意，设点到平面的距离为， 则，即， 则，得. 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合垂直平分线的性质可得，结合椭圆的定义判断曲线的轨迹形状，由此确定曲线方程. 【详解】圆：的圆心，半径. 由于， 所以在圆内，， 根据垂直平分线的性质可知， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 设该椭圆方程为，设椭圆的半焦距为， 则，， 所以，，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则下列判断正确的是（ ） A. 有一条切线方程为 B. 有一条切线方程为 C. D. 四边形的面积为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆心O到直线的距离d等于半径r求解判断A，B；利用圆的直径垂直平分弦判断C；利用面积公式求解判断D 【详解】由题意可知，过点作圆的两条切线斜率都存在， 所以设直线方程为， 所以圆心O到直线的距离d等于半径r， 即或， 所以切线方程为或，故A对；B错； 因为PA，PB是圆O的切线，所以， 所以四点共圆， 又，所以PO平分AB， 且PO是圆的直径，所以，故C对； ， 所以四边形的面积为，故D对； 故选：ACD 10. 已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（ ）. A. 有相同的焦距 B. 有相同的焦点 C. 有相同的离心率 D. 有相同的渐近线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 11. 设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则下列描述正确的是（ ） A. 是唯一最大值 B. 是最大值 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和求和公式求出判断C，D；利用通项求出，然后利用二次函数的性质求出最值判断A，B 【详解】由，得，故D对； ，故C对； 又， 所以， 又，所以当或，取得最大值，故A错；B对； 故选：BCD 12. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，（在第一象限）两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线方程为 B. 弦长为4 C. D. 过点作准线的垂线，垂足为，则三点共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线方程可得，由在直线上求，由此可得抛物线方程判断A，联立方程组结合根与系数关系判断C，结合焦点弦公式求判断B，利用向量方法判断D. 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 因为直线过抛物线的焦点， 所以，故， 所以抛物线的方程为，A正确； 联立，消得， 方程的判别式， 因为直线与抛物线相交于，（在第一象限）两点， 故为方程的两根，且， 所以，，C正确； 所以，B错误； 因为抛物线的准线方程为， 所以的坐标为，点的坐标为， 所以，， 又， 所以，所以三点共线，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线与所成角的大小为_____. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用线线垂直可证平面，进而可得，可求异面直线与所成角的大小. 【详解】取的中点，连接，因为， 所以，又，平面， 所以平面，平面，所以， 所以折纸后异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 14. 当抛物线上一点到直线的距离最短时，点的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，则点到直线的距离为，然后利用二次函数的知识可得答案. 【详解】设，则点到直线的距离为 所以当时，点到直线的距离最短，此时. 故答案为：. 15. 已知数列满足，，则数列前8项的和为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由递推关系及，求出数列的前项，即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以， 所以，， ，， ，， 所以数列前8项的和为. 故答案为：. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合双曲线的定义求，根据，即可求出结果. 【详解】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得， 又，所以，即，则， 因为双曲线中，， 即，则，即， 又双曲线的离心率大于，所以. 所以双曲线离心率的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知圆与圆相交于两点. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程. (2)求两圆的公共弦长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）两圆相减得到公共弦所在直线；（2）根据垂径定理构造方程，进而得到结果. 【详解】(1)设两圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标满足方程组 两式相减得. 此方程即为过A,B两点的直线方程. 所以两圆的公共弦所在直线的方程为. (2)圆C1可化为(x+1)2+(y+4)2=25,圆C1的圆心为,半径长. )到直线的距离. 则弦长. 【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理． 18. 如图，在棱长为的正方体中，，，，，分别是，，，，，各棱的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，可由证得； （2）利用空间向量计算直线和法向量的夹角，进而得解. 【小问1详解】 如图所示建立空间直角坐标系， ， ， 则， 所以 为平面的两条相交直线， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量为， ， 因为， 求与平面所成角的正弦值为. 19. 若数列的首项，且满足， （1）证明数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形可得，利用等比数列的定义可证得结论成立； （2）根据（1）可得，从而，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由，可得， ，则，对任意的，，则， 故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为； 【小问2详解】 根据（1）可得， 所以，则， 设数列的前项和为， 所以. 20. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形先证明，从而可证得平面，即可得证； （2）根据空间向量法求出平面与平面的法向量，即可求解. 【小问1详解】 在矩形ABCD中，， ，∴，∴， 设AM与BD交于O点，∴， ∴，又∵平面，平面，∴， 又，平面， ∴平面，平面， 所以. 【小问2详解】 如图建系，∴，，，.      ∴，， 易知平面的一个法向量， 设平面为， ，即, 取，则. 设平面与平面的夹角为， ∴. 21. 已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知，，若过点A的直线与椭圆交于M，N两点，若，求出直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，得到，再由求解； （2）当直线l与x轴垂直，容易判断；当直线l与x轴不垂直，设直线l的方程是，与椭圆C的方程联立，由，即结合韦达定理求解. 【小问1详解】 因为，所以椭圆C的左焦点的坐标是， 所以，解得， 所以椭圆C的方程为 【小问2详解】 当直线l与x轴垂直， 则直线l与椭圆C的交点M，N的坐标分别是， 所以，符合题意； 此时直线的方程是； 若直线l与x轴不垂直，设直线的方程是， 由，消去y并整理，得， 设，则， ， 又，所以，即， 所以 ， 即， ， 显然满足， 所以直线l与x轴不垂直时，直线的方程是，即. 综上：直线的方程为或， 22. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则， 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式； （2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，则不存在. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $