6.4三角形的中位线练习题（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

6.4三角形的中位线定理 题型一 利用三角形的中位线定理进行计算 1．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键； 根据题意可得O是的中点，利用三角形的中位线的性质即可求解． 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以对角线、互相平分， 即O是的中点， 又是的中点， 所以是中位线， 所以， 所以． 故选：B． 3．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明是解题的关键．过点作交于，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：过点作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ， ， 的面积为2 的面积为6， 故选：． 4．如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵点分别为三边的中点， 是周长为2的三角形， ， 的周长，故答案为1． 5．如图，中，，，点D，E分别是，的中点，点F在上，且，求EF的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，直角三角形的性质，本题解题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．首先根据三角形中位线的定理，得出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出的长，最后根据，即可算出答案． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴； 又∵， ∴； 又∵， ∴在中，点是的中点， ∴； 又∵， ∴； 又∵， ∴； 故答案为：． 题型二 利用三角形的中位线定理进行证明 1．如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，，而，，所以，，则，，所以，则为的中点； （2）取的中点，连接，由三角形的中位线定理得，，即可证明，，推导出，则，得，由，，得，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 点在边上，且平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 取的中点，连接， 点为的中点， ，， ∵，，且， ，， ， 在和， ， ， ， ， ∵， ， ，且， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 2．如图．线段与分别为的中位线与中线． (1)求证：与互相平分； (2)当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理． （1）根据线段中点的定义可得，根据三角形的中位线定理可得，从而可得，进而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答； （2）当时，四边形为矩形，再根据三角形的中位线定理可得，从而可得，然后利用（1）的结论即可解答． 【详解】（1）证明：线段与分别为的中位线与中线， 分别是的中点， 线段与也为的中位线． ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． （2）解：当时，四边形为矩形，理由如下： 线段为的中位线， ， ， 平行四边形为矩形， 当时，四边形为矩形． 题型三 三角形的中位线定理实际应用 1．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 2．如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 3．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 1．如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴是的中位线， ， ， 故选：C． 2．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 3．如图所示，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是，的中点． (1)连结，，，，请证明四边形是平行四边形． (2)猜一猜与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定及性质； （1）由三角形的中位线定理得，，由平行四边形的判定方法，即可求证； （2）由三角形的中位线定理得，等量代换得，即可求证； 掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：E，F分别是，的中点， G，H分别是，的中点， 是的中位线， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：， 理由如下： F是的中点， H是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 4．如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点． (1)求证：，； (2)把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 【答案】(1)见详解 (2)是等腰直角三角形，理由见详解 (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，，得出、，最后用互余即可得出结论． （2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论． （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论． 【详解】（1）∵点P，N分别为，的中点， ∴，， ∵点M，P分别为，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由旋转知，， ∵，， ∴， ∴，， 利用三角形的中位线得，， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法得， ∴， 同（1）的方法得， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：由（2）知是等腰直角三角形，， ∴当最大时，最大，的面积最大， ∴如图所示，当点D在的延长线上时，最大， 此时可有， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1．已知的周长为1，连结的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2013个三角形的周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中位线定理，根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的，所以新三角形周长是前一个三角形的． 【详解】解：周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的，所以： 第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为； 第4个三角形对应的周长为； 第5个三角形对应的周长为 ⋯， 故第2013个三角形周长为． 故选：A． 2．如图，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：，相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③； 请你从中选择两个条件（写序号）： 使得四边形是正方形，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)①③或①②，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质． （1）由三角形中位线定理得，，再证四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）添加①时，四边形是矩形；添加②平分时，，则，此时四边形是菱形；添加③时，由得到，四边形是菱形；选择①③或①②时，四边形是正方形，再根据正方形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：、、分别是，，的中点， 、都是的中位线， ∴，， 四边形为平行四边形， 、互相平分； （2）解：①；②平分；③， ∵四边形为平行四边形， ∴添加①时，四边形是矩形； 添加②平分时，，则，此时四边形是菱形； 添加③时，由得到，四边形是菱形； ∴选择①③或①②时，四边形是正方形； 选择①③， 证明：四边形为平行四边形，， 四边形是矩形， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ∴， ， ， 四边形是正方形， 选择①②， 证明：四边形为平行四边形，， 四边形是矩形， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，此时四边形是菱形； 四边形是正方形， 故答案为：①③或①②． 3．【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为．求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点．求证：四边形是矩形． （3）如图3，，是四边形的对角线，，若，，，，分别为，，，的中点．设，．求关于的函数关系式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定是矩形； （2）先根据中点结合菱形的性质证明，得，同理，，则，可知四边形是平行四边形，连接，，再证四边形是平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形，则，得，即可证明四边形是矩形； （3）由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）证明：在菱形中，，，， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，则， ∴四边形是平行四边形， 连接，， 在菱形中，，则， ∴四边形是平行四边形，则， 同理，四边形是平行四边形，则， ∴， ∴四边形是矩形； （3）∵，，，分别为，，，的中点， ∴，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， ∵，，． ∴ ∴ 即． 【点睛】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，函数关系式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 1．在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 连接，， 点和点分别是和的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ， ，， 四边形是平行四边形． ， ，且， ， 平行四边形是菱形， 与互相垂直平分． 故选：A． 2．如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断． 【详解】解：①当时，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，四边形的周长是，故①正确； ②，，， 直线与直线之间的距离是， 当时，点到直线的距离等于，故②错误； ③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为， 又， 的面积为定值，故③错误； ④点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， 即线段的长度不变，故④正确； 故选：A． 3．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．若要使四边形是菱形，则原四边形必须满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定，中位线定理等知识点，首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，再由得，然后由邻边相等的平行四边形是菱形判定即可，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定是解决此题的关键． 【详解】∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， 当对角线时，如图所示， ∴， ∴四边形是菱形， 故选：A． 4．如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定方法成为解题的关键． 先根据三角形的中位线得到可得四边形是平行四边形；再根据菱形的判定可知，即可解答． 【详解】解：∵中，E、F、D分别是上的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形，则， ∴，即． 故答案为：． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4三角形的中位线定理 题型一 利用三角形的中位线定理进行计算 1．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 4．如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 5．如图，中，，，点D，E分别是，的中点，点F在上，且，求EF的长． 题型二 利用三角形的中位线定理进行证明 1．如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 2．如图．线段与分别为的中位线与中线． (1)求证：与互相平分； (2)当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由． 题型三 三角形的中位线定理实际应用 1．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 2．如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 1．如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 2．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 3．如图所示，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是，的中点． (1)连结，，，，请证明四边形是平行四边形． (2)猜一猜与的位置关系，并证明你的结论． 4．如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点． (1)求证：，； (2)把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 1．已知的周长为1，连结的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2013个三角形的周长是（  ） A． B． C． D． 2．如图，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：，相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③； 请你从中选择两个条件（写序号）： 使得四边形是正方形，并加以证明． 3．【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为．求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点．求证：四边形是矩形． （3）如图3，，是四边形的对角线，，若，，，，分别为，，，的中点．设，．求关于的函数关系式． 4．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         1．在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 2．如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 3．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．若要使四边形是菱形，则原四边形必须满足条件（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$