8.3 实数及其简单运算（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版2024）

8.3 实数及其简单运算 题型一 无理数的认识 1．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列四个实数中是无理数的是（    ） A． B．1.0101 C． D． 3．（21-22七年级下·安徽亳州·阶段练习）实数、、、、、中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）实数，，，，，中无理数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型二 无理数的大小估算 1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）估计的值在（    ） A．0到1之间 B．2到3之间 C．1到2之间 D．3到4之间 2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知整数n满足：，参考下表数据，判断n的值为（   ） m 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．43 B．44 C．45 D．46 3．（2023·四川资阳·一模）设n为整数，且，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（21-22七年级下·河南商丘·期中）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三 实数的分类 1．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）下列实数中，为有理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）下列数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在下列各数中：，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 无理数的整数部分和小数部分 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）的小数部分可以表示为 ． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知是的整数部分，则的值是 ． 3．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）的整数部分为 ． 4．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ． 题型五 实数的大小比较 1．（22-23七年级下·四川广安·阶段练习）比较： 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）比较大小： 1． 题型六 新定义下的实数运算 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）用表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期中）对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 4．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ． 题型七 与实数运算相关的规律题 1．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型八 实数的混合运算 1．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）计算∶ (1) (2) 2．（22-23七年级下·云南怒江·期中）（1）计算：． （2）计算：． 3．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2)． 4．（20-21七年级下·山东菏泽·期末）计算或化简： （1）；     （2）． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）现有一组有规律排列的数：1， 其中1， 这六个数按此规律重复出现，问： (1)第个数是什么数？ (2)把从第1 个数开始的前个数相加，结果是多少？ (3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，则共有多少个数的平方相加？ 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 3．（21-22八年级上·山东淄博·期中）【探索发现】 先观察下面给出的等式，探究其隐含的规律，然后回答问题：；；； （1）若为正整数，直接写出结果：________． 【拓展延伸】 根据上面探索的规律，解决下面的问题： （2）解关于的分式方程：． 4．（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： （1）的有理化因式是___________；的有理化因式是___________； （2）观察下面的变形规律，请你猜想：__________． ，，… （3）利用上面的方法，请化简： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 实数及其简单运算 题型一 无理数的认识 1．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）下列实数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数称为无理数，同时也考查了算术平方根与立方根，根据无理数的概念判断即可；掌握无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：由于， 故都是有理数，而是无理数，则也是无理数； 故选：D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列四个实数中是无理数的是（    ） A． B．1.0101 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项符合题意； B、1.0101是有限小数不无理数，故此选项不符合题意； C、是分数不无理数，故此选项不符合题意； D、是整数不无理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（21-22七年级下·安徽亳州·阶段练习）实数、、、、、中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解． 【详解】解：是整数，-是分数，是有限小数，这些都属于有理数； 无理数有，，π，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…这样规律的数． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）实数，，，，，中无理数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义即可求解，熟练掌握：“无限不循环小数是无理数”是解题的关键． 【详解】解：， 则是无理数有：、， 则是无理数有2个， 故选D． 题型二 无理数的大小估算 1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）估计的值在（    ） A．0到1之间 B．2到3之间 C．1到2之间 D．3到4之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴估计的值在2到3之间 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知整数n满足：，参考下表数据，判断n的值为（   ） m 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，利用夹逼法比较是关键． 根据得到即可比较． 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足：， ∴， 故选：B． 3．（2023·四川资阳·一模）设n为整数，且，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先利用夹逼原则求出，然后利用不等式的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即， 又n为整数，且， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，利用夹逼原则求出是解题的关键． 4．（21-22七年级下·河南商丘·期中）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先找到，取值范围，进而可求的最小值； 【详解】解：∵a，b均为正整数， ，即； ，即； ∴a最小取4，b最小取1； ∴的最小值是5； 故选：C． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键． 题型三 实数的分类 1．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）下列实数中，为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的分类，求一个数的立方根，先计算立方根，再根据有理数是整数和分数的统称即可得到答案． 【详解】解：， 根据有理数的定义可知，四个数中只有D选项中的数是有理数， 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据实数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、无理数一定是实数，说法正确，故该选项符合题意； B、实数包括有理数和无理数，故该选项不符合题意； C、一个正数的算术平方根一定是正数，故该选项不符合题意； D、无理数不包括，故该选项不符合题意； 故选： A． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）下列数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数和有理数的定义，进行解答，无理数的定义：无限不循环的小数；有理数的定义：除无理数之外的数都是有理数，即可． 【详解】解：∵，，是有理数；是无理数， 故选：B． 4．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在下列各数中：，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】有限小数和无限循环小数均能写成分数的形式． 【详解】解：均是负分数 ∵是无限不循环小数，故不是负分数 故选：C 【点睛】本题考查实数的分类．掌握相关定义即可． 题型四 无理数的整数部分和小数部分 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）的小数部分可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算出的整数部分即可得到它的小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知是的整数部分，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求代数式的值，根据题意得到是解题的关键．先估算出，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵a是的整数部分， ∴， ∴． 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）的整数部分为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，判断出在哪两个连续整数之间，即可得到的整数部分． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算以及无理数整数部分的有关计算，先得，则的整数部分和小数部分分别是，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴则的整数部分和小数部分分别是， 即， ∴， 故答案为：． 题型五 实数的大小比较 1．（22-23七年级下·四川广安·阶段练习）比较： 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据绝对值大的反而小即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先比较与3的大小，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，比较与，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）比较大小： 1． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较．作差法进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型六 新定义下的实数运算 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）用表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ． 【答案】19 【分析】本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：19． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期中）对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，新定义运算，理解新定义，掌握二次根式的运算是关键．按照新定义计算并化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算等知识点，理清题意、理解所给运算法则是解题关键． 先根据新定义运算法则列式，然后再跟进有理数混合运算法则计算即可． 【详解】根据题意， , 由此 ． 故答案为： 4．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ． 【答案】18 【分析】本题考查了实数的新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据题中的新定义计算列式计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故答案为：18． 题型七 与实数运算相关的规律题 1．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 3．（22-23八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 4．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及实数计算中的规律问题，用所给的计算方式，依次计算出等，观察规律即可解决问题． 【详解】 由此可见，和（为偶数）相等，且都等于 所以． 故选：D． 题型八 实数的混合运算 1．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）计算∶ (1) (2) 【答案】(1)2 (2)2 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值，乘方，零指数幂的运算方法是解题的关键， （1）先进行绝对值，乘方，零指数幂开方的运算，再进行加减计算即可得到答案； （2）先进行绝对值和乘法运算，再进行加减计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（22-23七年级下·云南怒江·期中）（1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （1）根据乘方，立方根和绝对值的性质计算即可求解； （2）根据算术平方根，立方根计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）． ． 3．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，主要涉及算术平方根、立方根、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是关键； （1）分别计算算术平方根、立方根及乘方，再相加减即可； （2）计算绝对值后，再化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（20-21七年级下·山东菏泽·期末）计算或化简： （1）；     （2）． 【答案】（1）10；（2） 【分析】（1）先化简绝对值，乘方，零指数幂，负指数幂，再计算乘法与符号化简，最后计算加减法； （2）根据多项式除以单项式转化为单项式除以单项式计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2） ． 【点睛】本题考查实数混合运算，零指数幂，与负指数幂，多项式除以单项式，掌握实数混合运算法则，多项式除以单项式运算法则，零指数幂，与负指数幂是解题关键． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）现有一组有规律排列的数：1， 其中1， 这六个数按此规律重复出现，问： (1)第个数是什么数？ (2)把从第1 个数开始的前个数相加，结果是多少？ (3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，则共有多少个数的平方相加？ 【答案】(1) (2) (3)共有个数的平方相加 【分析】本题主要考查了数字类变化规律，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出这列数每6个数一个循环而且每个循环的6个数的和是0 （1）首先根据这列数的排列规律可得每6个数一个循环，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可； （2）首先用除以6求出一共有多少个循环以及剩下的数是多少，即可得出结论； （3）首先求出、、、、、六个数的平方和是多少，然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可． 【详解】（1）解：这列数每6个数一个循环：、、、、、； ∵， ∴第50个数是． （2） ∴ 把从第1个数开始的前个数相加，结果是 （3）∵，，而且， ∴，即共有个数的平方相加． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 3．（21-22八年级上·山东淄博·期中）【探索发现】 先观察下面给出的等式，探究其隐含的规律，然后回答问题：；；； （1）若为正整数，直接写出结果：________． 【拓展延伸】 根据上面探索的规律，解决下面的问题： （2）解关于的分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据其隐含的规律，可得每一个式子的末项和下一个式子的首项互为相反数，相加为零，即可化解求解； （2）根据其隐含的规律化解，然后解方程求解即可． 【详解】解：（1） （2）变形得 ， ， ， ， 解得：，经检验，是原方程的根． 【点睛】此题考查了分式的化简和规律问题，解分式方程，解题的关键是根据题意发现其隐含的规律． 4．（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： （1）的有理化因式是___________；的有理化因式是___________； （2）观察下面的变形规律，请你猜想：__________． ，，… （3）利用上面的方法，请化简： 【答案】（1）；；（2）；（3）． 【分析】（1）根据材料中的定义可以得到解答； （2）根据材料中给出的规律解答； （3）根据（2）得到的规律进行解答． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式为； ∵， ∴与 互为有理化因式， 故答案为：，； （2）通过观察可得： ， 故答案为：； （3）由（2）可得： 原式 ． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算和分母有理化，根据材料给定的定义和运算法则进行计算是解题关键 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$